1、【课时训练】第60节几何概型一、选择题1(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()A16.32B15.32C8.68D7.68【答案】A【解析】设椭圆的面积为S，则，故S16.32.2(2018辽宁五校联考)若实数k3,3，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2y2kx2yk0相切的概率等于()A.BCD【答案】D【解析】由点A在圆外可得k0，由题中方程表示圆可得k1或k4，所以1k0，故所求概率为.故选D.3(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥SABC内任取一点P，使得VP
2、ABCVSABC的概率是()A.BCD【答案】A【解析】如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，则满足条件的点P应在棱台DEFABC内，而SDEFSABC，VSDEFVSABC.P.故选A.4(2018石家庄一模)在区间0,1上随意选择两个实数x，y，则使1成立的概率为()A.BCD【答案】B【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P.故选B.5(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1
3、)，曲线yx2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A.BCD【答案】C【解析】由题意可知，阴影部分的面积S阴影0x2dxx3，又正方形的面积S1，故质点落在图中阴影区域的概率P.故选C.6.(2018武汉武昌区调研)在区间0,1上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x3)0”发生的概率为(),A.BCD,【答案】D,【解析】因为log0.5(4x3)0，所以04x31，即x1，所以所求概率P.故选D.,7(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为(),A.1B1 C.1D
4、【答案】A,【解析】连接AC，首先由xy1得构成三角形的点P在ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角必是锐角，cos 0，x2y21，即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内所求概率为1.故选A.二、填空题8.(2018重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为_【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为SABC3，SAOD11，所以点P恰好落在第二象限的概率为.9(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内
5、随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为_【答案】【解析】由题意知，所求的概率为1(123).10(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是_【答案】【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x，y，则由题意可知0x5,0y5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|xy|3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P1.11(2018河南检测)若m(0,3)，则直线(m2)x(3m)y30与x轴，y轴围成的三角形的
6、面积小于的概率为_【答案】【解析】对于直线方程(m2)x(3m)y30，令x0，得y；令y0，得x.由题意可得，因为m(0,3)，所以解得0m2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是.12(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为_【答案】【解析】设ADx，ABy，则由三角形相似可得，解得yax，所以矩形的面积Sxyx(ax)2，当且仅当xax，即x时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为.三、解答题13(2018山东德州一模)设关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求方程有实根的概率【解】设事件A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A).