1、江西省赣州市南康区2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B根据补集和交集的定义即可求出【详解】集合Ay|y2x1（1，+），Bx|x11，+），则RB（，1）则A（RB）（1，1），故选C【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2.“”是“直线和直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案
2、】A【解析】【分析】计算直线和直线平行等价条件，再与比较范围大小得到答案.【详解】直线和直线平行，则 是的充分不必要条件，答案选A【点睛】本题考查了直线平行，充要条件的知识点，关键是把直线平行的等价条件计算出来.3.为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据：82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19
3、 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为A. 217B. 206C. 245D. 212【答案】B【解析】【分析】从第7行第4列开始向右依次读取3个数据，重复的去掉后可得.【详解】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取
4、暖器的编号为206选B.【点睛】本题考查随机数表，属于基础题.4.已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）A. B. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】推导出，设幂函数，则，从而，进而（3），由此能求出的值【详解】解：函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，设幂函数，则，解得， ，则故选：D【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题5.设是等差数列的前n项和，若，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式得，由此能求出结果【详解】解：是等差数列的前项和，故选：A【点睛】本题考
5、查等差数列的前13项和与前7项和的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题6.运行如下图所示的程序框图，输出的结果为（）A. 15B. 21C. 28D. 36【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时，满足条件，退出循环，输出的值为21【详解】解：模拟执行程序框图，可得，不满足条件，不满足条件，不满足条件，不满足条件，满足条件，退出循环，输出的值为21，故选：B【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题7.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题： 如果，
6、那么； 如果，那么； 如果，那么；如果，那么.其中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【详解】如果，那么m，n相交、平行或异面直线，故错误；根据线面平行性质定理可知正确；根据线面垂直判定定理可知正确；如果，那么m，n相交、平行或异面直线，故错误；故选B【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养8.函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于关于对称,则关于轴对称,由于,故,故选D.9.函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A
7、【解析】【分析】用排除法，根据函数的变化趋势即可判断【详解】解：因为，所以定义域为，当时，当时， 令，则，当时，则，所以，则，当时，显然 故函数在上单调递增，排除；当时，当时，在之间摆动，当时，故排除，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的识别，排除法时做选择题的一种常用方法，属于基础题10.为了得到函数的图像，只需把函数的图像A. 向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C. 向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位【答案】B【解析】试题分析：记函数，则函数函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B.考点：函数y=Asin（x+）的图象变换1
8、1.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到渐近线的距离，解得故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题12.已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】设出抛物线的准线方程，问题求的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上
9、找一点，使到点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来【详解】解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷中的横线上）13.已知向量，且，则的值为_【答案】-7【解析】【分析】，利用列方程求解即可.【详解】，且，解得：.【点
10、睛】考查向量加法、数量积的坐标运算.14.命题:，使得成立；命题，不等式恒成立.若命题为真，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】分析：命题为真，则都为真，分别求出取交集即可.详解：命题为真，则都为真，对，使得成立，则；对，不等式恒成立，则，又（当且仅当时取等），故.故答案为.点睛：本题考查函数的性质，复合命题的真假判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 .【答案】【解析】【详解】因为这组数据的平均数为10，方差为2，所以x+y20，（x10）2+（y10）28，
11、解得则x2+y2208，故答案为20816.设、为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于、两点，若的面积为的等边三角形，则椭圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】作出图形，利用三角形的面积公式求出等边的边长，利用该三角形的周长可计算出的值，利用等边三角形三线合一的思想可得出的值，可得出的值，进而得出的值，由此可求出椭圆的标准方程.【详解】设椭圆的焦距为，如下图所示：由于是面积为的等边三角形，则，得，即是边长为的等边三角形，该三角形的周长为，可得，由椭圆的对称性可知，点、关于轴对称，则且轴，所以，则，因此，椭圆的标准方程为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求解，涉及到椭圆定义的应用，解
12、题的关键就是求出、的值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本题6小题，共70分）17.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的横坐标为，（1）求抛物线的方程；（2）设过焦点且倾斜角为的交抛物线于两点，求线段的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由题意得，求出，即可得出抛物线方程；（2）先由题意，得到直线的方程为，与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公式，即可得出结果.【详解】（1）由题意得，故抛物线方程为（2）直线的方程为，即与抛物线方程联立，得，消，整理得，其两根为，且由抛物线的定义可知，所以，线段的长是【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标
13、准方程，以及抛物线的焦点弦公式即可，属于常考题型.18.已知为等差数列前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求，可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组，解这个方程组，求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式；（2）直接利用等比数列的前n项和公式求出.【详解】解：（1）由，解得，所以. （2），所以的前项和.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列前n项和公式，考查了数学运算能力、解方程组的能力.19.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）设的内角，的对边分别为，且，若，求，的值.【答案】（1）函
14、数的最小正周期为.（2），【解析】【分析】（1）将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出的最小正周期;（2）由可得C的范围,可得C的值，由，由正弦定理得，由余弦定理可得，联立可得a、b的值.【详解】（1）.所以函数的最小正周期为.（2）由，得，因为，所以，所以，又，由正弦定理得. 由余弦定理，得，即 由解得，.【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.20.如图，在四棱锥中，Q是AD的中点，（1）求证：平面平面 ；（2）求直线与平面所成角的正切值【答案】
15、（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，根据已知条件证明，进而证明面，最后得出面面垂直（2）根据面面垂直，证明面，得出为直线与平面所成角，最后求解【详解】（1）连接 ， 是 的中点四边形是平行四边形又，面，面面，面 面面（2）由（1）知平面平面又平面平面，平面平面则为直线与平面所成的角在中，【点睛】本题考查线线垂直证明线面垂直再得面面垂直，在使用面面垂直的性质定理时，首先找交线，再找线线垂直，最后得出线面垂直，计算线面角，先利用线面垂直证明线面角，再计算21.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的
16、良性循环据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示（1）求出的值；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.【答案】（1）0.035（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图直接求出a（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，
17、2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为设从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率【详解】（1）由，得（2）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为.设从5人中随机抽取3人，为共10个基本事件其中第2组恰好抽到2人包含共6个基本事件,从而第2组抽到2人的概率【点睛】根据直方图直接看图求值，题干要求用列举法即需要把所有情况都列举出来，再求概率，属于基础题目22.已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，先求出，再由离心率求出，根据求出，即可得出椭圆方程；（2）先设，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与，以及判别式大于0，即可求出的取值范围.【详解】（1）因为为椭圆右焦点，点在上，且轴，所以；又椭圆的离心率为，所以，因此，所以椭圆的方程为；（2）设，由得 ，所以，故，由，得，即，整理得，解得；又因，整理得，解得或；综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及根据直线与椭圆位置关系求参数的问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，判别式等求解，属于常考题型.