1、专题七概率与统计第3讲随机变量及其分布列真题试做1(2012上海高考，理17)设10x1x2x3x4104，x5105.随机变量1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量2取值，的概率也均为0.2.若记D1，D2分别为1，2的方差，则()AD1D2BD1D2CD1D2DD1与D2的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关2(2012课标全国高考，理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用
2、寿命超过1 000小时的概率为_3(2012山东高考，理19)现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)4(2012陕西高考，理20)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时(
3、1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望考向分析本讲是概率统计的重点，主要考查三方面的内容：相互独立事件及其概率，题型有选择题、填空题，有时也出现在解答题中与其他知识交汇命题；二项分布及其应用，准确把握独立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键，一般以中档题为主；随机变量的分布列、数学期望和方差，以考生比较熟悉的实际应用题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥事件及独立事件等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用，其中有选择题，也有填空题，但更多的是解答题，难度中
4、档热点例析热点一相互独立事件及其概率【例】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率规律方法(1)求复杂事件的概率的一般步骤：列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；理清各事件之间的关系，列出关系式，即把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小事件再分为n个相互独立事件的乘积根据事件之间的关系准确选取
5、概率公式进行计算(2)直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率变式训练1甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率热点二二项分布及其应用【例】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保险费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至
6、少支付赔偿金10 000元的概率为10.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保险费(单位：元)规律方法事件服从二项分布的条件：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数变式训练2某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中
7、目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分记为射手射击3次后的总得分数，求的分布列热点三离散型随机变量的分布列、均值与方差【例】(2012天津高考，理16)现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参
8、加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列与数学期望E()规律方法求离散型随机变量的分布列，关键是计算各个概率值，一方面要弄清楚相应的概型(古典概型、相互独立事件的概率、独立重复试验等)，以便运用相关的计算公式计算；另一方面要注意运用分布列的性质检验所求概率值是否正确变式训练3(2012山东青岛高三自评，理19)甲居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图(例如，ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事
9、件的概率为，且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进)(1)请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的分布列及E()思想渗透转化与化归思想期望与概率的实际应用解题中要善于透过问题的实际背景，发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题【典型例题】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假设甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已
10、知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比”；(2)“性价比”大的产品更具可购买性. 解：(1)因为E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b
11、3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其“性价比”为1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其
12、“性价比”为1.2.所以乙厂的产品更具可购买性1设随机变量服从正态分布N(3，2)，若P(m)a，则P(6m)等于()Aa B12aC2a D1a2设一随机试验的结果只有A和且P(A)m，令随机变量则的方差D()等于()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)3一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以Z表示取出球的最大号码，令aP(Z6)，则函数的单调递增区间是()A BC(，1) D(1，)4箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖现有4人参与摸奖，恰好有3
13、人获奖的概率是()A BC D5(2012浙江五校联考，理16)甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获胜)若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为和，记需要比赛的场次为，则E()_.6(2012山东济南二模，理20)一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得0分”某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜请求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数的分布列和数学期望参考答案命题调
14、研明晰考向真题试做1A23解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)，P(C)P(D)，由于ABCD，根据事件的独立性和互斥性，得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D).(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据事件的独立性和互斥性，得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)，P(X1)P(B)P(B)P()P()，P(X2)P(CD)P(C)P(D)，P(X3)P(BCBD)
15、P(BC)P(BD)，P(X4)P(CD)，P(X5)P(BCD).故X的分布列为X012345P所以E(X)012345.4解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.1
16、0.30.30.10.40.40.22.(2)方法一：X所有可能的取值为0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y2)0.5；X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.方法二：X所有可能的取值为0,1,2.X0
17、对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49.所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.精要例析聚焦热点热点例析【例1】解：记Ai表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i0,1,2；Bi表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i0,1,2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C表示事件：开始第5次发球时，
18、甲得分领先(1)BA0AA1，P(A)0.4，P(A0)0.420.16，P(A1)20.60.40.48，P(B)P(A0AA1)P(A0A)P(A1)P(A0)P(A)P(A1)P()0.160.40.48(10.4)0.352.(2)P(B0)0.620.36，P(B1)20.40.60.48，P(B2)0.420.16，P(A2)0.620.36.CA1B2A2B1A2B2，P(C)P(A1B2A2B1A2B2)P(A1B2)P(A2B1)P(A2B2)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)0.480.160.360.480.360.160.307 2.【变式训练
19、1】解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式，知P(C)P()P()P()P()P(B1)P()P(B2)P()P()P()P()P()P(B3).(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式，知P(D)P()P()P()P()P()P(B2)P()P()P()P()P(A3).【例2】解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为，则B(104，p)(
20、1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当0，P(A)1P()1P(0)1，又P(A)1，故p0.001.(2)该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和支出10 00050 000.盈利10 000a(10 00050 000)，盈利的期望为E()10 000a10 000E()50 000，由B(104,103)知，E()10 000103，E()104a104E()5104104a1041041035104.E()0104a1041051040a1050a15(元)故每位投保人应交纳的最低保险费为15元【变式训练2】解：(1)设X为射手
21、在5次射击中击中目标的次数，则XB.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X2).(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)P()P()P(A3A4A5).(3)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6，P(0)P()；P(1)P()P()P()；P(2)P()；P(3)P(A1A2)P()；P(6)P(A1A2A3).所以的分布列是01236P【例3】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,
22、2,3,4)，则P(Ai).(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2).(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则BA3A4.由于A3与A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4).所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P随机变量的数学期望E()024.【变式训练3】解：(1)记路段AC发生堵车事件为AC，各路段发生堵车事件的记法与此类同因为各路段发生堵车事件都
23、是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线ACDB中遇到堵车的概率为P11P()1P()P()P()11P(AC)1P(CD)1P(DB)1.同理，路线ACFB中遇到堵车的概率为P21P().路线AEFB中遇到堵车的概率为P31P().显然由A到B只可能在以上三条路线中选择因此选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小(2)路线ACFB中遇到堵车次数可能取值为0,1,2,3.P(0)P()，P(1)P(AC)P(CF)P(FB)，P(2)P(ACCF)P(ACFB)P(CFFB)，P(3)P(ACCFFB).所以的分布列为0123P故E()0123.创新模拟预测演练1D2D3A4B56解：(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A，“可判断一个选项是错误的”一道题选对为事件B，“不理解题意的”一道题选对为事件C，P(A)，P(B)，P(C)，得60分的概率为P.(2)可能的取值为40,45,50,55,60.P(40)，P(45)，P(50)，P(55)，P(60).所得分数的分布列为：4045505560PE()40(4550)5560.- 9 -