1、第3讲 相等关系与不等关系1实数大小与运算性质之间的关系ab0 ；ab0 ；abb ；ab，bc ；ab，bbacbc可逆可乘性ab，c0 ；ab，cb，cd 同向同向同正可乘性ab0，cd0 同向，同正可乘方性ab0，nN* 同正可开方性ab0，nN，n2 同正 考点1 比较大小名师点睛比较两个数(式)大小的方法典例1.（2022湖南高三周练）若，比较与的大小2.（2021江苏高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.举一反三1（2022重庆模拟预测）若，则（）ABCD2.（2022重庆市育才中学模拟预测）（多选）若ab0c，则()ABCD3.比较与的大小4已知：、， 且，比较的大小.5（
2、2021全国高三专题练习（文）已知，比较与的大小 考点2 不等式的性质名师点睛(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等典例(1)已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A若1，则abB若，则abC若a3b3且ab0，则D若a2b2且ab0，则(2)(多选)下列命题为真命题的是()A若ab0，则ac2bc2B若ababb2C若ab0且cD若ab且，则abb
3、，则下列不等式恒成立的是（）Ab2CDa|c|b|c|2（2022安徽黄山二模（文）设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（）ABCD3（多选）（2021福建三明模拟预测）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A若ab，cd，则a-db-cB若ab，cd则acbdC若ab0，bc-ad0，则D若ab，cd0，则4（多选）（2021山东潍坊模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列结论成立的是（）ABCD5.设ab0，m0，n0，则，由小到大的顺序是_ 考点3 不等式性质的应用名师点睛利用待定系数法求代数式的
4、取值范围已知M1f1(a，b)N1，M2f2(a，b)N2，求g(a，b)的取值范围(1)设g(a，b)pf1(a，b)qf2(a，b)；(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围典例已知1x4，2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_举一反三1若6a10，b2a，cab，则c的取值范围是()A9，18 B(15，30)C9，30 D(9，30)2.（多选）（2022山东模拟预测）已知实数x，y满足则（）A的取值范围为B的取值范围为C的取值范围为D的取值范围为3.（2022全国江西科技学院附属中学模拟预测（文）已知实数、满足，
5、则的取值范围为_42021东北三省四市联考已知角，满足，00ab；ab0ab；ab0abba；aa可逆传递性ab，bcac；ab，bcabacbc可逆可乘性ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd同向同向同正可乘性ab0，cd0acbd同向，同正可乘方性ab0，nN*anbn同正可开方性ab0，nN，n2同正 考点1 比较大小名师点睛比较两个数(式)大小的方法典例1.（2022湖南高三周练）若，比较与的大小【解】- = ,因为， 故，故，即.2.（2021江苏高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.【解】因为为整数，则且，由，当且仅当时，等号成立，所以，所以.举一反三1（2022
6、重庆模拟预测）若，则（）ABCD【答案】A【解析】，又，又综上：故选：A2.（2022重庆市育才中学模拟预测）（多选）若ab0c，则()ABCD【答案】ABD【解析】A：，故A正确；B：，故B正确；C：时，在单调递减，故C错误；D：ab0c，c0，ab，故等号取不到，故，故D正确.故选：ABD.3.比较与的大小【解】,b0， 则，a-b0， ， 此时成立；(2)若ba0， 则， a-b. 考点2 不等式的性质名师点睛(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命
7、题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等典例(1)已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A若1，则abB若，则abC若a3b3且ab0，则D若a2b2且ab0，则(2)(多选)下列命题为真命题的是()A若ab0，则ac2bc2B若ababb2C若ab0且cD若ab且，则abab，abb2，所以a2abb2，所以B命题是真命题；ab0a2b200，因为c，所以C命题是真命题；00，因为ab，所以ba0，abb，则下列不等式恒成立的是（）Ab2CDa|c|b|c|【答案】C【解析】当a=1，b=-2时，满足ab，但，a20，ab，由
8、不等式性质得，C正确；当c=0时，a|c|b|c|不成立，排除D，故选：C2（2022安徽黄山二模（文）设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】D【解析】对于A：当，时不成立，故A错误；对于B：当，所以，即，故C错误；对于C：当时不成立，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以（等号成立的条件是），故D正确.故选：D.3（多选）（2021福建三明模拟预测）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A若ab，cd，则a-db-cB若ab，cd则acbdC若ab0，bc-ad0，则D若ab，cd0，则【答案】AC【解析】解：由不等式性质逐项分析：A选项：由，故，根据不等式同
9、向相加的原则，故A正确B选项：若，则，故B错误；C选项：，则，化简得，故C正确；D选项：，则，故D错误.故选：AC4（多选）（2021山东潍坊模拟预测）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列结论成立的是（）ABCD【答案】AC【解析】解：对于A，由，可得，故A正确；对于B，由，当时，可得，故B错误；对于C，由，当时，可得，可得，当，时，可得，当时，可得，故C正确；对于D，当，时，故D错误故选：AC5.设ab0，m0，n0，则，由小到大的顺序是_答案解析0，1.0，1. 考点3 不等式性质的应用名师点睛利用待定系数法求代数式的
10、取值范围已知M1f1(a，b)N1，M2f2(a，b)N2，求g(a，b)的取值范围(1)设g(a，b)pf1(a，b)qf2(a，b)；(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围典例已知1x4，2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_【解析】因为1x4，2y3，所以3y2，所以4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，所以13x2y18.【答案】(4，2)(1，18)举一反三1若6a10，b2a，cab，则c的取值范围是()A9，18 B(15，30)C9，30 D(9，30)解析：选D.因为b2a，所以ab3a，
11、即c3a，因为6a10，所以9c30.故选D.2.（多选）（2022山东模拟预测）已知实数x，y满足则（）A的取值范围为B的取值范围为C的取值范围为D的取值范围为【答案】ABD【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.3.（2022全国江西科技学院附属中学模拟预测（文）已知实数、满足，则的取值范围为_【答案】【解析】解：设，则，解得，所以，因为，所以，所以，故答案为：.42021东北三省四市联考已知角，满足，0，求3的取值范围解结合题意可知，32()()，且2()(，)，()(0，)，由不等式的性质可知3的取值范围是(，2)