1、2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学注意事项绝密启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题
2、：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 函数的最小正周期为 .解析：2. 设(i为虚数单位)，则复数的模为 .解析：3. 双曲线的两条渐近线的方程为 .解析：YN输出n开始结束（第5题）4. 集合共有 个子集.解析：（个）5. 右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 解析：经过了两次循环，n值变为36. 抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .解析：易知均值都是90，乙方差较小，7. 现有某类病
3、毒记作，其中正整数可以任意选取，则都取到奇数的概率为 .解析：可以取的值有：共个可以取的值有：共个所以总共有种可能符合题意的可以取共个符合题意的可以取共个所以总共有种可能符合题意所以符合题意的概率为8. 如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .解析：所以9. 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界).若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 .解析：易知切线方程为： 所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为易知过C点时有最小值，过B点时有最大值0.510. 设分别是的边上的点，,若(为实数)，则的值为 .解析：易知所以11. 已知是定义在上
4、的奇函数.当时，则不等式的解集用区间表示为 .解析：因为是定义在上的奇函数，所以易知时，解不等式得到的解集用区间表示为12. 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为,右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为 .解析：由题意知所以有 两边平方得到，即两边同除以得到，解得，即13. 平面直角坐标系中，设定点，是函数图像上一动点，若点之间最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 .解析：由题意设 则有令则 对称轴 1.时， ， （舍去） 2.时， ， （舍去） 综上或14. 在正项等比数列中，.则满足的最大正整数的值为 . 解析： 又时符合题意，所以的
5、最大值为二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）已知，.(1) 若，求证：；(2) 设，若，求，的值.解：(1) (2) 得： 又16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，,. 过作，垂足为，点,分别是侧棱,的中点.求证：(1) 平面平面;(2) .解：(1)分别是侧棱的中点 在平面中，在平面外 平面 为中点 在平面中，在平面外 平面 与相交于 在平面中 平面平面 (2) 平面平面 为交线 在中， 平面 与相交于 在平面中 平面 17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，点，
6、直线.设圆的半径为1，圆心在上.(1) 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；(2) 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.解：（1） 与联立得到圆心坐标 圆方程为 切线斜率不存在时，不合题意 设切线方程为 解得或 切线方程为或（2）设 则圆方程为 设 由题意 即 存在 圆与圆有交点 即两圆相交或相切 即 18. （本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径. 一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀
7、速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路长为1260m，经测量，.(1) 求索道的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1) (2) 设乙出发分钟后，甲到了处，乙到了E处 则有 根据余弦定理 即 当时，有最小值 (3) 设甲所用时间为，乙所用时间为，乙步行速度为 由题意 解不等式得19. （本小题满分16分）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和. 记，其中为实数.(1) 若，且，成等比数列，证明：；(2) 若是等差数列，证明：.解： （1） 时， 成等比 （2
8、） 由已知 是等差数列 设（k,b为常数） 有对任意恒成立 此时 命题得证20. （本小题满分16分）设函数，其中为实数.(1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围；(2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.解：（1） 由题意：对恒成立 即对恒成立 在上有最小值 时，恒成立，在无最值 时，由题意 综上：的范围是： （2）在上是单调增函数 对恒成立 即对恒成立 令，则 则有的零点个数即为与图像交点的个数 令 则 易知在上单调递增，在上单调递减 在时取到最大值 当时， 当时， 图像如下 所以由图可知：时，有1个零点 时，有2个零点 时，有1个零点 综上所述：或时，有1个零点 时，有2个零点12