1、2.5二次函数与幂函数【考试要求】1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)【知识梳理】1幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0)yax2bxc(a0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x顶点坐标奇偶性当b0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“
2、”或“”)(1)函数y是幂函数()(2)若幂函数yx是偶函数，则为偶数()(3)二次函数yax2bxc的图象恒在x轴下方，则a0且0)，又图象过原点，所以f(0)4a40，a1，所以f(x)(x2)24x24x.题型一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m0时，yx在(0，)上单调递增，且01时，图象上凸，0m1.当0时，yx在(0，)上单调递减不妨令x2，由图象得212n，则1n0.综上可知，1n0mf(8x16)的解集是()A. B(0,2C. D2，)答案A解析因为函数f(x
3、)在定义域0，)内为增函数，且f(x)f(8x16)，所以即2x，所以不等式的解集为.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域根据0,01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较跟踪训练1(1)(2022宝鸡检测)已知a，b，c，则()Abac BabcCbca Dcab答案A解析由题意得ba，a45c，所以bac.(2)已知幂函数f(x)xm3(mN*)为奇函数，且在区间(0，)上是减函数，则m等于()A1 B2 C1或2 D3答案B解析因为
4、f(x)xm3在(0，)上是减函数，所以m30，所以m3.又因为mN*，所以m1或2.又因为f(x)xm3是奇函数，所以m2.题型二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式解方法一(利用“一般式”解题)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.方法二(利用“顶点式”解题)设f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x，所以m.又根据题意，函数有最大值8，所以n8，所以f(x)a28.因为f(2)1，所以a281，解得a4，所以f(x)4284
5、x24x7.方法三(利用“零点式”解题)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即8.解得a4或a0(舍去)故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.【备选】若函数f(x)(xa)(bx2a)(a，bR)满足条件f(x)f(x)，定义域为R，值域为(，4，则函数解析式f(x)_.答案2x24解析f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2.f(x)f(x)，2aab0，f(x)bx22a2.f(x)的定义域为R，值域为(，4，b0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()答案D解析因为ab
6、c0，二次函数f(x)ax2bxc，那么可知，在A中，a0，b0，c0，不符合题意；B中，a0，c0，不符合题意；C中，a0，c0，不符合题意，故选D.命题点2二次函数的单调性与最值例4已知函数f(x)x2tx1.(1)若f(x)在区间(1,2)上不单调，求实数t的取值范围；(2)若x1,2，求f(x)的最小值g(t)解f(x)x2tx121.(1)依题意，12，解得2t4，实数t的取值范围是(2,4)(2)当2，即t4时，f(x)在1,2上单调递减，f(x)minf(2)32t.当12，即2t4时，f(x)minf1.当1，即t2时，f(x)在1,2上单调递增，f(x)minf(1)t.综上
7、有g(t)延伸探究本例条件不变，求当x1,2时，f(x)的最大值G(t)解f(1)t，f(2)32t，f(2)f(1)33t，当t1时，f(2)f(1)0，f(2)f(1)，f(x)maxf(1)t；当t0，f(2)f(1)，f(x)maxf(2)32t，综上有G(t)【备选】1.如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1,0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是_(填序号)当x3时，y0.答案解析依题意知，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1,0)，顶点坐标为(1，n)，函数与x轴的另一交点为(3,0)，当x3时
8、，y0，故错误；抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1,0)，且a0，abc0，b2a，a2ac0，3ab0时，f(x)的对称轴为x，且0，1，即0a1；当a0时，f(x)的对称轴为x且0，a0时，f(x)ax22x1的图象开口方向向上，且对称轴为x.()当1时，f(x)ax22x1图象的对称轴在0,1内，f(x)在上单调递减，在上单调递增f(x)minf11.()当1，即0a1时，f(x)在0,1上单调递减f(x)minf(1)a1.当a0时，f(x)ax22x1的图象的开口方向向下，且对称轴x0时，f(x)x2ax2，对称轴为x，23，解得6a4.(2)(2022汉中模拟)已知函数f(x)
9、x22x5在区间0，m上有最大值6，最小值5，则实数m的取值范围是_答案1,2解析由题意知，f(x)(x1)26，则f(0)f(2)5f(x)min，f(1)6f(x)max，函数f(x)的图象如图所示，则1m2.课时精练1若f(x)是幂函数，且满足3，则f等于()A3 B3 C. D答案C解析设f(x)x，则23，f.2若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()Ag(x)2x23xBg(x)3x22xCg(x)3x22xDg(x)3x22x答案B解析二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，设二次函数为g(x)ax2bx，可得解得a3
10、，b2，所求的二次函数为g(x)3x22x.3(2022延吉检测)若函数y(m23m3)为幂函数，且在(0，)上单调递减，则实数m的值为()A0 B1或2 C1 D2答案C解析由于函数y(m23m3)为幂函数，所以m23m31，解得m1或m2，当m1时，yx1，在(0，)上单调递减，符合题意当m2时，yx4，在(0，)上单调递增，不符合题意4已知函数f(x)x22mxm2的值域为0，)，则实数m的值为()A2或1 B2C1 D1或2答案A解析因为f(x)x22mxm2(xm)2m2m2m2m2，且函数f(x)x22mxm2的值域为0，)，所以m2m20，解得m2或m1.5如图是二次函数yax2
11、bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为直线x1.下面四个结论中正确的是()Ab24ac B2ab1Cabc0 D5ab答案D解析因为二次函数yax2bxc的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x1，所以解得因为二次函数的图象开口方向向下，所以a0，所以b24ac，故选项A不正确；对于B，因为b2a，所以2ab0，故选项B不正确；对于C，因为abca2a3a4a0，故选项C不正确；对于D，因为a0，所以5a0时，要使函数ykx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2；当k0时，0，此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧，则函数ykx24x2在区间1,2上是减函数，不符合要求综上可
12、得实数k的取值范围是2，)7(2022张家口检测)已知幂函数f(x)mxnk的图象过点，则m2n3k_.答案0解析因为f(x)是幂函数，所以m1，k0，又f(x)的图象过点，所以n，解得n，所以m2n3k0.8已知函数f(x)4x2kx8在1,2上不单调，则实数k的取值范围是_答案(16,8)解析函数f(x)4x2kx8的对称轴为直线x，则12，解得16k8.9已知二次函数f(x)ax2(b2)x3，且1，3是函数f(x)的零点(1)求f(x)的解析式，并解不等式f(x)3；(2)若g(x)f(sin x)，求函数g(x)的值域解(1)由题意得解得f(x)x22x3，当x22x33时，即x22
13、x0，解得x2或x0，不等式的解集为(，02，)(2)令tsin x，则g(t)t22t3(t1)24，t1,1，当t1时，g(t)有最小值0，当t1时，g(t)有最大值4，故g(t)0,4g(x)的值域为0,410(2022烟台莱州一中月考)已知二次函数f(x)ax2bxc，且满足f(0)2，f(x1)f(x)2x1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当xt，t2(tR)时，求函数f(x)的最小值g(t)(用t表示)解(1)因为二次函数f(x)ax2bxc满足f(0)2，f(x1)f(x)2x1，所以即所以解得因此f(x)x22.(2)因为f(x)x22是图象的对称轴为直线x0，且开口向上
14、的二次函数，当t0时，f(x)x22在xt，t2上单调递增，则f(x)minf(t)t22；当t20，即t2时，f(x)x22在xt，t2上单调递减，则f(x)minf(t2)(t2)22t24t6；当t0t2，即2t2”是“f(x)0对x1,3恒成立”的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析若f(x)3，m|m3是m|m2的真子集，所以“m2”是“f(x)0对x1,3恒成立”的必要不充分条件12.幂函数yx，当取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yxa
15、，yxb的图象三等分，即有BMMNNA，那么a等于()A0 B1 C. D2答案A解析由BMMNNA，点A(1,0)，B(0,1)，M，N，将两点坐标分别代入yxa，yxb，得a，b，a0.13(2022江苏海安高级中学模拟)函数f(x)x24x2在区间a，b上的值域为2,2，则ba的取值范围是_答案2,4解析解方程f(x)x24x22，解得x0或x4，解方程f(x)x24x22，解得x2，由于函数f(x)在区间a，b上的值域为2,2若函数f(x)在区间a，b上单调，则a，b0,2或a，b2,4，此时ba取得最小值2；若函数f(x)在区间a，b上不单调，且当ba取最大值时，a，b0,4，所以b
16、a的最大值为4.所以ba的取值范围是2,414设关于x的方程x22mx2m0(mR)的两个实数根分别是，则225的最小值为_答案7解析由题意有且4m24(2m)0，解得m2或m1，225()2254m22m1，令f(m)4m22m1，而f(m)图象的对称轴为m，且m2或m1，所以f(m)minf(1)7.15(2022台州模拟)已知函数f(x)(x22x3)(x2axb)是偶函数，则f(x)的值域是_答案16，)解析因为f(x)(x22x3)(x2axb)(x3)(x1)(x2axb)是偶函数，所以有代入得解得所以f(x)(x22x3)(x22x3)(x23)24x2x410x29(x25)21616.16已知a，b是常数且a0，f(x)ax2bx且f(2)0，且使方程f(x)x有等根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m，n(mn)，使得f(x)的定义域和值域分别为m，n和2m，2n?解(1)由f(x)ax2bx，且f(2)0，则4a2b0，又方程f(x)x，即ax2(b1)x0有等根，得b1，从而a，所以f(x)x2x.(2)假定存在符合条件的m，n，由(1)知f(x)x2x(x1)2，则有2n，即n.又f(x)图象的对称轴为直线x1，则f(x)在m，n上单调递增，于是得即解方程组得m2，n0，所以存在m2，n0，使函数f(x)在2,0上的值域为4,0
