1、2014年安徽省黄山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1若复数z=+i，则z2的共轭复数为（）AiB+iC1D12设P=xR丨1，Q=xR丨1n（1x）0，则“xP”是“xQ”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C必要条件D既不充分也不必要条件3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m=2014，n=6，则输出n的值为（）A 2014B4C3D24设曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为=2sin，则曲线C1与C2交点的个数为（）A 0B1C2D1或25设函数f（x）=bsinx的图象在点A（，f（）处的切线与直线x2y+3=0平行，若an=n2+bn，则数列的前
2、2014项和S2014的值为（）A BCD6对于任意给定的实数m，直线3x+ym=0与双曲线=1（a0，b0）最多有一个交点，则双曲线的离心率等于（）A BC3D27设z=x+ky，其中x，y满足，当z的最小值为时，k的值为（）A 3B4C5D68当a=dx时，二项式（x2）6展开式中的x3项的系数为（）A20B20C160D1609设ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，且公比为q，则q+的取值范围是（）A（0，+）B（0，+1）C（1，+）D（1，+1）10如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的表面或体内任取一点M，若1，则动点M所构成的几何体的体积为（）A
3、4B6C7D8二、填空题11在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形面积和的，且样本容量为180，则中间一组的频数为_12设ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则B=_13若函数f（x）=1+log（n+1）（x+1）经过的定点（与m无关）恰为抛物线y=ax2的焦点，则a=_14幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图），设点A（1，0）、B（0，1），若y=x，y=x的图象与线段AB分别交于M、N，且=，则4+的最小值为_15在四棱柱ABCDABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱AA
4、底面ABCD，AB=2，AA=4，给出下面五个命题：该四棱柱的外接球的表面积为24；在该四棱柱的12条棱中，与直线BD异面的棱一共有4条；用过点A、C的平面去截该四棱柱，且截面为四边形，则截面四边形中至少有一组对边平行；用过点A、C的平面去截该四棱柱，且截面为梯形，则梯形两腰所在直线的交点一定在直线DD上；若截面为四边形ACNM，且M、N分别为棱AD、CD的中点，则截面面积为其中所有是真命题的序号为_三、解答题16（12分）数列an满足a1=3，且2，n+3成等比数列（）求a2，a3，a4以及数列an的通项公式an（要求写出推导过程）；（）令Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+a2na2
5、n+1，求Tn17（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）+B（A0，0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xx1x2x3x+02Asin（x+）000（）请求出上表中的x1，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式；（）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x0，m（其中m（2，4）上的值域为，且此时其图象的最高点和最低点分别为P、Q，求与夹角的大小18（12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：支教次数0123人数5102
6、015根据上表信息解答以下问题：（1）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之和，记“函数f（x）=x2x1在区间（4，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P1；（2）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E19（13分）如图（1），在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AEBE，点M为CE上一点，且BM平面ACE（）求证：AEBC；（）若点N为线段AB的中点，求证：MN平面ADE；（）若BE=4，CE=4，且二面角ABCE的大小为45，如图（2），试问棱DE上是否存在一点P，使得BP与平面ABE所成的角
7、为30？若存在，求PE的长度；若不存在，说明理由20（13分）已知椭圆C：+y2=1，圆O：x2+y2=4上一点A（0，2）（）过点A作两条直线l1、l2都与椭圆C相切，求直线l1、l2的方程并判断其位置关系；（）有同学经过探究后认为：过圆O上任间一点P作椭圆C的两条切线l1、l2，则直线l1、l2始终相互垂直，请问这位同学的观点正确吗？证明你的结论21（13分）已知函数f（x）=x3+x2+bx，g（x）=alnx+x（a0）（1）若函数f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）当b=0且a0时，令，P（x1，F（x1），Q（x2，F（x2）为曲线y=F（
8、x）上的两动点，O为坐标原点，能否使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由18解：（1）函数f（x）=x2x1过（0，1）点，在区间（4，5）上有且只有一个零点，则必有，即：，解得：，N*，=4（3分）当=4时，P1=（6分）（2）从该学校任选两名老师，用表示这两人支教次数之差的绝对值，则的可能取值分别是0，1，2，3，（7分）P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，（10分）从而的分布列：0123P的数学期望：E= （12分）19（1）证明：BM面ACE，AE面ACE，BMAEAEBE，BMBE=BAE面BCEBC面BCEAEBC；（2）解：取D
9、E中点P，连接PM，APBC=BE，BMAEM为CE的中点MPDCANAMNP为平行四边形MNAPMN面ADE，AP面ADEMN面ADE（3）解：由BE=BC=4，CE=4得BCBEBCAE，AEBE=EBC面ABEABE为二面角ABCE的平面角ABE=45AE=BE=4设存在满足题意的点P，作PQAE于Q，则PBQ是BP与平面ABE所成的角设QE=x，由于ADE为等腰三角形，则Q=x，PE=x，在直角BQE中，BQ=，在直角PQB中，tan30=，x=2，故当PE=4时，BP与平面ABE所成的角为3020解：（）设切线方程为y=kx+2，代入椭圆方程并化简，得：（1+3k2）x2+12kx+
10、9=0，由于直线与椭圆相切，=144k236（1+3k2）=0，解得k1=1，k2=1，两切线方程分别为y=x+2，或y=x+2，k1k2=1，l1l2（）这位同学的观点正确，即直线l1、l2始终相互垂直证明如下：（i）当过点P与椭圆C：相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=，点P在圆O：x2+y2=4上，则P（3，1），直线y=1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直（ii）当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为yn=k（xm），由，得（1+3k2）x2+6k（nmk）x+3（nmk）23=0，由于直线与椭圆相切，=36k2（nmk
11、）24（1+3k2）3（nmk）23=0，整理，得（m23）k22mnk+（n21）=0，P（m，n）在圆x2+y2=4上，m2+n2=4，m23=1n2，k1k2=1，两直线互相垂直综上所述，直线l1、l2始终相互垂直21解：（）f（x）=3x2+2x+b，若f（x）存在极值点，则f（x）=3x2+2x+b=0有两个不相等实数根所以=4+12b0，解得（） 当a0时，a0，函数g（x）的单调递增区间为（0，+）； 当a0时，a0，函数g（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+）（） 当b=0且a0时，假设使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上则且x1+x2=0 不妨设x1=t0故P（t，F（t），则Q（t，t3+t2），（*）该方程有解 当0t1时，F（t）=t3+t2，代入方程（*）得t2+（t3+t2）（t3+t2）=0即t4t2+1=0，而此方程无实数解； 当t=1时，则； 当t1时，F（t）=alnt，代入方程（*）得t2+alnt（t3+t2）=0即，设h（x）=（x+1）lnx（x1），则在1，+）上恒成立h（x）在1，+）上单调递增，从而h（x）h（1）=0，则值域为0，+）当a0时，方程有解，即方程（*）有解 综上所述，对任意给定的正实数a，曲线上总存在P，Q两点，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上