1、第二节一元二次不等式及其解法【知识重温】一、必记2个知识点1一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0.2一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两不等实根x1，x2，(x1x2)有两相等实根x1x2没有实根ax2bxc0(a0)的解集_ax2bxc0(a0)的解集_二、必明2个易误点1二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式2当0(a0)的解集为R还是.【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1
2、)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集是，则ab的值是_三、易错易混4不等式0的解集为()Ax|x1或x3 Bx|1x3Cx|1x3 Dx|1x0，Bx|x10，则AB()A(，1) B(2,1)C(3，1) D(3，)一元二次不等式的解法自主练透型12021河北唐山摸底已知
3、集合Ax|x25x60.悟技法含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数(3)当0时，讨论相应一元二次方程两根的大小(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集.变式练(着眼于举一反三)1解关于x的不等式(ax1)(x1)0.考点三一元二次不等式恒成立问题分层深化型考向一：形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围例2若不等式(a2)x22(a2)x40a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C
4、(，1)(3，) D(1,3)悟技法已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解. 同类练(着眼于触类旁通)2关于x的一元二次不等式2x28x6m0对任意的xR恒成立，求实数m的取值范围变式练(着眼于举一反三)32021山西大同月考若关于x的不等式x22ax10在区间0，)上恒成立，则实数a的取值范围是_拓展练(着眼于迁移应用)4求使不等式x2(a6)x93a0，|a|1恒成立的x的取值范围第二节一元二次不等式及其解法【知识重温】x|xx1或xx2x|xx1Rx|x1xx2【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解
5、析：Ax|x2x60x|3x2，由x10得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x2故选D.答案：D3解析：由题意知，是ax2bx20的两根，则解得所以ab14.答案：144解析：由0，得解得10，得x26x70，即(x7)(x1)0，所以7x0x|x3，Bx|x10x|x1，ABx|x1故选A.答案：A课堂考点突破考点一1解析：由Ax|x25x60，得Ax|1x6，Bx|0x8，ABx|0x6故选A.答案：A2解析：由题意，得即解得2x1，即原函数的定义域为x|2x0，则方程(xa)(xa2)0的两个根为x1a，x2a2，(1)当a0时，有aa2，xa2，此时原不等式的解集为x|xa2；(2)当
6、0aa2，即xa，此时原不等式的解集为x|xa；(3)当a1时，有a2a，即xa2，此时原不等式的解集为x|xa2；(4)当a0时，有x0；原不等式的解集为x|xR且x0；(5)当a1时，有x1，此时原不等式的解集为x|xR且x1；综上可知：当a1时，原不等式的解集为x|xa2；当0a1时，原不等式的解集为x|xa；当a0时，原不等式的解集为x|xR且x0；当a1时，原不等式的解集为x|xR且x1变式练1解析：若a0，则原不等式为一元一次不等式，解集为(，1)当a0时，方程(ax1)(x1)0的两根为x1，x21.当a0时，解集为(，1)；当1a0，即1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，
7、解集为.考点三例2解析：当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a0对于任意的a1,1恒成立，得f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式组得x3.故选C.答案：C同类练2解析：解法一要使2x28x6m0恒成立，a20，只需648(6m)0，m0对任意的xR恒成立，则只需m2x28x6对任意的xR恒成立g(x)2x28x62(x2)222.g(x)2x28x6在xR上最小值为2.m0.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x4.故x的取值范围为(，2)(4，)