1、第三章 函数3.1 函数与映射基础练习1已知集合，映射：，在作用下点的像是，则集合（ ）ABCD解：D（解法要点：因为，所以）2设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的像的和都为奇数，则映射的个数是（ ）A8个 B12个 C16个 D18个解：D（解法要点： 为奇数， 当为奇数、1时，它们在中的像只能为偶数、0或2，所以方法有种；而当时，它在中的像为奇数或1，共有2种对应方法故映射的个数是92=18）3在下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）A，B，C，D，解：B（解法要点：解析式和定义域都需要一致）4若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）A（0，4 B2，4 C（0
2、，2 D（2，4）解：B（解法要点：画图即可得） 5给定映射：，求点的原像解：，或6已知，映射：满足：对任意的，它在中的像使得为偶数，这样的映射有_个解：奇数自变量所对应值也为奇数，故1各有2种对应，0有3种对应所以232=127给定1，2，3，和映射：，若为单射，则有_个；若为满射，则有_；满足的映射有_个解：（1）由定义可得：6个；（2）由定义可得：6个；（3）枚举可得：1个8（1）已知函数的定义域为0，1，求的定义域（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域（3）已知函数的定义域为1，3），求函数的定义域（4）已知函数的定义域是，求函数的定义域解：（1）（2）（3） 5，7）（4）9已知是
3、一次函数，且求的解析式解：设，10求出解析式为，值域为1，4的所有函数解：，；，；，；，；，；，；，能力提高11是集合到集合0，1，2的映射，满足的映射有多少个？解：将0，1，2三个元素设想为0号盒、1号盒和2号盒三个盒子只要5个元素，全部放放盒子（允许有空盒）便可得到1个映射设放入1号盒的元素个数为，放入2号盒的元素个数为，则放入0号盒的元素个数为个，则有，由条件，考虑到，且，故上述方程的解是因此满足条件的元素的放法有三类第一类：放入1号盒1个元素，放入2号盒2个元素，其余元素放入0号盒，放法种数是：30种第二类：放入1号盒3个元素，放入2号盒1个元素，其余元素放入0号盒，放法种数是：20种
4、第三类：全部5个元素都放入1号盒，放法种数为1种所以放法总数为30+20+1=51种故符合条件的映射有51个12求下列函数的值域：（1）求函数的值域（2）函数的值域为_（3）求函数，的值域解：（1）当时，所以函数值域是（2）先平方去掉根号，由题设得，则由，得解得，由于能达到下界0，所以函数的值域为（3）令，因为所以，所以显然在单调递增所以该函数值域为13设在0，1上有定义，要使函数有定义，则的取值范围为解：由于，14已知函数和的图像关于原点对称，且（1）求函数的解析式（2）解不等式解：（1）设函数图像上一点为，其关于原点对称点在函数上，则有则有（2）原不等式等价于当时，有解集为空集当时，的解集
5、为综上，原不等式的解集为15函数（1）求函数的值域（2）设，记的最大值为，求的表达式（3）在第（2）条件下，试求满足不等式的实数的取值范围解：（1）要使有意义，必须且，即由于，且，则的值域是（2）设，则，则，由题意知即为函数，的最大值，由于直线是抛物线的对称轴，则可分以下几种情况进行讨论：当时，函数，的图像是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；当时，有；当时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段，若即时，若即时，若即时，综上所述，有（3）由（2）得到：当时，单调递减，单调递增，则恒成立当时，由于，则，则单调递减，又由于递增，则，所以恒不成立当时，所以：恒不成立综上：满足不等式的实数的
6、取值范围是：16已知函数（1）是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由（2）若存在实数，使得函数的定义域是，值域是，求实数的取值范围解：（1）不存在实数满足条件事实上，若存在实数满足条件，则有故（）当时，在（0，1）上为减函数，所以，即由此推得，与已知矛盾，故此时不存在实数满足条件（）当时，在上为增函数，所以，即于是，为方程的实根而此时方程无实根，故此时也不存在实数，满足条件（）当，时，显然，而，所以，矛盾综上可知，不存在实数满足条件（2）若存在实数满足定义域是，值域是，易得，仿（1）知，当或，时，满足条件的实数，不存在只有当时在上为增函数，有即于是为
7、方程的两个大于1的实根则只须解得所以的取值范围为17函数在整数集上，且满足，求的值解：定义：，其中等式右边有层函数因为，根据周期性，所以18已知函数，（1）当时，求函数的最小值（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围解：（1）当时，由于在上是增函数，则在上有最小值（2）在上，恒成立，等价于恒成立，令，则在上是增函数，当时，有最小值，由恒成立，得，故19设，为常数，；：把平面上任意一点映射为函数（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数（2）证明：当时，这里为常数（3）对于属于的一个固定值，得，在映射的作用下，作为像，求其原像，并说明它是什么图像解：（1）假设有两个不同的点，对应同一函数，即
8、与相同，即对一切实数均成立特别令，得；令，得这与，是两个不同点矛盾，假设不成立故不存在两个不同点对应同函数（2）当时，可得常数，使，由于，为常数，设，则是常数从而（3）设，由此得，其中，在映射之下，的原像是，则的原像是消去得，即在映射之下，的原像是以原点为圆心，为半径的圆20设记，2，3，对所有正整数，证明：证明：（1）如果，则，（2）如果，由题意，2，3，则当时，事实上，当时，设时成立（为某整数），则对， 当时，事实上，当时，设时成立（为某整数），则对，有注意到当时，总有，即从而有由归纳法，推出（3）当时，记，则对于任意，且对于任意，则所以，当时，即因此综合（1）（2）（3），我们有3.2
9、函数关系的建立基础练习1某商场在节日期间推出一项促销活动，“满100送30”，即当消费额超过100元当场抵扣30元，例如消费额为180元抵扣30元，实际支付费用为150元；消费额200元抵扣60元，实际支付费用为140元；依此类推（1）建立实际支付费用与消费额之间的函数关系（2）消费金额不同，实际支付的费用能否相同？解：（1）则，（2）消费金额不同，实际支付的费用可能相同，如消费额170元时，实际支付费用为140元，而消费额200元时，实际支付的费用也为140元2某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件售出，则每天可以卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出的件数将减少一件试写出每天出售衬衫的
10、净收入与销售价格之间的函数关系解：，3投寄本埠平信，每封信不超过20克时付邮费0.6元，超过20克不超过40克时付邮费1.2元，依此类推，每增加20克需增加邮费0.6元（重量在100克以内），如果某人投一封重量为72.5克的信，求他应付的邮费解：0.64=2.4元4一长方形泳池中相邻的两条泳道和（看成两条互相平行的线段见图3-2）分别长90米，甲在泳道上从处出发，以3米/秒的速度到达以同样的速度返回处，然后重复上述过程；乙在泳道上从处出发，以2米/秒的速度到达以同样的速度游回处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）两人同时开始运动（1）设甲离开池边处的距离为米，当时间（单位：秒
11、）时，写出关于的函数解析式（2）在图3-2的直角坐标系中，轴表示时间（单位：秒），轴表示离开池边处的距离在同一个坐标系中画出甲乙两人各自运动的函数图像（实线表示甲的图像，虚线表示乙的图像）（3）请根据图像判断从开始运动起到3分钟为止，甲乙的相遇次数解：（1）（2）如上右图（3）图线交点代表相遇，可见相遇五次5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场如图3-3，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元（1）设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系（2）
12、由于条件限制30，40，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元）解：（1）塑胶跑道面积（2）设运动场造价为，在30，40上单调递增当，运动场造价最低位636510元6国际上常用恩格尔系数（记作）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各种类型家庭的如下表所示：家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕根据某市城区家庭抽样调查统计，2003年初至2007年底期间，每户家庭消费支出总额每年平均增加720元，其中食品消费支出总额每年平均增加120元（1）若2002年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额9600元，问2007年底能否达到富裕？请说明理由（2）若2007年比200
13、2年的消费支出总额增加36，其中食品消费支出总额增加12，问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由解：（1）2007年底能达到富裕（2）（解题提示：通过支出增加的比例与实际量，算出2002年的消费支出总额）6年后即2008年底起达到富裕7某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计利息）已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量（百件）与销售价（元/件）之间的关系用图3-4中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元（1）若
14、当销售价为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？解：（1）设该店的月利润为元，有职工名所以，由已知，当时，即，解得即此时该店有50名职工（2）若该店只安排40名职工，则月利润当时，求得时，取最大值7800元当时，求得时，取最大值6900元综上，当时，有最大值7800元设该店最早可在年后还清债务，依题意，有127800-268000-2000000解得所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元8已知每生产一件合格的仪器可以盈利元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适
15、的日产量（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当时，所以，每天的盈利额当时，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件则每天的盈利额综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0当时，为表达方便，令，则故等号当且仅当，即（即）时成立所以，当时，（等号当且仅当时成立）当时，由得，易证函数在，上单调递增（由函数图像易知）所以，因此，即（等号当且仅当时取得）综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润9某医院研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂
16、量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图3-5所示的曲线（1）写出服药后与之间的函数关系式（2）据测定，每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药时问、次数，效果最佳？解：（1）依题意，得（2）设第二次服药时，在第一次服药后小时，则，（小时）因而第二次服药应在10：00设第三次服药在第一次服药后小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，即有，解得（小时），因而第三次服药应在14：00设第四次服药在第一次服药后小时（），则此时第一次服的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和，解得（小时），故第四
17、次服药应在17：3010居民自来水收费规定：月总费用=基本费用3元+保险金元+超额费（为定值且元）；每月每户用量不超出基本限额米3付基本费3元和保险费，超出部分付元/米3，某户近三月费用见下表，求、月序号用水量（米3）费用（元）1442251433519解：费用，由于，故2月，3月都超额（1）1月不超额，；又，故（2）如果1月也超额，将数据代入，无解综合之，11如图3-6，在单位正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切，记其中一个圆的半径为，两圆的面积之和为，将表示为的函数，求函数的解析式及的值域解：设另一个圆的半径为，则，则，因为当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另
18、一圆半径最小，所以函数的定义域为因为，所以；因为，所以，所以函数的值域为3.3 函数的运算及图像基础练习1已知函数的图像如图3-10所示，那么，函数的图像是图3-11中的（ ）解：A（解题提示：将图像向左平移1个单位，将轴以下部分向上翻折即可）2甲、乙两人沿同一方向去地，途中都使用两种不同的速度，（）甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图像及关系，图3-12中4个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程），其中正确的图示分析为（ ）A（1） B（3）C（1）或（4） D（1）或（2）解：D（解题提示：速度相同
19、，图线斜率相同）3定义域和值域均为 （常数）的函数和的图像如图3-13所示，给出下列四个命题：（1）方程有且仅有三个解；（2）方程有且仅有三个解；（3）方程有且仅有九个解；（4）方程有且仅有一个解那么，其中正确命题的个数是（ ）A1 B2C3 D4解：B（1），（4）正确4如图3-14所示，向高为的水瓶，同时以等速注水，注满为止（1）若水深与注水时间的函数图像是图3-15中的（），则水瓶的形状是_（2）若水量与水深的函数图像是图3-15中的（），则水瓶的形状是_（3）若水深与注水时间的函数图像是图3-15中的（），则水瓶的形状是_（4）若注水时间与水深的函数图像是图3-15中的（），则水瓶的形
20、状是_解：（1）C（2）A（3）D（4）B5已知，且，则的值有（ ）A2个 B3个C4个 D无数个解：D（解题提示：满足，且的都可以）6已知，求和解：，7根据函数，作出下列函数的图像：，解： 能力提高8已知，那么方程的解的个数是_解：作图像可得5个9设函数，已知时恒有，求的取值范围解：10设曲线的方程是，将沿轴、Y轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，（1）写出曲线的方程（2）证明曲线与关于点对称（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：解：（1）曲线的方程为（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，则有， ，代入曲线的方程，得的方程：，即可知点在曲线上反过来，同样证明，在曲线上的
21、点的对称点在曲线上因此，曲线与关于点对称（3）证明：由于曲线与有且仅有一个公共点， 方程组有且仅有一组解，消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，则，即得，因为，所以11（1）试作出函数的图像（2）对每一个实数，三个数，中最大者记为，试判断是否是的函数解：（1）由于，则为奇函数，从而可以作出时的图像，又由于时，则时，的最小值为2，图像最低点为（1，2），又由于在（0，1）上为减函数，在上是增函数，同时即以为渐近线，于是时，函数的图像应为下图，图像为图：（2）是的函数，作出，的图像可知，的图像是图中实线部分定义域为；值域为12设函数（1）在区间上画出函数的图像（2）设集合试判断集合和
22、之间的关系，并给出证明（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方解：（1）如右图所示，（2）方程的解分别是，0，4和，由于在和2，5上单调递减，在和上单调递增，因此由于，则（3）当时，由于，则又，当，即时，取，由于，则，则当，即时，取，由、可知，当时，因此，在区间1，5上，的图像位于函数图像的上方13已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则的值为_解：点集是顶点为，的正方形的四条边（如右图）将，变形为， 所以，集合是由四条直线，构成欲使为正八边形的顶点所构成，只有或这两种情况（1）当时，由于正八边形的边长只能为2，显然有，故（2）当时，设正八边形边长为，则，这时，综上所述，
23、的值为或，如图中，14记函数的定义域为，若存在，使成立，则称为坐标的点为函数图像上的不动点（1）若函数等图像上有两个关于原点对称的不动点，求，应满足的条件（2）在（1）的条件下，若，记函数图像上有两个不动点分别为，为函数图像上的另一点，其纵坐标，求点到直线距离的最小值及取得最小值时的坐标（3）下述命题：“若定义在上的奇函数图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，请举一反例解：（1）若为函数不动点，则有，整理得 根据题意可判断方程有两个根，且这两个根互为相反数，得且，所以，而，所以即，且（2）在（1）的条件下当时，由，解得两个不动点为，设点，则，即，解得：
24、设点到直线的距离为，则当且仅当，即时取等号，此时（3）命题正确因为定义在上的奇函数，所以，所以0是奇函数的一个不动点设是奇函数的一个不动点，则，由，所以也是的一个不动点所以奇函数的非零不动点如果存在，则必成对出现，故奇函数的不动点数目是奇数个3.4 函数的奇偶性和函数的单调性基础练习1已知是偶函数，当时，为增函数，若，且，则（ ）ABCD解：B2判断下列各函数的奇偶性：（1）（2）解：（1）由定义域不对称，可知为非奇非偶函数（2）由定义可知为奇函数 3已知是定义在上的减函数，若成立，求的取值范围解：，且，或4已知定义域为的函数是偶函数，并且在上是增函数，若，求不等式的解集解：即与异号5已知是上
25、的奇函数，且当时，求的解析式解：6若为奇函数，且在上是减函数，又求的解集解：画的大致图像，可知7设，是上的偶函数（1）求的值（2）证明在上为增函数 解：（1）依题意，对一切，有，即则对一切成立，则，则，由于，则（2）设，则，由，得，则，即，则在上为增函数8已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称在中，令，得，令，得，即则，即是奇函数（2）由，及是奇函数，得 9设是上的偶函数，且在区间上递增，若成立，求的取值范围解：由于，恒为正数，则能力提高10设函数在上是奇函数，又在上是减函数且，指出在上的增减性，并证明解：增函数，用单调性定义证明11
26、已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数（1）如果函数的值域为，求的值（2）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）解：（1）3（2）上递减，上递增，上递增，上递减（3），若为奇数，则在上递减，上递增；在上递减，在递增若为偶数则在上递减，上递增；在上递增，在递减12定义在上的奇函数满足，且当，时，有（1）判定函数在的单调性并加以证明（2）若对所有，恒成立，求的取值范围解：（1）任取，且，则因为，所以，则是上的增函数（2）要使得对所有，恒成立，只须，即对
27、任意的恒成立，考虑，只须，解之得：或或13已知函数（且）（1）试就实数的不同取值，写出该函数的单调递增区间（2）已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，求的值并写出函数的解析式（3）记（2）中的函数的图像为曲线，试问是否存在经过原点的直线，使得为曲线的对称轴？若存在，求出的方程；若不存在请说明理由解：（1）当时，函数的单调递增区间为及，当时，函数的单调递增区间为及，当时，函数的单调递增区间为及（2）由题设及（1）中知且，解得，因此函数解析式为（3）假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴，显然、轴不是曲线的对称轴，故可设：，设为曲线上的任意一点，与关于直线对称，且，则也在曲线上，由此得，且，整理
28、得，解得或，所以存在直线及为曲线的对称轴14定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界已知函数；（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围（3）若，函数在0，1上的上界是，求的取值范围解：（1）当时，因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立所以函数在上不是有界函数（2）由题意知，在上恒成立， 在上恒成立 设，由得，设，所以在上递减，在上递增，在上的最大值为，在上的最小值为所以实数的取值范围为（3），由于，则在0，1上递减，则，即当，即时，此时；当，即
29、时，此时综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是15已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数、，总有成立若对于任意非零实数，总有设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论解：令，则，又由于，则令，得，即则对任意的实数总成立，则为偶函数结论：证明：由于时，则，即则令，故，总有成立则则对于，总有成立则对于，若，则有成立由于，所以可设，其中，是非负整数，都是正整数，则，令，则，由于，则，则，即由于函数为偶函数，则，则3.5 函数的最值基础练习1求下列函数的最值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）换元法解题，可得：（2）函数单调递增，可得：（3）三角换元，可得：（4）取平方解
30、题，（5）判别式法解题，（6）换元法解题，可得：2求函数，的最小值解：时，最小值为；时，最小值为3已知函数（1）若，求函数的值域（2）若对于任意的实数，恒成立，求实数的取值范围解：（1）（2）因为恒成立恒成立，4已知的值域是，试求的值域解：换元法解题，5若函数在区间上的最小值为，最大值为，求解：当时，为的两根，无解当时，解得：，当时，则或6已知为正整数，实数，满足，若的最大值为40，则满足条件的数对的个数为_解：，则有（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5）共5对7已知函数，若，那么的最大值是_解：画出上述函数的图像，所求的最大值为18如图3-16，在锐角中，于点，且，点为边
31、上的任意一点，过点作，交于点设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）（1）分别求出当与时，与的函数关系式（2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？解：（1），（2）当时，有最大值：9已知函数是奇函数（1）求常数的值（2）判断的单调性并证明（3）求函数的值域解：（1）（2）若，则，于是，故，即若，则，于是，仍有综上，在及上都是减函数（3）由得：，解得或，即函数值域是能力提高10甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过千米/时已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比
32、例系数为；固定部分为元（1），把全部运输成本（元）表示成（千米/时）的函数，并指出它的定义域（2）为使最小，汽车应以多大速度行驶？解：（1）依题意，化简，得，（2）因，当且仅当，即时，有最小值若，则当（千米时）时，最小若，设，考虑两数的单调性因此，是减函数于是，当（千米/时），最小综上可知，当时，取（千米/时）；当（千米时）时，取，这样可使最小11要完成一项加工任务，其中包含6 000个零件，2 000个零件该厂有214名工人，每名工人加工5个零件的时间可以加工3个零件现将工人分成两组，同时开始，分别加工这两种零件为使该项任务尽快地全部完成，应如何分组？（每名工人只加工一种零件）解：设加工零件
33、人，加工零件人，在单位时间内，每名工人可加工零件个，或者可以加工零件个，则加工完零件所需时间，加工完零件所需时间，要使两项工作都完成，则取，中最大的一个时间为由于则当时，是关于的增函数，当时， 则当时，是关于的减函数，当时， 为使任务尽快完成，则要求最小由于，则当时，所需时间最少故应安排137人完成零件，应安排77人完成零件12求函数的最大值解：，记点，则表示动点到点和距离的差，见右图因为，当且仅当为延长线与抛物线的交点时等号成立所以13已知函数将的图像向右平移两个单位，得到图像（1）求函数的解析式（2）若函数与函数图像关于直线对称，求函数解析式（3）设，已知的最小值是，且，求实数的取值范围解
34、：（1）由题设， （2）设在的图像上，在的图像上，则则，即（3）由题设，由于，当时，有，而，则，这与的最小值，矛盾；当时，有，在上是增函数，故不存在最小值；时，有，此时在上是减函数，故不存在最小值；当时，有，当且仅当时取得等号，取最小值又及，得，则14已知函数的图像与轴的交点至少有一个在原点右侧，（1）求实数的取值范围（2）令，求（其中表示不超过的最大整数，例如：，）（3）对（2）中的，求函数的值域解：（1）由于，时由图像易知，交点分布在原点两侧，是交轴与符合题意，时，解得，则； （2）由于，则，则时，时；（3）时，于是，由于在上递增，则，设，递减则，则，设，则，则，则，则时，值域为即，综上，
35、的值域为15已知函数（为实常数）（1）若，作函数的图像（2）设在区间上的最小值为，求的表达式（3）设，若函数在区间1，2上是增函数，求实数的取值范围解：（1）当时， 作图（如右所示）（2）当时，若，则在区间1，2上是减函数，若，则，图像的对称轴是直线当时，在区间1，2上是减函数，当，即时，在区间1，2上是增函数， 当，即时，当，即，时在区间1，2上是减函数， 综上可得（3）当时，在区间1，2上任取，且，则因为在区间1，2上是增函数，所以，因为，所以，即，当时，上面的不等式变为，即时结论成立当时，由得，解得，当时，由得，解得，所以，实数的取值范围为16已知，函数（1）当时，求所有使成立的的值（2
36、）当时，求函数在闭区间1，2上的最小值（3）试讨论函数的图像与直线的交点个数解：（1），所以或（2），当时，这时，对称轴，所以函数在区间1，2上递增，；当时，时函数；当时，这时，对称轴，由于，所以函数；（3）因为，所以，所以在上递增；在上递增，在上递减因为，所以当时，函数的图像与直线有2个交点；又，当且仅当时，等号成立所以，当时，函数的图像与直线有1个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点；当时，函数的图像与直线有3个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点；当时，函数的图像与直线有3个交点17设为实数，设函数的最大值为（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数（2）求解：本小题主要考查函数、方程
37、等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力（1）令，要使有意义，必须且，即，则， 的取值范围是由得，则，（2）由题意知即为函数，的最大值注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论当时，函数，的图像是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，则当时，则当时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段，若，即，则若，即，则若，即，则综上有18求函数在区间上的值域解：，换元法求得：值域为3.6 函数的周期性基础练习1已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，求的值解：2已知定义在上的奇函数满足，求的值解：3已知是定义在上的函数，且对任意都有，若，则_解：由得：，所以
38、，即，则则即是周期为1的周期函数，又，故4已知函数的图像关于点对称，且满足，又，求的值解：是周期为3的周期函数，且是偶函数，则5设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，求的值解：是周期为1的周期函数能力提高6实数，是定义在全体实数集上的实值函数，对每一个实数，有，证明：是周期函数解：将原式移项后两边平方，得，即 在中用替换后得 -得 但据原式知，对任意，于是，由得到，此式表明是以为周期的周期函数7设对任意，有，试证，函数为周期函数证：用替换上式中的后得， 进而有 +得，即所以，； 据和得，即是以6为周期的周期函数本例可推广为：若满足，则是以为周期的周期函数（）（证略）8设为正整数，规定：，
39、已知（1）解不等式：（2）设集合，对任意，证明：（3）求的值（4）若集合，证明：中至少包含有8个元素解：（1）当时，由得， 当时，因恒成立 由得，的解集为（2） ，当时，；当时，；当时，即对任意，恒有（3），一般地，则（4）由（1）知，则则则由（2）知，对，或1，或2，恒有，则则0，1，由（3）知，对，恒有，则，综上所述，0，1，2， 中至少含有8个元素（答案不唯一）9设是定义在上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，（1）求在上的解析表达式（2）对自然数，求集合使方程在上有两个不相等的实根解：（1）（2）对自然数，集合10设是定义在上以2为周期的函数，且是偶函数，在上，（1）求当的的解
40、析式（2）若函数的图形与过定点的直线在上有4个不同的交点，求此直线斜率的取值范围解：（1）（2）由数形结合可知：11设，记，试求方程在上有几个根？解：由于函数的图像关于直线对称，（）则的图像首先是关于对称，又当时，其图像又关于对称，于是，据例1的推广知，在上以为周期，易知方程有个根同样的，的图像首先关于，对称，又关于为对称，其三，关于为对称，于是知在0，1上以为周期，依上面讨论知的图像如上图，故方程的根的个数为个一般地，函数分别在区间；，上以；，为对称轴，且图像与轴交点也恰好为这些对称轴与轴的交点故在0，1上以为周期，于是，根据周期性可作出的图像（图略），它由叫个“”字连接而成，根据图像可知方
41、程在0，1上有个根12函数定义在实数集上，且对一切实数满足等式：和设是的一个根，记在区间中的根的个数为求的最小值解：由已知条件，有 及在中令，得区间是的200个周期因此上至少有1+2002=401个根我们可以构造出一个“锯齿形”函数（如右图），满足上述所有条件，它在区间上有401个根，除此以外不再有其他根，因此所求的最小值为40113对于实数，当且仅当时，规定，（1）求不等式的解（2）某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，求2008棵树种植点的坐标解：（1），则（2）令，则故是周期为5的函数计算可知：；所以，；以上各式叠加，得；同理可得所以，第
42、2008棵树的种植点为（3，402）14设是一个从实数集映射到自身的函数，并且对任何均有，以及证明：是周期函数，即存在一个非零实数，使得对任意，成立证：因为对任何，有，即 同样，有即 由即则对所有成立又由于有界，故只有则，为周期函数3.7 简单的函数方程基础练习1求下列函数方程的解：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）2设函数：，满足，且对任意，都有，求解：由于对，有，则有则即，令，得3已知函数定义域为且单调递增，满足，（1）证明：（2）求（3）若，求的范围（4）试证解：（1）令，则，则（2）（3），在上单调递增则则（4）由于，则4已知集合是满足下列性质的函数的全体：若存在非零
43、常数，对任意，等式恒成立（1）判断一次函数是否属于集合（2）证明属于集合，并找到一个常数（3）已知函数与的图像有公共点，试证明：解：（1）若，则存在非零常数，对任意均有，即恒成立，得无解，则（2），则，时等式恒成立，则（3）由于与有交点，由图像知，与必有交点设，则，则5设函数的定义域为当时，且对任意的实数，有成立证明在上为减函数证明：令，得，当时，进而得设，且，则，故，函数在上是单调递减函数6已知是定义在上的函数，且对任意的，有，规定，成立，又知，但不恒为0，且，证明：为周期函数证明：在题设中令，得： ， 由于，则， 注意，并用和分别替换题设中的和得所以， 再据有，则是以为周期的周期函数7设定
44、义在正整数集上，且，求解：令，得再依次令，有，依次代入，得，则8函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值（2）对任意的，都有成立时，求的取值范围解：（1）由已知等式令，得，又由于，则（2）由，令得，由（1）知，则由于，则在上单调递增，则要使任意，都有成立，当时，显然不成立当时，则，解得则的取值范围是9设集合（1）试判断；，是否属于集合？（2）若（，为常数，）属于，试寻找其充要条件（3）根据对第（1），（2）小题的研究，请你对属于集合函数从函数性质方面提出一个有价值的结论，说明理由；若（，），判断与集合的关系解：（1）若时，则任取， （2）若，则对任意的恒成立，即对任意的，恒成立，由于，则（3
45、）可得对属于集合的函数是奇函数取，得任取，令，得，得，则，则对属于集合的函数必是奇函数因为如果一个函数不是奇函数，则此函数不属于集合，而二次函数，（，）必定不是奇函数，所以（，）能力提高10对每一实数对，函数满足若，试求满足的所有整数_解：1或令，得；令，由，得，又令，可得，再令，得 所以，即为正整数时，由可知对一切正整数，因此时，即对一切大于1的正整数，恒有由得，下面证明：当整数时，因，故，由得：，即，相加得：，因为：，故综上所述：满足的整数只有或11定义在上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值（2）判断的单调性并证明你的结论（3）设，若，试确定的取值范围（4）试举出一个满足
46、条件的函数解：（1）在中，令，得：因为，所以，（2）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件中，若取，则已知条件可化为：由于，所以为比较、的大小，只需考虑的正负即可在中，令，则得由于时，则当时，又，所以，综上可知，对于任意，均有则则函数在上单调递减（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子即，即由，所以，直线与圆面无公共点所以，解得：（4）如12已知定义在上的函数满足：值域为，且当时，；对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（1）试求的值（2）判断并证明函数的单调性（3）若函数存在反函数，求证：解：（1）在中，令，则有即也即由于函数的值域为，所以，所以（2）函数的单调
47、性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有 这个问题实际上是：是否成立？为此我们首先考虑函数的奇偶件，也即与的关系由于，所以，在中，令，得所以，函数为奇函数故式成立所以，任取，且，则，故且，所以，所以，函数在上单调递减（3）由于函数在上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，为了证明本题，需要考虑的关系式在式的两端，同时用作用，得：，令，则，则上式可改写为：不难验证：对于任意的，上式都成立（根据一一对应）这样，我们就得到了的关系式这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过立项相消的方法化简求证式的左端事实上，由于，所以，所
48、以，13设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数，恒有，则称为定义在上的函数（1）试判断函数，中哪些是各自定义域上的函数，并说明理由（2）已知是上的函数，是给定的正整数，设，且，记对于满足条件的任意函数试求的最大值（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数解：（1）是函数，证明如下：对任意实数，及，有即则是函数 不是函数，证明如下：取，则即则不是函数（2）对任意，取，由于是上的函数，且，则那么可证是函数，且使得都成立，此时综上所述，的最大值为（3）假设是上的函数若存在且，使得若，记，则，且那么 这与矛盾若，记，也可得到矛盾则在上是常数函数，又因为是周期为的函数所以在上是常数函数，这与的最小正周期为矛盾所以不是上的函数