1、专题九 计数原理、概率与统计1、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰成两双；（3）4只鞋子有2只成双，另两只不成双2、已知（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为，展开式中含x项的系数为（1）求的值；（2）求的展开式中有理项的系数和3、已知关于的一元二次方程.（1）若、是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若，求方程没有实根的概率.4、某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有四个问题，规则如下： 每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减
2、2分； 每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（1）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望.5、从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的数据资料，经算得：，.（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；（2）判断变量x与y之间是正相
3、关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.6、羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立若在一局比赛中，甲先发球（1）求比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率；（2）表示3个回合后乙的得分，求的分布列与数学期望7、最近几年我国多个地区出现了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁.私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此
4、，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）频数510151055赞成人数469634（1）完成被调查人员的频率分布直方图；（2）若从年龄在，的被调查人员中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.8、为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取60人，从乙校抽取50人进行分析.通过人数未通过人数总计甲校乙校30总计60（1）根据题目条件完成上面22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；（2）现已知甲校
5、A，B，C三人在某大学自主招生中通过的概率分别为，用随机变量X表示A ,B,C三人在该大学自主招生中通过的人数，求X的分布列及期望.参考公式：.参考数据： 答案以及解析1答案及解析：答案：（1）（种）； （2）=45（种）； （3）（种）.解析：（1）从10双鞋子中选取4双，有种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为(种)（2）从10双鞋子中选取2双有种取法，即45种不同取法（3）先选取一双有种选法，再从9双鞋子中选取2双鞋有种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为(种) 2答案及解析：答案：（1）由题意可知，解得所以的展开式
6、的通项为，令，得含项的系数为，由题意得，又，所以综上，（2）由（1）得的展开式的通项为,所以的展开式中的有理项分别为,所以的展开式中有理项的系数和为 3答案及解析：答案：（1）设“方程有两个正根”的事件为， 由题意知本题是一个古典概型，用表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，依题意知，基本事件的总数有个，二次方程有两正根，等价于，即， 则事件包含的基本事件为、，共个，所求的概率为.（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域，其面积为，满足条件的事件为： ，如图中阴影部分所示，其面积为.所求的概率. 4答案及解析：答案：（1）设事件为A：甲同学进入下一轮.事件为：甲同学答对了第i
7、题，事件为：甲同学答错了第i题，则（2）的所有可能取值为：.，的分布列为：234P所以. 5答案及解析：答案：（1）由题意知，又，故所求回归方程为.（2）由于变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.（3）将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为(千元). 6答案及解析：答案：记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，3，且事件相互独立（1）记“3个回合后，甲与乙比分为2比1 ”为事件，则事件发生表示事件或或发生，且，互斥 又， 由互斥事件概率加法公式可得，答：3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336 （2）因表示3个回合后乙的得分，则0，1，2，3， 所以，随机变量的概率分布列
8、为01230.2160.3360.3040.144故随机变量的数学期望为=答：的数学期望为1.376 7答案及解析：答案：（1）由表知各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01.被调查人员的频率分布直方图如图所示.（2）的所有可能取值为0，1，2，3，.的分布列是的数学期望. 8答案及解析：答案：（1）22列联表如下：由算得，所以有的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关 .（2）设A，B，C自主招生通过分别记为事件M，N，R，则.随机变量X的可能取值为0，1，2，3. ， 所以随机变量X的分布列为：.