1、吉林省白山市2021届高三下学期5月联考数学试卷（理科）考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2请将各题答案填写在答题卡上。3本试卷主要考试内容：高考全部内容。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则的元素个数为（ ）A6B5C4D32在中，若，则（ ）ABC3D43函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）A-5B6C-7D84跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质小林最近给自己制定了一个200千米的跑步
2、健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要A16天B18天C17天D19天5明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，则（ ）ABCD6已知函数，且，则（ ）A 且B且C且D且7下列各项中，是的展开式的项为（ ）ABC15D8执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A10B20C15D259已知函数则（ ）A的最小正周期为 B的图象关于
3、轴对称C的图象关于对称D的图象不关于对称10在三棱柱中，为侧棱的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线异面的概率是（ ）ABCD11已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，为左支上一点，为线段上一点，且，为线段的中点若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）ABCD12如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13复数的实部为_14若，满足约束条件则的最大值为_，的最小值为_（本题第一空2分，第二空3分）15在数列中，则_1
4、6如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）的内角，所对的边分别为，已知，（1）若，求；（2）当取得最大值时，求的面积18（12分）某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这
5、五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；（2）求该社区举行音乐会场数的数学期望19（12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，以为直径的圆（为圆心）过点，且，底面，为的中点（1）证明：平面平面（2）求二面角的余弦值20（12分）已知为抛物线：的焦点，直线：与交于，两点，且（1）求的方程（2）若直线：与交于，两点，且与相交于点，证明：点在定直线上21（12分）已知函数（1）讨论的单调性;（2）当时，求的
6、取值范围（二）选考题：共10分请考生从第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为（1）写出曲线的一个参数方程;（2）若，点为曲线上的动点，求的取值范围23选修45：不等式选讲（10分）已知函数（1）若，证明：，（2）若关于的不等式的解集为，求，的一组值，并说明你的理由20202021学年白山市联考高三数学试卷参考答案（理科）1C【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力因为，所以2A【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力在中，因为，所以，所以3D【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能
7、力因为，所以所求切线的斜率为4C【解析】本题考查等差数列的应用，考查数学建模与逻辑推理的核心素养依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5设经过天后他完成健身计划，则，整理得因为函数在上为增函数，且，所以5B【解析】本题考查椭圆的离心率与中国古代数学文化，考查数据处理能力与推理论证能力因为椭圆的离心率，所以长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大因为，所以6A【解析】本题考查基本初等函数的单调性，考查推理论证能力因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增又，且，所以且7A【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力与推理论证能力展开式中的第
8、3项为8B【解析】本题考查程序框图，考查运算求解能力，；，；，；，故输出的9C【解析】本题考查三角函数的对称性与周期，考查逻辑推理的核心素养因为，所以的最小正周期不是因为，所以是奇函数，其图象不关于轴对称因为，所以的图象关于对称因为，所以的图象关于对称10D【解析】本题考查异面直线的判定、排列组合的应用、古典概型，考查直观想象、推理论证的核心素养如图，这九条棱中，与共面的是，共五条，故所求概率11A【解析】本题考查双曲线的性质与定义的应用考查数形结合的数学思想因为，所以，所以，又，所以，所以，则故的渐近线方程为12D【解析】本题考查函数与不等式的综合应用，考查化归与转化的数学思想由题可知射线经
9、过点，则射线的方程为当时，设，因为，所以令，则该方程的解为，令，则依题意可得，解得13-9【解析】本题考查复数的四则运算与实部，考查运算求解能力因为，所以的实部为-9142；【解析】本题考查线性规划，考查推理论证能力与运算求解能力作出约束条件表示的可行域（图略），由图可知当直线经过时，有最大值2表示可行域中的点到原点距离的平方因为原点到直线的距离为，所以的最小值15（或）【解析】本题考查等比数列的定义与通项公式，考查抽象概括能力因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，所以.16【解析】本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力.如图，连接，取的中点，连接，过作于，
10、易知底面，设，则，设球的半径为，半球的半径为，则易知，则，故17解：（1）由正弦定理=，得，解得，所以（2）由余弦定理得，因为，当且仅当时，等号成立，所以，则，则的最大值为此时，的面积评分细则：【1】第（1）问解析第一行未写不扣分，得出，直接写，没有写倍角公式扣1分【2】第（2）问中，得到，但未写的最大值为不扣分18解：（1）因为前两天的晚上均为风雨天气的概率为，所以，则因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为，所以，又，所以设“该社区能举行4场音乐会”为事件，则（2）的可能取值为0,1,2,3,4,5，所以评分细则：【1】第（1）问中，只要得到即得1分，得到即得2分【2】第（2）问中，的最后
11、结果写为1.9不扣分19（1）证明：由题意点为圆上一点，则由底面，知又，因此平面，则，又，则因为，为的中点，所以又，所以平面因为平面，所以平面平面（2）解：如图，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，则即令，得由（1）可知，平面，则平面的一个法向量，所以由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为评分细则：【1】第（1）问严格按步骤给分【2】第（2）问中，平面的一个法向量只要与共线即可得分20（1）解：设，由得则从而，解得，故的方程为（2）证明：设，且设因为，所以根据得，则，同理得又两式相加得，即，由于，所以故点在定直线上评分细则：【1】第（1）问还可以通过联立消去
12、，其步骤及给分如下：由得，则，从而解得，故的方程为【2】第（2）问若用其他方法解答请按照步骤给分21解：（1），当时，显然，此时在上单调递减当时，令，得，令，所以在上单调递减，在上单调递增（2）由于对一切，恒成立，所以，构造函数，则再令，所以，在上单调递减。因为，所以存在唯一的，使， 且当时，；当，所以在上单调递增，在上单调递减因为，所以，则，从而，即的取值范围是评分细则：【1】第（1）问中，未写定义域或未说明，但求导正确不扣分【2】第（2）问中，解法二如下：由于对一切，恒成立，所以，得下面证明当时，对一切恒成立要证此结论成立，只需证明当时，对一切恒成立此时，令得，且在上单调递减，在上单调递增
13、因为，所以又，所以当时，结论成立综上，的取值范围是22解：（1）由，得，整理得又，所以曲线的一个参数方程为（为参数，且）（2）由（1）可设点的坐标为，因为，所以又，所以因为，所以，故的取值范围是评分细则：【1】第（1）问中，得到后直接得出曲线的一个参数方程为（为参数），扣2分【2】第（1）问的参数方程不唯一，只要参数方程对应的曲线为圆的右半部分均可得分【3】第（2）问中设点的坐标为，后面没有写明的取值范围，扣1分23（1）证明：因为，所以，当时，取得最小值1，故，（2）解：依题意可得即，不妨取，则下面证明的解集为证明：当时，则，又，所以当时，显然成立，所以 当时，则，又，所以所以的解集为，故，的一组值为0,5评分细则：【1】第（1）问中，未写不扣分【2】第（2）问中，的一组值不唯一，但，且，