1、基础达标1(2013高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 Dylg|x|解析：选CA项，y是奇函数，故不正确；B项，yex为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且yx21在(0，)上是减函数，ylg|x|在(0，)上是增函数2(2014辽宁大连市双基测试)下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()Ay Bylog2|x|Cy1x2 Dyx31解析：选C函数y3|x|为偶函数，在(，0)上为增函数，选项B是偶函数但单调性不符合，只有选项C符合要求3设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1
2、时，f(x)2x(1x)，则f()()A BC D解析：选A依题意得f()f()f(2)f()2(1).4定义两种运算：ab，ab，则f(x)()A是奇函数 B是偶函数C既是奇函数又是偶函数 D是非奇非偶函数解析：选A因为2x，x2，所以f(x)，该函数的定义域是2，0)(0，2，且满足f(x)f(x)，故函数f(x)是奇函数5(2014山东淄博一模)设定义在R上的奇函数yf(x)，满足对任意tR，都有f(t)f(1t)，且x时，f(x)x2，则f(3)f的值等于()A BC D解析：选C由f(t)f(1t)得f(1t)f(t)f(t)，所以f(2t)f(1t)f(t)，所以f(x)的周期为2
3、.又f(1)f(11)f(0)0，所以f(3)f()f(1)f0.6(2014广东广州市高三年级调研)已知f(x)是奇函数，g(x)f(x)4，g(1)2，则f(1)的值是_解析：g(x)f(x)4，f(x)g(x)4，又f(x)是奇函数，f(1)f(1)g(1)42.答案：27(2014辽宁五校第二次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间0，)上为增函数，且f0，则不等式f(x)0的解集为_解析：由已知f(x)在R上为偶函数，且f0，f(x)0等价于f(|x|)f，又f(x)在0，)上为增函数，|x|， 即x或x.答案：x|x或x8已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函
4、数，且f(x)g(x)，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.于是解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)9已知奇函数f(x)的定义域为2，2，且在区间2，0上递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围解：f(x)的定义域为2，2，有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2，0上递减，f(x)在2，2上递减，f(1m
5、)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.综合可知，1m1.即实数m的取值范围是1，1)10设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解：(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，
6、则1x0时，f(x)x，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.能力提升1(2014河南洛阳市统考)已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)()A BC D解析：选C根据题意，f(x)1，而h(x)是奇函数，故f(a)1h(a)1h(a)2(1h(a)2f(a)2.2函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0，2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1，3上的解集为()A(1，3) B(1，1)C(1，0)(1，3) D(1，0)(0，1)解析：选Cf(x)的图象如图当x(1，0)时，解xf(x)0得x(1，0)；当x(0，1)时，解xf
7、(x)0得x；当x(1，3)时，解xf(x)0得x(1，3)故x(1，0)(1，3)3函数f(x)是R上的偶函数，且以2为周期，若f(x)在1，0上是减函数，那么f(x)在6，8上是_(填代号)增函数减函数先增后减函数先减后增函数常数函数解析：由f(x)是R上的偶函数，且在1，0上是减函数，知f(x)在0，1上是增函数，可得到一个周期上的模拟图象，从而得到f(x)在6，8上的模拟图象，由图象知，先增后减，正确答案：4(2013高考安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_解析：设1x0，则0x11，所以f(x1)(x1)1
8、(x1)x(x1)又因为f(x1)2f(x)，所以f(x).答案：5已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性解：(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)，所以令xy1，得f(1)0，令xy1，得f(1)0.(2)令y1，有f(x)f(x)xf(1)，代入f(1)0得f(x)f(x)，所以f(x)是(，)上的奇函数6(选做题)(2014山东菏泽一模)已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意x1，x21，1
9、，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，f(x)在1，1上是减函数且为奇函数，f(x1)f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，由f(x)在定义域1，1上是减函数得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0，1)