1、专题二 三角函数、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质考情分析三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角变换交汇命题，难度为中档偏下.年份卷别考查角度及命题位置2017卷三角函数的周期求法T3三角函数的最值问题T13卷三角函数的最值问题T62016卷三角函数的图象变换与性质T6卷已知三角函数图象求解析式T3三角函数的最值问题T11卷三角函数图象变换T142015卷三角函数的图象与性质T8真题自检1(2017高考全国卷)函数f(x)sin(2x)的最小正周期为()A4B2C D.解析：依题意得，函数f(x)s
2、in(2x)的最小正周期T，选C.答案：C2(2016高考全国卷)将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解析：函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选D.答案：D3(2017高考全国卷)函数f(x)2cos xsin x的最大值为_解析：依题意，得f(x)sin(x)(其中sin ，cos )因此函数f(x)的最大值是.答案：函数yAsin(x)的图象与变换方法结论函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图：设zx，令z0，2，求出x的值与
3、相应的y的值，描点、连线可得(2)图象变换：题组突破1(2017呼和浩特调研)如图是函数f(x)sin 2x和函数g(x)的部分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象()A向右平移个单位得到的B向右平移个单位得到的C向右平移个单位得到的D向右平移个单位得到的解析：由题意可得，在函数f(x)sin 2x的图象上，(，y)关于对称轴x对称的点为(，y)，而，故g(x)的图象可能是由f(x)的图象向右平移个单位得到的答案：B2(2017河西五市联考)将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.B.C. D.解析：ys
4、in xcos x2sin(x)，将其图象向左平移m个单位后，得到的图象对应的函数解析式为y2sin(xm)，由题意得，mk，kZ，则mk，kZ，故取k0时，mmin，故选B.答案：B3(2017合肥模拟)要想得到函数ysin 2x1的图象，只需将函数ycos 2x的图象()A先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度C先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度D先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：先将函数ycos 2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin 2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得ysin 2x1的图象，故选B.
5、答案：B误区警示作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由ysin x(0)的图象得到ysin(x)的图象时，应将图象上所有点向左(0)或向右(0)平移个单位，而非|个单位由图象求yAsin(x)的解析式方法结论函数yAsin(x)解析式的确定利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定，利用图象的某一已知点确定.题组突破1(2017贵阳模拟)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)，其导数f(x)的图象如图所示，则f()的值为()A2B.C D解析：依题意得f(x)Acos(x)，结合函数yf(x)的图象可知，T4()，2.又A1，因此A.因为0，且f
6、()cos()1，所以， ，f(x)sin(2x)，f()sin()，故选D.答案：D2(2017沈阳模拟)某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是()Aysin BysinCysin Dycos解析：通解：不妨令该函数解析式为yAsin(x)(0)，由图知A1，于是，即，是函数的图象递减时经过的零点，于是2k，kZ，所以可以是，选C.优解：由图象知过点，代入选项可排除A、D.又过点，代入B，C知C正确答案：C误区警示用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点
7、)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.三角函数的性质方法结论1三角函数的单调区间ysin x的单调递增区间是(kZ)，单调递减区间是(kZ)；ycos x的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x的递增区间是(kZ)2三角函数奇偶性判断yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数3三角函数周期性的求法函数yAsin(x)(或yAcos(x)的最小
8、正周期T.应特别注意y|Asin(x)|的周期为T.4求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)典例(2017绵阳模拟)已知函数f(x)cos xsin(x)cos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)求f(x)在，上的
9、最大值和最小值解析：由已知有f(x)cos xsin(x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)(1)f(x)的最小正周期为T.(2)因为ysin x的单调递增区间为2k，2k(kZ)，所以2k2x2k，kZ，即kxk，kZ.故f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)(3)因为x，所以2x，所以sin(2x)1，所以f(x)sin(2x)，故f(x)在，上的最大值为，最小值为.类题通法1整体思想在三角函数性质中的应用在求解yAsin(x)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将x看作整体，利用yAsin x的图象
10、与性质进行求解2研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用演练冲关1(2017石家庄模拟)若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于(，0)对称，则函数f(x)在，上的最小值是()A1BC D解析：f(x)sin(2x)cos(2x)2sin(2x)，则由题意，知f()2sin()0，又0，所以，所以f(x)2sin 2x，f(x)在，上是减函数，所以函数f(x)在，上的最小值为f()2sin ，故选B.答案：B2(2017长春质检)函数ysin与ycos的图象关于直线xa对称，则a可能是()A. B.C. D.解析：由题意，函数ysin的图象关于直线xa对称的图象对应的函数为y
11、sin，利用诱导公式将其化为余弦表达式为ycoscos，则ycoscos，得a.故选A.答案：A3(2017上海普陀区调研)已知函数f(x)2sin2 xbsin xcos x满足f2.(1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期；(2)记g(x)f(xt)，若函数g(x)是偶函数，求实数t的值解析：(1)由f2，得2b2，解得b2.则f(x)2sin2 x2sin xcos x1cos 2xsin 2x12sin，所以函数f(x)的最小正周期T.(2)由(1)得f(xt)2sin1，所以g(x)2sin1，又函数g(x)是偶函数，则对于任意的实数x，均有g(x)g(x)成立所以sinsin
12、，整理得cossin 2x0.则cos0，解得2tk，kZ，所以t，kZ.三角函数与其他知识的交汇问题三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、向量、方程等知识的交汇典例函数y2sin 1的部分图象如图所示，则(2)()A10B5C5 D10解析：令y1，可得sinx0，由五点作图法知x，解得x2，故A(2,1)令y2sin x11，得sin x1，由五点作图法得x3，故B(3，1)所以(2)(8，1)(1，2)8210，故选D.答案：D类题通法解决三角函数与其他知识的交汇问题
13、，要充分利用三角函数的图象与性质，如本例充分利用了数形结合思想演练冲关1已知定义在区间0，上的函数yf(x)的图象关于直线x对称，当x时，f(x)cos x，如果关于x的方程f(x)a有解，记所有解的和为S，则S不可能为()A. B.C. D3解析：依题意作出函数f(x)在区间0，上的简图，当直线ya与函数yf(x)的图象有交点时，方程f(x)a有解，所以1a0.当a0时，f(x)a有2个解，此时S.当a时，f(x)a有3个解，此时S.当1a时，f(x)a有4个解，此时S23.当a1时，f(x)a有2个解，此时S.故选A.答案：A2设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)解析：由正弦型函数的图象可知：f(x)的极值点x0满足f(x0)，则k(kZ)，从而得x0m(kZ)所以不等式xf(x0)2m2即为2m23m2，变形得m23，其中kZ.由题意，存在整数k使得不等式m23成立当k1且k0时，必有21，此时不等式显然不能成立，故k1或k0，此时，不等式即为m23，解得m2或m2.答案：C