1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(五十七)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2019合肥模拟)与椭圆1共焦点，且离心率互为倒数的双曲线方程是() (A)y21(B)x21(C)1 (D)12.双曲线x21的一个焦点到它的渐近线的距离为()(A)1(B)(C)(D)23.(2019汉中模拟)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)4.(2019宿州模拟)已知抛物线y28x的准线与双曲线1(a0
2、，b0)相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y2x，点F是抛物线的焦点，且FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是()(A)1 (B)x21(C)1 (D)y215.(易错题)设双曲线1(ba0) 的半焦距为c，直线l在横纵坐标轴上的截距分别为实半轴、虚半轴的长，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为()(A)2 (B)(C) (D)2或6.设F1、F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()(A)3x4y0 (B)3x5y0(C)4x3y0 (D)5x4
3、y0二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为.8.(预测题)如图所示，直线x2与双曲线C：y21的渐近线交于E1，E2两点，记e1，e2，任取双曲线C上的点P，若ae1be2，则实数a和b满足的一个等式是.9.P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为.三、解答题(每小题15分，共30分)10.点P是以F1，F2为焦点的双曲线E：1(a0，b0)上的一点，已知PF1PF2，|PF1|2|PF2|，O为坐标原点.(1)求双曲线的离心率e；(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P
4、1，P2两点，且，0，求双曲线E的方程.11.已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3).(1)求C的离心率；(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|17，求证：过A、B、D三点的圆与x轴相切.【探究创新】(16分)某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A，B，C)，B地在A地正东方向上，两地相距6 km； C地在B地北偏东30方向上，两地相距4 km，假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4 s后，B、C两个救援中心也同时
5、接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.(1)求A、C两个救援中心的距离；(2)求P相对A的方向角；来源:Z&xx&k.Com(3)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2，返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时，A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小)，并证明你的结论.来源:学_科_网Z_X_X_K来源:学#科#网答案解析1.【解析】选A.椭圆的焦点为(0,2)，(0，2)，e.由题意，令双曲线方程为1.则，a1，b，双曲线方程为y21.2.【解析】选C.由题意，得a1，b，c2，焦点坐标为(2,0)，(2,0)，渐近线方程为yx，即xy0，d.3.【解析
6、】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样，所以不妨设双曲线方程为(a0,b0)，则双曲线的渐近线的斜率k=，一个焦点坐标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0,b)，所以kFB=-，又因为直线FB与双曲线的一条渐近线垂直，所以kkFB=(-)=-1(-显然不符合),即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0，解得e= (负值舍去).【变式备选】双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则的最小值为()(A) (B) (C)2 (D)1【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以2，即c2a，c24a2；又因为c2a2b2，所以a2b24a2，即ba，因此a
7、2，当且仅当a时等号成立.即的最小值为.4.【解题指南】数形结合，由对称性判定FAB中的直角是解题的关键.来源:Z#xx#k.Com【解析】选C.由题意得抛物线的准线为x2，F(2,0)如图所示，由抛物线的对称性知AFB90且|FA|FB|，A(2,4)，由题意得2，b2a，1，1，a22，b28a216.故选C.5.【解析】选A.由题意得直线l的方程为1，原点到l的距离dc.又c2a2b2，abc2，4e2.3e416e2160.解得e2或e.0ab，e，e2.【误区警示】本题易出现选D的情况，原因是求出离心率后，就认为已结束，而忽略了0ab这一条件.6.【解析】选C.设PF1的中点为M，因
8、为|PF2|F1F2|，所以F2MPF1，因为|F2M|2a，在直角三角形F1F2M中，|F1M|2b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义得4b2c2a，即2bca，因为c2a2b2，所以(2ba)2a2b2，即3b24ab0，即3b4a，故双曲线的渐近线方程是yx，即4x3y0.【变式备选】F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，且F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()(A)1 (B)2(C)3 (D)3【解析】选A.设双曲线C的焦距为2c，依题设不妨令|F1F2|PF2|，即2c，2c，即2acc2a2，e22e10，e1，又e1，e1.7.【解析】当
9、双曲线的焦点在x轴上时，.不妨令b3t，a4t(t0)，则c5t，e.当双曲线的焦点在y轴上时，不妨令a3t，b4t(t0)，则c5t，e.答案：或【误区警示】解答本题易漏解，只得答案，出错的原因是忽视了焦点的位置对渐近线方程的影响.8.【解析】由题意可求出e1(2,1)，e2(2，1)，设P(x0，y0)，则，(ab)21，ab.答案：ab9.【解析】双曲线的两个焦点F1(4,0)、F2(4,0)分别为两个圆的圆心，两圆的半径分别为r12，r21.由题意得|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.
10、答案：5【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法一般不用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解.来源:1ZXXK10.【解析】(1)|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a.PF1PF2，(4a)2(2a)2(2c)2，即5a2c2，e.(2)由(1)知双曲线的方程可设为1，渐近线方程为y2x.设P1(x1,2x1)，P2(x2，2x2)，P(x，y)，3x1x2x1x2，0点P在双曲线上， 1，化简得x1x2，a22，双曲线方程为1.11.【解析】(1)由
11、题意知，l的方程为yx2.代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)、D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由M(1,3)为BD的中点知1，故1，即b23a2，故c2a，所以C的离心率e2.(2)由知，C的方程为：3x2y23a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1x22，x1x20，故不妨设x1a，x2a.|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|FD|17，故5a24a817，解得a1或a(舍去).故|BD|x1x2|6.连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)
12、知|MA|3，从而MAMBMD，且MAx轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切.所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.【探究创新】【解析】(1)以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(3,0)，C(5,2)，则|AC|2(km)，即A、C两个救援中心的距离为2 km.(2)|PC|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上.又|PB|PA|4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|6，双曲线方程为1(x0).BC的垂直平分线的方程为xy70，联立两方程解得： x8.P(8,5)，kPAtanPAB，PAB120，所以P点在A点的北偏西30方向上.(3)如图，设|PQ|h，|PB|x，|PA|y，|QB|QA|(xy)，又1，|QB| |QA|PB|PA|，.即从P点的正上方Q点处A、B收到信号的时间差比从P点处A、B收到信号的时间差变小. 第 - 11 - 页