1、平行四边形平行四边形是一种极重要的几何图形这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例1 如图2-32所示在A
2、BCD中，AEBC，CFAD，DN=BM求证：EF与MN互相平分分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手证 因为ABCD是平行四边形，所以ADBC，ABCD，B=D又AEBC，CFAD，所以AECF是矩形，从而AE=CF所以RtABERtCDF(HL，或AAS)，BE=DF又由已知BM=DN，所以BEMDFN(SAS)，ME=NF 又因为AF=CE，AM=CN，MAF=NCE，所以MAFNCE(SAS)，所以 MF=NF 由，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分例2 如图2-33所示RtABC中，BAC=90，ADBC于D，BG
3、平分ABC，EFBC且交AC于F求证：AE=CF分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系若作GHBC于H，由于BG是ABC的平分线，故AG=GH，易知ABGHBG又连接EH，可证ABEHBE，从而AE=HE这样，将AE“转移”到EH位置设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解证 作GHBC于H，连接EH因为BG是ABH的平分线，GABA，所以GA=GH，从而ABGHBG(AAS)，所以 AB=HB 在ABE及HBE中，ABE=CBE，BE=BE，所以 ABEHBE(SAS)，所以 AE=EH，BEA=BEH下面证明四边形EHCF是平行四边形因为ADGH，所以AEG=
4、BGH(内错角相等) 又AEG=GEH(因为BEA=BEH，等角的补角相等)，AGB=BGH(全等三角形对应角相等)，所以AGB=GEH从而EHAC(内错角相等，两直线平行)由已知EFHC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE说明 本题添加辅助线GHBC的想法是由BG为ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与HBG继而发现ABEHBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的例3 如图2-34所示ABCD中，DEAB于E
5、，BM=MC=DC求证：EMC=3BEM 分析 由于EMC是BEM的外角，因此EMC=B+BEM从而，应该有B=2BEM，这个论断在BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样B=MCF及BEM=F，因此， 只要证明MCF=2F即可不难发现，EDF为直角三角形(EDF=90)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM由于CM=BM，F=BEM，MCF=B，所以MCFMBE(AAS)，所以M是EF的中点由于ABCD及DEAB，所以，DEFD，三角形DEF
6、是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知F=MDC，又由已知MC=CD，所以MDC=CMD，则MCF=MDC+CMD=2F从而EMC=F+MCF=3F=3BEM例4 如图2-35所示矩形ABCD中，CEBD于E，AF平分BAD交EC延长线于F求证：CA=CF分析 只要证明CAF是等腰三角形，即CAF=CFA即可由于CAF=45-CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与CAD相等的角a，使得CFA=45-a为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明FCH=CAD证 延长DC交AF于H，显然FCH=DCE又在RtBCD中，由于CEBD，故DCE=DBC因
7、为矩形对角线相等，所以DCBCDA，从而DBC=CAD，因此，FCH=CAD 又AG平分BAD=90，所以ABG是等腰直角三角形，从而易证HCG也是等腰直角三角形，所以CHG=45由于CHG是CHF的外角，所以CHG=CFH+FCH=45，所以 CFH=45-FCH 由，CFH=45-CAD=CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)求证：分析 作BAF的平分线，将角分为1与2相等的两部分，设法证明DAE=1或2证 如图作BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则1=2=3，所以FA=FH设正方形边长为a，在RtADF中，从而
8、所以 RtABGRtHCG(AAS)，从而RtABGRtADE(SAS)，例6 如图2-37所示正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G求证：GHD是等腰三角形分析 准确地画图可启示我们证明GDH=GHD证 因为DEBC，所以四边形BCED为平行四边形，所以1=4又BD=FD，所以所以 BC=GC=CD因此，DCG为等腰三角形，且顶角DCG=45，所以又所以 HDG=GHD，从而GH=GD，即GHD是等腰三角形练习十二（1） 如图2-38所示DEAC，BFAC，DE=BF，ADB=DBC求证：四边形ABCD是平行四边形2如图2-39所示在平行四边形ABCD中，ABE和BCF都是等边三角形求证：DEF是等边三角形3如图2-40所示ABCD中，AF平分BAD交BC于F，DEAF交CB于E求证：BE=CF4如图2-41所示矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA求证：BEDE5 如图2-42所示在正方形ABCD中，CE垂直于CAB的平分8