1、24 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程内 容 标 准学 科 素 养1.理解并掌握抛物线的定义2.理解并掌握抛物线的标准方程3.掌握求抛物线标准方程的方法4.会用抛物线的定义解决简单的轨迹问题.发展逻辑推理提高数学运算能力01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 抛物线的定义预习教材P6465，思考并完成以下问题我们知道，二次函数 yax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？如图，点 F 是定点，l 是不经过点 F 的定直线H 是 l 上任意一点，过
2、点 H 作 MHl，线段 FH 的垂直平分线 m 交MH 于点 M.拖动点 H，观察点 M 的轨迹你能发现点 M满足的几何条件吗？提示：可以发现，点 M 随着 H 运动的过程中，始终有|MF|MH|，即点 M 与定点 F和定直线 l 的距离相等 知识梳理 抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)的距离的点的轨迹叫做抛物线这个定点 F 叫做抛物线的，定直线 l 叫做抛物线的相等焦点准线知识点二 抛物线的标准方程知识梳理 抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程p2，0 xp2p2，0 xp2 y22px(p0)y22px(p0)图形标准方程焦点坐标准线方程0
3、，p2yp20，p2yp2 x22py(p0)x22py(p0)自我检测1若动点 P 到点(3,0)的距离和它到直线 x3 的距离相等，则动点 P 的轨迹是()A椭圆 B抛物线C直线D双曲线答案：B2抛物线 x212y 的开口向_，焦点坐标为_，准线方程是_答案：上 0，18 y183若抛物线的准线方程是 x5，则其标准方程为_，焦点坐标为_答案：y220 x(5,0)探究一 求抛物线的标准方程阅读教材 P66例 1(1)已知抛物线的标准方程是 y26x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是 F(0，2)，求它的标准方程题型：(1)利用标准方程，求焦点与准线(2)根据条件求抛物线
4、的标准方程方法步骤：(1)先求出 p 的值，从而写出焦点坐标及准线方程(2)先确定焦点的位置，求出 p 的值，写出抛物线的标准方程例 1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线 x2y40 上解析(1)设抛物线的标准方程为 y22px 或 x22py(p0)，又点(3,2)在抛物线上，2p43或 2p92，所求抛物线的标准方程为 y243x 或 x292y.(2)当焦点在 y 轴上时，已知方程 x2y40，令 x0，得 y2，所求抛物线的焦点为(0，2)，设抛物线的标准方程为 x22py(p0)，由p22，得 2p8，所求抛物线的标准方程为 x28y；当焦点
5、在 x 轴上时，已知 x2y40，令 y0，得 x4，抛物线的焦点为(4,0)，设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，由p24，得 2p16，所求抛物线的标准方程为 y216x.综上，所求抛物线的标准方程为 x28y 或 y216x.方法技巧 1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数 p 的值；(3)确定抛物线的标准方程2当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设 y2ax 或 x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程跟踪探究 1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)焦点为(2,0)；(2)准线为 y1；(3)过点 A(2
6、,3)；(4)焦点到准线的距离为52.解析：(1)由于焦点在 x 轴的负半轴上，且p22，p4，抛物线的标准方程为 y28x.(2)焦点在 y 轴正半轴上，且p21，p2，抛物线的标准方程为 x24y.(3)由题意，抛物线方程可设为 y2mx(m0)或 x2ny(n0)，将点 A(2,3)的坐标代入，得 32m2 或 22n3，m92或 n43.所求抛物线的标准方程为 y292x 或 x243y.(4)由焦点到准线的距离为52，可知 p52.所求抛物线的标准方程为y25x 或 y25x 或 x25y 或 x25y.探究二 抛物线定义的应用教材 P67练习 3 题(1)抛物线 y22px(p0)
7、上一点 M 到焦点距离是 aap2，则点 M 到准线的距离是_，点 M 的横坐标是_；(2)抛物线 y212x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是_解析：(1)由抛物线的定义知，点 M 到准线的距离为 a，p2xMa，xMap2.(2)由 y212x 知 p6，准线方程为 x3，设点 P(x，y)，由抛物线定义可知 x39，x6，将 x6 代入 y212x，得 y6 2，所以满足条件的点为(6，6 2)或(6，6 2)答案：(1)a ap2(2)(6,6 2)或(6，6 2)例 2 动点 M 的坐标满足方程 5 x2y2|3x4y12|，则动点 M 的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线D以上
8、都不对解析 把方程 5 x2y2|3x4y12|转化为 x2y2|3x4y12|5，设动点 M(x，y)，上式可看作动点 M 到原点的距离等于动点 M 到直线 3x4y120的距离，所以动点 M 的轨迹是以原点为焦点，以直线 3x4y120 为准线的抛物线答案 C方法技巧 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等跟踪探究 2.(1)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0 等于()A1
9、B2C4 D8解析：14x054x0，x01.答案：A(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则P点的轨迹方程是()Ay216xBy232xCy216xDy232解析：若点 P 到 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，则 P 到 F(4,0)的距离与它到直线 x40 的距离相等，故 P 的轨迹是以 F 为焦点以 x40 为准线的抛物线，故 P 点的轨迹方程为 y216x.故选 C.答案：C探究三 抛物线的实际应用阅读教材 P66例 2一种卫星接收天线的轴截面如图所示卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处已知接收天线的口径(直
10、径)为4.8 m，深度为 0.5 m试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标题型：抛物线在实际问题中的应用方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设出所求抛物线的标准方程(2)根据题中条件得出抛物线上一点的坐标，代入抛物线方程即可求出 P 的值，从而得到抛物线的标准方程和焦点坐标例 3 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 OP1 m，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m，点 P 距抛物线的对称轴 1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到 1 m)解析 如图所示，建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0)依题意有 P(1，1)在抛物
11、线上，代入得 p12.故得抛物线方程为 x2y.又点 B 在抛物线上，将 B(x，2)代入抛物线方程得 x 2，即|AB|2 m，则|OB|OA|AB|(21)m，因此所求水池的直径为 2(1 2)m，约为 5 m，即水池的直径至少应设计为 5 m.方法技巧 解决实际问题时，首先找到合适的数学模型，把它转化为数学问题，通过我们学过的数学知识进行求解利用抛物线模型解决问题时，关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程，一般都是将抛物线的顶点作为坐标原点，将对称轴作为 x 轴或 y轴建立坐标系，其次要注意抛物线上关键点的坐标，并善于运用抛物线的对称性进行求解跟踪探究 3.河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱
12、桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解析：如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上，故 p85，得 x2165 y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则 A(2，yA)，由 22165 yA，得 yA54.又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以 h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m
13、 时，小船开始不能通航课后小结(1)利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题(2)在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)定量(参数 p 的值)”的程序求解素养培优1忽视抛物线标准方程的形式致误求抛物线 xay2(a0)的准线方程和焦点坐标易错分析 直接将 xay2(a0)作为标准方程来求解考查直观想象及逻辑推理的数学素养自我纠正 抛物线 xay2(a0)的标准形式是 y21ax，所以焦点坐标为 14a，0，准线方程为 x 14a.2忽略对焦点位置的讨论致误顶点在原点，焦点在 x 轴上，过焦点作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 A，B 两点，AB的长为 8，求抛物线的方程易错分析 解题时只考虑到焦点在 x 轴正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在 x 轴的负半轴上，因此漏解考查直观想象及逻辑推理的数学素养自我纠正 由于抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，因此设所求抛物线的方程为 y22ax(a0)因为|AB|2a|8，所以 2a8.故所求抛物线的方程为 y28x.04 课时 跟踪训练