1、专项强化练(五)三角函数 A 组 题型一 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1sin 240_ 解析：sin 240sin(18060)sin 60 32.答案：32 2已知 cos 513，角 是第二象限角，则 tan(2)_ 解析：因为 cos 513，角 是第二象限角，所以 sin 1213，所以 tan 125，故 tan(2)tan 125.答案：125 3(2019平潮中学模拟)当 2，时，若 sin()cos()23，则 sin cos 的值为_ 解析：由诱导公式得 sin()cos()sin cos 23，所以 2sin cos 79，(sin cos)2(sin cos)24
2、sin cos 169，又 2，所以 sin cos 0，所以 sin cos 43.答案：43 临门一脚 1“小于 90的角”不等同于“锐角”，“090的角”不等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kZ 2记住下列公式：(1)lR；(2)S12lR；(3)S12R2.其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，(00，sin 12，所以 6，所以 tan6 tan 3 3.答案：3 5设 0，4，0，2，若 sin6 45，tan3 13，则 tan(2)的值为_ 解析：因为 0，4，所以 6 6，512.又 sin6 45，所以 cos6 35，
3、所以 sin 23 2sin6 cos6 2425，cos 23 2cos26 1 725，所以 tan 23 247.又 223 3，所以 tan(2)tan23 3 tan23 tan31tan23 tan3247 131247 13139.答案：139 临门一脚 三角恒等变换中常见的两种形式：一是化简；二是求值(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解 题型三 三角函数的定义域和值域 1函数 ytan2x3 的定义域为_ 解析：由 2x
4、3 k2(kZ)，得 xk2 512(kZ)，故所求定义域为xxk2 512，kZ.答案：xxk2 512，kZ 2函数 y2sinx6 3(0 x9)的最大值与最小值之和为_ 解析：因为 0 x9，所以3 6 x3 76，所以 sin6 x3 32，1.所以 y 3，2，所以 ymaxymin2 3.答案：2 3 3函数 y2cos2x5sin x4 的值域为_ 解析：y2cos2x5sin x4 2(1sin2x)5sin x4 2sin2x5sin x2 2sin x54298.故当 sin x1 时，ymax1，当 sin x1 时，ymin9，故 y2cos2x5sin x4 的值域
5、为9，1 答案：9，1 临门一脚 1求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解，不能忽视 ytan x 的定义域的限制 2三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围；三是可以用导数法来解决 题型四 三角函数的图象 1将函数 ysin 4x 的图象向左平移12个单位长度，得到 ysin(4x)00，00，所以2，即 2.又函数 f(x)的图象经过点12，1，所以 f12 sin6 1，因为 0，所以6 6 0，0)的图象经过点6，2，且其相邻两条对称轴间的距离为2
6、，则 f4 的值为_ 解析：因为函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，所以最小正周期 T2，得 2，又函数 f(x)的图象经过点6，2，所以 2sin26 2，6 2k，kZ，又 0，所以 6，所以 f(x)2sin2x6，所以 f4 2sin24 62cos 6 3.答案：3 临门一脚 1要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象 2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数 3由 yAsin x 的图象得到 yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.4五点法求 yAsin(x)中的 的方法：根据图象确定 时要注意第一个平衡点
7、和第二个平衡点的区别 题型五 三角函数的性质 1(2018镇江高三期末)函数 y3sin2x4 图象的相邻两对称轴的距离为_ 解析：因为函数 y3sin2x4 的最小正周期 T22，所以该函数图象的相邻两对称轴的距离为2.答案：2 2函数 y2sin2x6 与 y 轴最近的对称轴方程是_ 解析：由 2x6 k2(kZ)，得 xk2 3(kZ)，因此，当 k1 时，直线x6 是与 y 轴最近的对称轴 答案：x6 3若函数 f(x)2sin(2x)02 的图象过点(0，3)，则函数 f(x)在0，上的单调递减区间是_ 解析：由题意可得，2sin(20)3，sin 32.又 00)的最小正周期是，则
8、函数 f(x)在0，2 上的最小值是_ 解析：由题意知，f(x)4cos xsinx6 1 2 3sin xcos x2cos2x1 3sin 2xcos 2x2sin2x6，由 f(x)的最小正周期是，且 0，可得22，1，则 f(x)2sin2x6.又 x0，2，所以 2x6 6，56，故函数 f(x)在0，2 上的最小值是1.答案：1 临门一脚 1求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 yAsin(x)形式，再求 yAsin(x)的单调区间，只需把 x 看作一个整体代入 ysin x 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数 2函数 f(x)Asin(x)为奇函数的充要条件为k(
9、kZ)；为偶函数的充要条件为k2(kZ)3求 f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令 x2 k(kZ)，求 x；如要求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)即可 4三角函数的性质主要是划归为 yAsin(x)，再利用 ysin x 性质求解三角函数划归主要是针对“角、名、次”三个方面 B 组 1sin 18sin 78cos 162cos 78的值为_ 解析：因为 sin 18sin 78cos 162cos 78sin 18sin 78cos 18cos 78cos(7818)cos 6012.答案：12 2函数 y12sin x1的定义域是_ 解析：由 2sin x10
10、得 sin x12，故 x6 2k(kZ)且 x56 2k(kZ)，即 x(1)k6 k(kZ)答案：xx（1）k6 k，kZ 3函数 y2sin2x3cos2x4 的最小正周期为_.解析：因为 y2sin2x3cos2x4cos2x21cos2x2212cos2x32，故最小正周期为 T2 22.答案：4函数 ysinx6 的单调递增区间为_ 解析：由 2k2 x6 2k2(kZ)，得23 2kx3 2k(kZ)，所以单调递增区间为23 2k，3 2k(kZ)答案：23 2k，3 2k(kZ)5已知 cos2 32，且|2，则 tan _ 解析：cos2 sin 32，又|0)，将函数 yf
11、(x)的图象向右平移23 个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则 的最小值等于_ 解析：将函数 f(x)sinx3(0)的图象向右平移23 个单位长度后，所得函数为 yfx23.因为所得图象与原函数图象重合，所以 f(x)fx23，所以 kT23，kN*，即2k 23，kN*，所以 3k，kN*，所以 的最小值等于 3.答案：3 9已知函数 f(x)3sin 2xcos 2x(其中(0，1)，若 f(x)的图象经过点6，0，则 f(x)在区间0，上的单调递增区间为_ 解析：f(x)3sin 2xcos 2x2sin2x6，f(x)的图象经过点6，0，2sin3 6 0，3 6 k，kZ，解
12、得 3k12，kZ，(0，1)，12，f(x)2sinx6，由2 2kx6 2 2k，kZ，得3 2kx23 2k，kZ，f(x)在区间0，上的单调递增区间为0，23.答案：0，23 10已知 tan()2，tan()3，则 sin 2cos 2 的值为_ 解析：sin 2cos 2sin（）（）cos（）（）sin（）cos（）cos（）sin（）cos（）cos（）sin（）sin（）tan（）tan（）1tan（）tan（）2312357.答案：57 11(2019常州中学模拟)已知 cos 2y35，tan(xy)tan(xy)103，则 tan x_ 解析：由 cos 2ycos2y
13、sin2ysin2ycos2y1tan2y1tan2y35，得 tan2y14.因为 tan(xy)tan(xy)tan xtan y1tan xtan y tan xtan y1tan xtan y103，所以2tan x（1tan2y）1tan2xtan2y103，所以 tan2x3tan x40，所以 tan x1 或 tan x4.答案：1 或4 12.(2019泰州中学模拟)如图，已知函数 f(x)6sin(x)0，|2 的图象与 y 轴交于点 C0，3 22，与 x 轴交于 A，B 两点，若 A(3，0)，ACBC，则 f(3)_ 解析：由题意得 6sin 3 22，所以 sin
14、32.因为2 2，所以 3.由图可知 OA3，OC3 22，所以 tanCABOCOA 22，因为 ACBC，所以BCOCAB，所以 tanBCOOBOC 22，所以 OB32，所以函数 f(x)的最小正周期 T2332 9，2T 29，所以 f(x)6sin29 x3，所以 f(3)6sin29 33 6sin3 3 22.答案：3 22 13.2cos 10sin 20sin 70的值是_ 解析：原式2cos（3020）sin 20sin 70 2（cos 30cos 20sin 30sin 20）sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3.答案：3 14已知函数 f(x)sin x(x0，)和函数 g(x)12tan x 的图象交于 A，B，C 三点，则ABC 的面积为_ 解析：由题意知，x2，令 sin x12tan x，可得 sin x sin x2cos x，x0，2 2，可得 sin x0 或 cos x12，则 x0 或或3，不妨设 A(0，0)，B(，0)，C3，32，则ABC 的面积为12 32 34.答案：34
