1、8-4椭圆基础巩固强化1.(2011东莞模拟)设P是椭圆1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10答案D解析a225，a5，|PF1|PF2|2a10.2“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析方程mx2ny21，即1表示焦点在y轴上的椭圆，需有：mn0，故互为充要条件3(文)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于()A. B. C. D以上都不是答案A解析画出草图(图
2、略)，根据题意可得ecos45，故选A.(理)(2012新课标全国，4)设F1、F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B. C. D.答案C解析本题考查了圆锥曲线的离心率的求法设直线x与x轴交于点M，则由条件知，F2F1PF2PF130，PF2M60，在RtPF2M中，PF2F1F22c，F2Mc，故cos60，解得，故离心率e.点评求离心率时要注意数形结合的应用，在图形中设法寻求a、c所满足的数量关系，从而确定离心率的值4(文)(2011河北石家庄一模)已知椭圆1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1
3、、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是()A. B3 C. D.答案A解析F1(0，3)，F2(0,3)，30，b0)的面积为ab，M包含于平面区域：内，向内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为_答案1解析平面区域：是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得，即ab2.因为0a2,0b0)，由题意c，且椭圆过点M(1，)，椭圆方程为y21.(2)设直线PQ：xty，由消去x得，(t24)y2ty0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2，y1y2，又A(2,0)，(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)y1y2(ty1)(ty2)
4、y1y2(t21)y1y2t(y1y2)0，PAQ(定值).能力拓展提升11.(2011浙江文，9)已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 Db22答案C解析由已知双曲线渐近线为y2x.圆方程为x2y2a2，则|AB|2a.不妨取y2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|AB|，|OP|.则点P坐标为(，)，又点P在椭圆上，1.又a2b25，b2a25.，解得故选C.12(文)设F是椭圆1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点Pi(xi，y
5、i)(i1,2,3，2011)，且线段|FP1|，|FP2|，|FP3|，|FP2011|的长度成等差数列，若|FP1|2，|FP2011|8，则点P2010的横坐标为()A. B. C. D.答案C解析椭圆1，F(3,0)，由|FP1|2ac，|FP2011|8ac，可知点P1为椭圆的左顶点，P2011为椭圆的右顶点，即x15，x2011552010d，d，则数列xi是以5为首项，为公差的等差数列，x201052009.(理)(2011江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆与的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是()Aa1c1a2c2 Ba1
6、c1a2c2Ca1c2a2c1答案D解析依题意得，a1a2，c1c2，a1c1a2c2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a1c1a2c2；由a1a2，得，又a1c1a2c2，因此，即有，a1c2a2c1.因此，不正确的结论是D，选D.13如果AB是椭圆1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kABkOM的值为_答案e21解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，1，1，作差得，kABkOMe21.14以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆
7、的离心率e等于_答案1解析由题意知，MF1MF2，|MF2|OF2|c，又|F1F2|2c，|MF1|c，由椭圆的定义，|MF1|MF2|2a，cc2a，e1.15(文)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解析(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，所以c1，将点P(0,1)代入椭圆方程1，得1，即b21，所以a2b2c22，所以椭圆C1的方程为y21.(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得，(12k2)x2
8、4kmx2m220因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0整理得2k2m210，由消去y并整理得，k2x2(2km4)xm20，因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1，综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.16(文)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围解析(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.(2)设P(
9、x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1，故4x4.因为(xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212.x22mxm212(x4m)2123m2.因为当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x4时，|2取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，即4m4.故实数m的取值范围是m1,4(理)(2011北京文，19)已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解析(1)由已知得，c2，解得a2，又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.
10、(2)设直线l的方程为yxm由消去y得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若2，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析由2知F1是AF2的中点，ac2c，a3c，e.3F1、F2是椭圆1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案A解析PQ平分F1PA，且PQAF1，Q为AF1的中点，且|PF1|PA|，|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a，Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆4
11、若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点F分成3:1两段，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案C解析椭圆中c2a2b2，焦距2c2，抛物线的焦点F，由题意知|F1F|3|FF2|，|F1F2|4|FF2|，c2|FF2|，即c2，cb，c2a2c2，e.5(2011银川二模)两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，且ab，则椭圆1的离心率e等于()A. B. C. D.答案C解析由题意可知，又因为ab，所以解得，所以椭圆的半焦距为c，所以椭圆的离心率e，故选C.6(2012沈阳市二模)已知F1、F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.1(y0) B.y21(y0)C.3y21(y0) Dx21(y0)答案C解析椭圆C：1中，a24，b23，c2a2b21，焦点F1(1,0)，F2(1,0)，设G(x，y)，P(x1，y1)，则P在椭圆C上，1，3y21.当y0时，点G在x轴上，三点P、F1、F2构不成三角形，y0，点G的轨迹方程为3y21.(y0)14