1、贵州省贵阳市普通高中2018-2019学年高一数学上学期期末质量监测试题（含解析）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.已知全集，集合A1，3，5，集合B2，4，5，则集合（ ）A. 2，4，5，6B. 5C. 1，3，5，6D. 2，4【答案】D【解析】【分析】先求出,根据交集定义即可得出结果.【详解】因为A1，3，5,所以,所以.故选:D.【点睛】本题考查了集合的运算,属基础题.2.已知函数，则的值为（ ）A. 6B. 5C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】由分段函数解析式依次代入求出函数值即可得出结果.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查分段函数函数值的求法,考查学
2、生的解析式的理解辨析能力,属于基础题.3.若幂函数的图象过点，则函数的在其定义域内（ ）A. 先增后减B. 先减后增C. 单调递增D. 单调递减【答案】C【解析】【分析】将代入解析式,即可得出幂函数为,由函数图象和性质即可得出结果.【详解】因为幂函数的图象过点,所以,解得,即幂函数为,由幂函数的图象和性质可知,在定义域内单调递增.故选:C.【点睛】本题考查幂函数的图象和性质,考查学生对知识点的理解能力,属于基础题.4.下列三角函数值为正数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过诱导公式和三角函数在各象限的符号,依次判断即可得出结果.【详解】;,2为第二象限角,所以;.故
3、选:D.【点睛】本题考查诱导公式在求三角函数值中的应用,考查三角函数值在各象限的符号,属于基础题.5.在中，点D在BC边上，且BD=2DC，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量的加减法及平面向量的基本定理,以为基底表示即可.【详解】由向量的加减法可得:.故选:B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理,考查向量的加减法,属于基础题.6.已知是第一象限角，那么是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】根据象限角写出的取值范围，讨论即可知在第一或第三象限角【详解】依题意得，则，当 时，是第一象限角当 时，是第
4、三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题7.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在定义域内为增函数,比较,运用中间量0比较.【详解】在定义域内为增函数,.在定义域内为增函数,.故选:B.【点睛】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.8.已知单位向量和单位向量夹角为60，则的值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】先利用平面向量的数量积公式求出,再利用数量积的运算化简将代入,结合单位向量的模为1,即可得结果.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查了定义法求平面向
5、量数量积的运算,属于基础题.9.已知函数，若直线与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）A. （-2，2）B. （-1，2）C. （1，2）D. （0，2）【答案】C【解析】【分析】化简函数解析式为,做出函数的图象,数形结合可得的取值范围.【详解】因为,所以.由,做出的图象如图所示:直线与的图象恰有两个交点,只需满足有两个解.即即可.故选:C.【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性,函数的图象变换规律,正弦函数的图象特征,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.10.已知函数满足，且时，则的零点个数为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知可得为周
6、期为2的函数,通过且时，,做出函数图象, 的零点个数即为与图象交点个数,通过数形结合即可得到答案.【详解】因为为周期为2的函数,通过且时，,做出函数图象如图所示:的零点个数即为与图象交点个数,由图象可知共有6个交点.故选:B.【点睛】本题考查函数的图象和性质,考查函数的零点个数问题,考查学生数形结合的能力,属于中档题.二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11._【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算法则,求解即可.【详解】.故答案为:2.【点睛】本题考查对数的运算,属于较易题.12.已知，则的值为_【答案】【解析】【分析】上下同除以即可求解.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查同
7、角三角函数基本求法,属于基础题.13.已知是定义域在R上的奇函数，且当时，则_，_【答案】 (1). 1 (2). -1【解析】【分析】由已知可求得,由奇函数的性质得,即可求得.【详解】时, ;由奇函数的性质得,.故答案为:1,-1.【点睛】本题考查函数的奇函数性质,属于简单题.14.已知如下变换：将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变；将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变；将图像整体向右平移个单位长度；将图像整体向右平移个单位长度；将图像整体向左平移个单位长度；将图像整体向左平移个单位长度；要得到函数的图象，只需将函数的图象经过变换_（填上你认为正确的一种情况即可
8、，注意编号顺序）【答案】或(填一种即可)【解析】分析】利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论.【详解】经过变换可得到,再经过变换可得;或者经过变换可得到,再经过变换可得.故答案为: 或(填一种即可).【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x而言,属于中档题.15.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】转化为,借助函数和的图象研究恒成立时需满足的条件,计算即可得出结果.【详解】即.分类讨论,当时,分别作出和的图象,如图所示
9、: 由图可知,若使均满足,只需保证,解得: 同理,当时,需保证,解得: .综上,的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查指数函数的图象及其应用,考查恒成立时求解参数求值范围问题,难度较难.三、解答题16.已知函数，试判断函数的单调性，并证明.【答案】函数在上单调递增,证明见解析.【解析】分析】根据单调性的定义,利用定义法证明函数的单调性.【详解】因为所以为单调递增函数.证明:设任意,且,则,且,所以函数在上单调递增.【点睛】本题考查函数的单调性的判断与证明,属于基础题,解题时要注意定义法的合理运用.17.在直角坐标系中，已知锐角和的顶点都在坐标原点始边都与x轴非负半轴重合，且终边与单位圆交
10、于点和点，求的值.【答案】【解析】【分析】由锐角和可知均大于0, 和点在单位圆上,即可求得,根据三角函数的定义即可求出对应的三角函数值,由三角函数的和角公式即可得出结果.【详解】因为锐角和终边与单位圆交于点和点,所以.则,所以.【点睛】本题考查利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,考查学生的三角函数定义的理解辨析能力,属于基础题.18.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由二倍角公式,已知条件代入即可得出答案;(2)利用三角函数的平方关系和商数关系求出,将展开代入即可.【详解】(1);(2) ,【点睛】本题考查二倍角的余弦公式,考查同角三角函数的关
11、系,考查正切的和角公式,考查三角函数值的求法,属于基础题.19.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；（2）如果业务员小王获得3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【答案】(1) ;(2)22万元.【解析】【分析】（1）根据奖励方案,可得分段函数；（2）确定,利用函数解析式,即可得到结论.【详解】（1）当销售利润不超过10万元时,按
12、销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时，前10万元按销售利润的15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按进行奖励.时，;时, 奖金y关于销售利润x关系式;（2）,解得.小王的销售利润是22万元.【点睛】本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题.四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20.在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:具体过程如下：如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则由向量数量积
13、的坐标表示，有：设的夹角为，则另一方面，由图3.13（1）可知，；由图可知，.于是.所以，也有，所以，对于任意角有：（）此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（1）判断是否正确？（不需要证明）（2）证明：（3）利用以上结论求函数的单调区间.【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为，的单调递减区间为【解析】【分析】(1) 因为对是方向上的单位向量,又且与共线,即可判断出正确;(2)在中, ,又,表示出,的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;即(3)由(2)结论化简可得借助正弦型函数的性质即可求得结果.【详解】(1) 因为对于非零向量是方向上的单位向量,又且与共线,所以正确;(2) 因为M为AB的中点,则,从而在中, ,又,又,所以,即(3) 因为令,解得: 所以的单调递增区间为令,解得: 所以的单调递减区间为【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.
