1、直线、圆的位置关系 挖命题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 点与直线、直线与直线的位置关系 能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系;能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标;掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离 2016 课标全国,6,5分 点到直线的距离 圆的标准方程,点到直线的距离公式 2014 四川,9,5 分 两直线的位置关系 直线过定点,直线的斜率,基本不等式 直线、圆的位置关系 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;初步了
2、解用代数方法处理几何问题的思想 2018 课标全国,8,5分 与圆的方程有关的最值 点到直线的距离,三角形的面积 2018 课标全国,15,5分 圆的弦长 直线与圆的位置关系 2016 课标全国,15,5分 直线与圆的位置关系 圆的弦长,圆的面积 2015 课标,20,12 分 直线与圆的位置关系 直线方程,数量积,根与系数的关系 分析解读 从近几年的高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主,分值大约为 5 分.主要考查:方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;利用相切或相交的条件求圆的切线长
3、或弦长;由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点【考点集训】考点一 点与直线、直线与直线的位置关系 1.经过两点 C(3,1),D(-2,0)的直线 l1与经过点 M(1,-4)且斜率为15的直线 l2的位置关系为()A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定 答案 A 2.(2017 河南部分重点中学 12 月联考,3)设 aR,则“a=-1”是“直线 ax+y-1=0 与直线 x+ay+5=0 平行”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分
4、也不必要条件 答案 A 3.(2019 届宁夏一中 11 月月考,6)已知 A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),ADBC,ABCD,则点 D 的坐标为()A.(-97,47)B.(547,137)C.(383,133)D.(387,57)答案 D 考点二 直线、圆的位置关系 1.(2015 安徽,8,5 分)直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切,则 b 的值是()A.-2 或 12 B.2 或-12 C.-2 或-12 D.2 或 12 答案 D 2.(2019 届山东枣庄第二次检测,5)两圆(x-2)2+(y-1)2=4 与(x+1)2+(y-2)2=1
5、 的公切线有()A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 答案 D 3.(2017 河北衡水中学调研考试,5)已知向量 a=(2cos,2sin),b=(3cos,3sin),若 a 与 b 的夹角为120,则直线 6xcos-6ysin+1=0 与圆(x-cos)2+(y+sin)2=1 的位置关系是()A.相交且不过圆心 B.相交且过圆心 C.相切 D.相离 答案 A 4.已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0.(1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切?(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=22时,求直线 l 的方程.解析
6、 将圆的方程 x2+y2-8y+12=0 化成标准方程为 x2+(y-4)2=4,则圆心为(0,4),半径为 2.(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有|4+2|2+1=2,解得 a=-34.(2)过圆心 C 作 CDAB,连接 AC,则根据题意和圆的性质,得|=|4+2|2+1,|2+|DA|2=|AC|2=22,|=12|AB|=2,解得 a=-7 或 a=-1.故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0.炼技法【方法集训】方法 1 直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法 1.(2019 届河南郑州外国语中学 10 月调研,9)已知圆 C1:(x+2a)2+y2=4 和圆 C2:
7、x2+(y-b)2=1 只有一条公切线,若a,bR 且 ab0,则12+12的最小值为()A.2 B.4 C.8 D.9 答案 D 2.(2017 吉林六校联考,5)已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 为过点 P(3,0)的直线,则()A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 答案 A 方法 2 求解与圆有关的切线和弦长问题的方法 1.(2019 届河南豫南九校 11 月联考,9)已知直线 l:x+ay-1=0(aR)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称轴,过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=()A.
8、2 B.42 C.6 D.210 答案 C 2.(2016 课标全国,15,5 分)设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=23,则圆 C 的面积为 .答案 4 3.(2017 广东惠州一调,16)设 m,nR,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则AOB 面积的最小值为 .答案 3 方法 3 解决对称问题的方法 1.(2018 广东揭阳一模,3)若直线 l1:x-3y+2=0 与直线 l2:mx-y+b=0 关于 x 轴对称,则
9、m+b=()A.13 B.-1 C.-13 D.1 答案 B 2.(2018 黑龙江哈六中模拟,4)若直线 y=kx 与圆 x2+y2-4x+3=0 的两个交点关于直线 x+y+b=0 对称,则()A.k=1,b=-2 B.k=1,b=2 C.k=-1,b=2 D.k=-1,b=-2 答案 A 3.(2017 河南六市二模,5)圆(x-2)2+y2=4 关于直线 y=33 x 对称的圆的方程是()A.(x-3)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y-2)2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-3)2=4 答案 D 过专题【五年高考】A 组 统一命题课标卷题组 考点一
10、点与直线、直线与直线的位置关系 (2016 课标全国,6,5 分)圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=()A.-43 B.-34 C.3 D.2 答案 A 考点二 直线、圆的位置关系 1.(2018 课标全国,8,5 分)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2)2+y2=2 上,则ABP 面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8 C.2,32 D.22,32 答案 A 2.(2014 课标,12,5 分)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得OMN=45,则 x
11、0的取值范围是()A.-1,1 B.-12,12 C.-2,2 D.-22,22 答案 A 3.(2018 课标全国,15,5 分)直线 y=x+1 与圆 x2+y2+2y-3=0 交于 A,B 两点,则|AB|=.答案 22 4.(2016 课标全国,15,5 分)已知直线 l:x-3y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x轴交于 C,D 两点.则|CD|=.答案 4 5.(2017 课标全国,20,12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2+mx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时,解答下
12、列问题:(1)能否出现 ACBC 的情况?说明理由;(2)证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.解析(1)不能出现 ACBC 的情况,理由如下:设 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2满足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2.又 C 的坐标为(0,1),故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为-11-12=-12,所以不能出现 ACBC 的情况.(2)BC 的中点坐标为(22,12),可得 BC 的中垂线方程为 y-12=x2(-22).由(1)可得 x1+x2=-m,所以 AB 的中垂线方程为 x=-2.联立=-2,-12=2(-22),又22+mx2-2=
13、0,可得=-2,=-12.所以过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为(-2,-12),半径 r=2+92.故圆在 y 轴上截得的弦长为 22-(2)2=3,即过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.6.(2015 课标,20,12 分)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点.(1)求 k 的取值范围;(2)若 =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1.因为 l 与 C 交于两点,所以|2-3+1|1+2 1.解得4-73 k0)相交于 A,B 两点,且AOB
14、=120(O 为坐标原点),则 r=.答案 2 C 组 教师专用题组 1.(2014 浙江,5,5 分)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是()A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 答案 B 2.(2014 安徽,6,5 分)过点 P(-3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是()A.(0,6 B.(0,3 C.0,6 D.0,3 答案 D 3.(2014 北京,7,5 分)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆 C 上存在点
15、 P,使得APB=90,则 m 的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4 答案 B 4.(2011 全国,11,5 分)设两圆 C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=()A.4 B.42 C.8 D.82 答案 C 5.(2017 江苏,13,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点 P 在圆 O:x2+y2=50 上.若 20,则点 P 的横坐标的取值范围是 .答案-52,1 6.(2015 山东,13,5 分)过点 P(1,3)作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则 =.答案 32 7.(2015
16、重庆,12,5 分)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P 处的切线方程为 .答案 x+2y-5=0 8.(2014 重庆,14,5 分)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 ACBC,则实数a 的值为 .答案 0 或 6 9.(2011 课标,20,12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上.(1)求圆 C 的方程;(2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OAOB,求 a 的值.解析(1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为
17、(0,1),与 x 轴的交点为(3+22,0),(3-22,0).故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(22)2+t2,解得 t=1.则圆 C 的半径为32+(t-1)2=3.所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:-+=0,(-3)2+(y-1)2=9.消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式=56-16a-4a20.因此 x1,2=(8-2)56-16-424,从而 x1+x2=4-a,x1x2=2-2a+12.由于 OAOB,可得 x1x2+y1y2
18、=0.又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.由,得 a=-1,满足 0,故 a=-1.【三年模拟】时间:50 分钟 分值:65 分 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1.(2018 山西临汾模拟,8)设直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:mx+y+3=0 的交点为 A,P,Q 分别为 l1,l2上的点,点 M 为PQ 的中点,若 AM=12PQ,则 m 的值为()A.2 B.-2 C.3 D.-3 答案 A 2.(2019 届陕西四校 11 月期中联考,6)直线 ax-by=0 与圆 x2+y2-ax+by=0 的位置关系是()A.相
19、交 B.相切 C.相离 D.不能确定 答案 B 3.(2019 届山西太原五中 10 月模拟,8)已知 kR,点 P(a,b)是直线 x+y=2k 与圆 x2+y2=k2-2k+3 的公共点,则 ab的最大值为()A.15 B.9 C.1 D.-53 答案 B 4.(2019 届河南顶级名校第二次联考,6)已知 m,n,a,bR,且满足 3m+4n=6,3a+4b=1,则(-)2+(n-b)2的最小值为()A.3 B.2 C.1 D.12 答案 C 5.(2019 届安徽合肥 9 月调研,8)设圆 x2+y2-2x-2y-2=0 的圆心为 C,直线 l 过(0,3),且与圆 C 交于 A,B
20、两点,若|AB|=23,则直线 l 的方程为()A.3x+4y-12=0 或 4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0 或 x=0 C.4x-3y+9=0 或 x=0 D.3x-4y+12=0 或 4x+3y+9=0 答案 B 6.(2017 江西红色七校联考,11)当曲线 y=4-2与直线 kx-y-2k+4=0 有两个相异的交点时,实数 k 的取值范围是()A.(0,34)B.(512,34 C.(34,1 D.(34,+)答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)7.(2019 届山西晋中期初调研,14)由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线
21、长的最小值为 .答案 7 8.(2019 届湖北重点中学 11 月联考,15)已知 a0,b0,若直线(a-1)x+2y-1=0 与直线 x+by=0 互相垂直,则 ab 的最大值是 .答案 18 9.(2019 届四川大学附中第二次月考,15)已知直线 m(x+1)-y+2=0 与圆 C1:(x+1)2+(y-2)2=1 相交于 A、B 两点,点P 是圆 C2:(x-3)2+y2=5 上的动点,则PAB 面积的最大值是 .答案 35 10.(2018 河北衡水中学期中考试,15)若圆(x-a)2+(y-a)2=8 上总存在到原点的距离为2的点,则实数 a 的取值范围是 .答案-3,-11,3
22、 11.(2019 届河南顶级名校第二次联考,16)已知圆 C:x2+y2-4x-2y-44=0,点 P 的坐标为(t,4),其中 t2.若过点 P有且只有一条直线 l 被圆 C 截得的弦长为 46,则直线 l 的一般式方程是 .答案 4x+3y-36=0 三、解答题(共 10 分)12.(2018 湖北重点中学联考,20)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,且 y 轴和直线 x-3y+2=0 均与圆 C 相切.(1)求圆 C 的标准方程;(2)设点 P(0,1),若直线 y=x+m 与圆 C 相交于 M,N 两点,且MPN 为锐角,求实数 m 的取值范围.解析(1)设圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),由题意得 0,=0,|=,|-3b+2|2=r,解得=2,=0,=2.则圆 C 的标准方程为(x-2)2+y2=4.(2)将 y=x+m 代入圆 C 的方程,消去 y 并整理得 2x2+2(m-2)x+m2=0.令=4(m-2)2-8m20,得-2-22m0,即 x1x2+(x1+m-1)(x2+m-1)0m2+m-10,解得 m-1+52.故实数 m 的取值范围是(-2-22,-1-52)-1+52,-2+22.