1、2直观图考纲定位重难突破1.了解直观图的作用2.掌握斜二测画法的规则，能用斜二测画法画平面图形和立体图形的直观图3.能进行直观图与原图形之间的转换，并能进行有关的计算.重点：理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念及结构特征难点：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.授课提示：对应学生用书第4页自主梳理一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤二、立体图形直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z轴，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变双基自测1关于直观图的“斜二测
2、”画法，以下说法中不正确的是()A原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变B原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的C画与直角坐标系xOy对应的xOy时，xOy必须是45D在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同解析：由斜二测画法易知C错答案：C2如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形状是()解析：根据斜二测画法，知在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故A正确答案：A3.在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_(填形状)，面积为_cm2.解析：由斜
3、二测画法规则知，在四边形OABC中，OAOC，OAOA2 cm，OC2OC4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为248(cm2)答案：矩形84在棱长为4 cm的正方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱AD的长为_cm，棱AA1的长为_cm.解析：画直观图时，在x轴上的线段长度保持不变，故AA14 cm，在y轴上的线段长度变为原来的一半，故AD2 cm.答案：24授课提示：对应学生用书第5页探究一水平放置的平面图形的画法典例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图解析(1)如图(1)所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标
4、系，再建立如图(2)所示的坐标系xOy，使xOy45.(2)在图(2)中，以O为中点x轴上取ABAB.(3)在y轴上取OEOE，以E为中心画CDx轴，并使CDCD.(4)连接BC，DA，去掉辅助线，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图如图(3)所示1画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定2要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出
5、水平放置的平面坐标系1.画出如图所示的梯形ABCD的直观图解析：画法：(1)如图所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图所示，画出对应的x轴、y轴，使xAy45.(2)如图所示，过D点作DEx轴，垂足为E.如图所示，在x轴上取ABAB，AEAE；过E作EDy轴，使EDED，再过点D作DCx轴，且使DCDC.(3)连接AD，BC，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图所示，则四边形ABCD就是所求作的直观图探究二空间几何体的直观图的画法典例2用斜二测画法画出长、宽、高分别是3 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCDABCD的直观图解析第一步：
6、画轴如图1，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90；第二步：画底面以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN3 cm，在y轴上取线段PQ，使PQ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，分别过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为点A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD；第三步：画侧棱过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA，BB，CC，DD；第四步：成图顺次连接点A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图2.如何画出空间几何体的直观图1画空间几何体的直观图时，一般
7、是先按照画平面图形直观图的方法与步骤，画出其底面的直观图，然后在z轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点，从而作出另一个底面的直观图，最后得到整个几何体的直观图2对于台体、柱体等有上底面的几何体，在作上底面的直观图时，可先作出高线，然后在上底面所在的平面内再建一个两轴分别与下底面中的坐标系中的两轴平行的坐标系，最后作出表示相应等量的线段并连接2用斜二测画法画出底面边长为4 cm，高为3 cm的正四棱锥(底面是正方形、并且顶点在底面的正射影是底面中心的棱锥)的直观图解析：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使BAD45，AB4 cm，AD2 cm.(2)过O作z轴，使x
8、Oz90，在z轴上截取OS3 cm.(3)连接SA，SB，SC，SD，得到如图所示的图形就是所求的正四棱锥的直观图探究三直观图的还原问题典例3如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积解析画出平面直角坐标系xOy，使点A与O重合，在x轴上取点C，使AC，再在y轴上取点D，使AD2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DEEB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形ABCD的原图形(也可以过点C作BCy轴，且使CBAD2，然后连接AB，DC)易知四边形ABCD为平行四边形，AD2，AC，SABCD22.
9、1还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可2求直观图形的面积，关键是能先正确画出直观图形，然后根据直观图形求出它的相应边的长度3求原图形的面积，关键是要能够根据直观图形把它还原成实际图形3已知等边ABC的直观图ABC的面积为，则等边ABC的面积是_解析：按照斜二测画法的规则，把如图等边ABC的直观图ABC还原为如图的等边ABC，设原等边三角形的边长为x，则BCx，等边ABC的高为x，所以ABC的高为xx，所以ABC的面积为xxx2，解得x1，所以ABC的面积为x
10、xx2.答案：还原平面图时，因找不准与y轴平行的线段致误典例如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A.B1C1 D2解析作DEAB交BC于E(图略)，由斜二测画法规则知，直观图为等腰梯形ABCD的原平面图形为直角梯形ABCD，且AB2，BC1，AD1，所以S梯形ABCD2.答案D错因与防范还原平面图时，因没有找准与y轴平行的线段，误把直观图中的高扩大2倍得，从而错选C.已知直观图求原图形的面积，其关键是能够根据直观图把它还原成实际图形，根据题设条件的不同，有时需作出平行x轴(或y轴)的线段来辅助解题随堂训练对应学生用书第
11、6页1利用斜二测画法得到以下结论：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形其中正确的是()ABC D解析：利用斜二测画法分析可知正确水平放置的正方形、菱形的直观图可能是非正方形、非菱形的平行四边形答案：A2.如图，水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为()A. B1C. D2解析：如图，由斜二测画法可知，在新坐标系xOy中，BC1，xCB45，过B作x轴的垂线，垂足为D，在RtBDC中，BDBCsin 451.答案：A3利用斜二测画法得到的水平放
12、置的ABC的直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的长度为()A2B2.5C3D4解析：如图，根据斜二测画法的原则，可知ACB90，AC3，BC4，所以AB5.又直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以AB边上的中线的长度为2.5，故选B.答案：B4一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为_解析：由比例可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.答案：4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm