1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题向量共线定理ababx1y2x2y10，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0 x1x2y1y20，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos ab|a|b|(为向量 a，b 的夹角)，其中 a，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a|a2 x2y2，其中 a(x，y)，a 为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题设向量
2、向量问题运算 解决向量问题还原 解决几何问题.2.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.【知识拓展】1.若 G 是ABC 的重心，则GA GB GC 0.2.若直线 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线 l 平行.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-(1)若ABAC，则 A，B，C 三点共线.()(2)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的
3、夹角为钝角.()(3)在ABC 中，若ABBC0，则ABC 为钝角三角形.()(4)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点 P 满足：OP OA t(ABAC)，tR，则点 P 的轨迹方程是 xy10.()1.已知向量 a(cos，sin)，b(3，1)，则|2ab|的最大值为_.答案 4解析 设 a 与 b 夹角为，|2ab|24a24abb284|a|b|cos 88cos，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|20,16，|2ab|0,4.|2ab|的最大值为 4.2.设 O 是ABC 内部一点，且OA OC 2OB，则AOB
4、与AOC 的面积之比为_.答案 12解析 设 D 为 AC 的中点，如图所示，连结 OD，则OA OC 2OD.又OA OC 2OB，所以OD OB，即 O 为 BD 的中点，从而容易得AOB 与AOC 的面积之比为 12.3.(2016泰州模拟)平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足OP OA 4，则点P 的轨迹方程是_(填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”).答案 x2y40高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-解析 由OP OA 4，得(x，y)(1,2)4，即 x2y4.4.在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM1，点 P 在
5、AM 上且满足AP2PM，则PA(PBPC)_.答案 49解析 因为 M 是 BC 的中点，所以PBPC2PM，所以PA(PBPC)23AM 23AM 49.5.如图，ABC 是边长为 2 3的等边三角形，P 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，则(APBP)min_.答案 1解析 取 AB 的中点 D，连结 CD、CP(图略).所以APBP(ACCP)(BCCP)ACBCCP(ACBC)CP 2(2 3)212CP2CD 176cosCP，CD，当 cosCP，CD 1 时，APBP取得最小值 1.题型一 向量在平面几何中的应用例 1(1)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD
6、60，E 为 CD 的中点.若ACBE1，则 AB_.(2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_.(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-答案(1)12(2)重心解析(1)在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F，则BEFD，BEFD AD 12AB，又ACAD AB，ACBE(AD AB)(AD 12AB)AD 212AD ABAD AB12AB 2|AD|212|AD|AB|cos 6012|AB|211212|
7、AB|12|AB|21.12|AB|AB|0，又|AB|0，|AB|12.(2)由原等式，得OP OA(ABAC)，即AP(ABAC)，根据平行四边形法则，知ABAC是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过ABC 的重心.引申探究在本例(2)中，若动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_.(填“内心”“外心”“重心”“垂心”)答案 内心解析 由条件，得OP OA AB|AB|AC|AC|，即APAB|AB|AC|AC|，而 AB|AB|和 AC|AC|分别表示平行于AB，AC的单位
8、向量，故 AB|AB|AC|AC|平分BAC，即AP平分BAC，所以点 P 的轨迹必过ABC的内心.思维升华 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-(1)在ABC 中，已知向量AB与AC 满足(AB|AB|AC|AC|)BC0，且 AB|AB|AC|AC|12，则ABC 的形状为_三角形.(2)已知直角梯形 ABCD 中，
9、ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_.答案(1)等边(2)5解析(1)AB|AB|，AC|AC|分别为平行于AB，AC 的单位向量，由平行四边形法则可知 AB|AB|AC|AC|为BAC 的平分线.因为(AB|AB|AC|AC|)BC0，所以BAC 的平分线垂直于 BC，所以 ABAC.又 AB|AB|AC|AC|AB|AB|AC|AC|cosBAC12，所以 cosBAC12，又 0BAC，故BAC3，所以ABC 为等边三角形.(2)以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，D
10、Py.则 D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，PA(2，y)，PB(1，ay)，则PA3PB(5,3a4y)，即|PA3PB|225(3a4y)2，由点 P 是腰 DC 上的动点，知 0ya.因此当 y34a 时，|PA3PB|2 的最小值为 25.故|PA3PB|的最小值为 5.题型二 向量在解析几何中的应用例 2(1)已知向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，且 A、B、C 三点共线，当 k0 时，若 k 为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_.(2)设 O 为坐标原点，C 为圆(x2)2y23 的圆心，且圆上有一点 M(x，y)满
11、足OM CM 0，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-则yx_.答案(1)2xy30(2)3解析(1)ABOB OA(4k，7)，BCOC OB(6，k5)，且ABBC，(4k)(k5)670，解得 k2 或 k11.由 k0 可知 k2，则过点(2，1)且斜率为2 的直线方程为 y12(x2)，即 2xy30.(2)OM CM 0，OMCM，OM 是圆的切线，设 OM 的方程为 ykx，由|2k|1k2 3，得 k 3，即yx 3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去
12、“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用 abab0(a，b 为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.(2016盐城模拟)如图所示，半圆的直径 AB6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则(PAPB)PC的最小值为_.答案 92解析 圆心 O 是直径 AB 的中点，PAPB2PO，(PAPB)PC2PO PC，PO 与PC共线且方向相反，当大小相等时，乘积最小.由条件知，当
13、 POPC32时，最小值为2323292.题型三 向量的其他应用高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-命题点 1 向量在不等式中的应用例 3 已知 x，y 满足yx，xy2，xa，若OA(x,1)，OB(2，y)，且OA OB 的最大值是最小值的8 倍，则实数 a 的值是_.答案 18解析 因为OA(x,1)，OB(2，y)，所以OA OB 2xy，令 z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数 z2xy 过点 C(1,1)时，zmax2113，目标函数 z2xy 过点 F(a，a)时，zmin2aa3a，所以 383a，解
14、得 a18.命题点 2 向量在解三角形中的应用例 4 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 20aBC15bCA12cAB0，则ABC最小角的正弦值等于_.答案 35解析 20aBC15bCA12cAB0，20a(ACAB)15bCA12cAB0，(20a15b)AC(12c20a)AB0，AC与AB不共线，20a15b0，12c20a0b43a，c53a，ABC 最小角为角 A，cos Ab2c2a22bc169 a2259 a2a2243a53a45，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-sin A35.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角
15、函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.(2016扬州模拟)如图，在同一平面内，点 A 位于两平行直线 m，n 的同侧，且 A到 m，n 的距离分别为 1,3.点 B，C 分别在 m，n 上，|ABAC|5，则ABAC的最大值是_.答案 214解析 方法一 以直线 n 为 x 轴，过 A 且垂直于 n 的直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则 A(0,3)，B(x1，2)，C(x2,0)，从而AB(x1，1)，AC(x2，3)，则ABACx1x23，又因为|ABAC|5，即 x1x22165，故(x1x2)294x1x2，从而 x1x294，此时A
16、BACx1x23214，当且仅当 x1x2 时等号成立.方法二 设 P 为 BC 的中点，则ABAC2AP，从而由|ABAC|5 得|AP|52，又ABAC(APPB)(APPC)AP 2PB 2254 PB 2，因为|BC|2，所以PB 21，故ABAC254 1214，当且仅当|BC|2 时等号成立.三审图形抓特点典例(2016苏州一模)已知 A，B，C，D 是函数 ysin(x)0，02 一个周期内的高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-图象上的四个点，如图所示，A6，0，B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与 D 关于点 E
17、 对称，CD 在 x 轴上的投影为 12，则，的值分别为_.E为函数图象的对称中心，C为图象最低点 作出点C的对称点MD、B两点对称CD和MB对称 CD在x轴上的投影是 12BM在x轴上的投影OF 12A6，0AF4 T 2ysin2x和ysin 2x图象比较26 3解析 由 E 为该函数图象的一个对称中心，作点 C 的对称点 M，作 MFx 轴，垂足为 F，如图.B 与 D 关于点 E 对称，CD 在 x 轴上的投影为 12，知 OF 12.又 A6，0，所以 AFT4 24，所以 2.同时函数 ysin(x)图象可以看作是由 ysin x 的图象向左平移得到，故可知26，即 3.答案 2，
18、31.(教材改编)已知平面向量 a，b，满足|a|3，|b|2，ab3，则|a2b|_.答案 7解析 由题意可得|a2b|a2b|2 a24ab4b2 7.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-10-2.(教材改编)已知|a|1，|b|2，且 a(ab)，则向量 a 与向量 b 的夹角为_.答案 4解析 a(ab)，a(ab)a2ab0，aba2，|a|1，|b|2，cosa，b ab|a|b|a2|a|b|22，又a，b0，向量 a 与向量 b 的夹角为4.3.(2016南京模拟)已知向量 a(cos，2)，b(sin，1)且 ab，则 sin 2_.答案 45解析 由 ab
19、得 cos 2sin 0，cos 2sin，又 sin2cos21，5sin21，sin215，cos245，sin 22sin cos cos245.4.设ABC 的三个内角为 A，B，C，向量 m(3sin A，sin B)，n(cos B，3cos A)，若 mn1cos(AB)，则 C_.答案 23解析 依题意得 3sin Acos B 3cos Asin B1cos(AB)，3sin(AB)1cos(AB)，3sin Ccos C1,2sin(C6)1，sin(C6)12.又6C60，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|3.9.设 e1，e2 为单位向量，非零向量
20、bxe1ye2，x，yR.若 e1，e2 的夹角为6，则|x|b|的最大值等于_.答案 2解析|x|b|x|xe1ye2|x|x2y2 3xy1x2y2 3xyx21yx2 3yx 1高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-1yx 32 214.因为(yx 32)21414，所以|x|b|的最大值为 2.10.(2016常州期末)如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点 P 在边 BC 上，且满足APmABnAD(m，n 均为正实数)，则1m1n的最小值为_.答案 74 34解析 方法一 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(
21、4,0)，D(0,4)，C(1,4).又 kBC43，故 BC：y43(x4).又APmABnAD，AB(4,0)，AD(0,4)，所以AP(4m,4n)，故 P(4m,4n)，又点 P 在直线 BC 上，即 3n4m4，即 4(1m1n)(3n4m)(1m1n)73nm 4mn 72 1274 3，所以(1m1n)min74 34，当且仅当3n24m2，3n4m4，即 m42 3，n8 3123时取等号(因为 m，n 均为正实数).方法二 因为APmABnAD，所以APmABn(ACCD)mABnACn4AB(mn4)ABnAC.又 C，P，B 三点共线，故 mn4n1，即 m3n4 1，以
22、下同方法一.11.已知向量 a(sin(6)，3)，b(1,4cos)，(0，2).(1)若 ab，求 tan 的值；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-(2)若 ab，求 的值.解(1)因为 ab，所以 sin(6)12cos 0，即 32 sin 12cos 12cos 0，即 32 sin 252 cos 0，又由题意得 cos 0，所以 tan 25 33.(2)若 ab，则 4cos sin(6)3，即 4cos(32 sin 12cos)3，所以 3sin 2cos 22.所以 sin(26)1.因为(0，2)，所以 26(6，76)，所以 262，即 6.1
23、2.已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|2，求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求，的值.(1)证明 由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为 a2b2|a|2|b|21，所以 22ab2，即 ab0，故 ab.(2)解 因为 ab(cos cos，sin sin)(0,1)，所以cos cos 0，sin sin 1.由此得，cos cos()，由 0，得 0，又 0，所以 56，6.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-13.在ABC 中，设内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(cos
24、A，sin A)，向量 n(2sin A，cos A)，若|mn|2.(1)求内角 A 的大小；(2)若 b4 2，且 c 2a，求ABC 的面积.解(1)|mn|2(cos A 2sin A)2(sin Acos A)242 2(cos Asin A)44cos(4A).44cos(4A)4，cos(4A)0.A(0，)，4A2，A4.(2)由余弦定理知：a2b2c22bccos A，即 a2(4 2)2(2a)224 2 2acos4，解得 a4 2，c8.SABC12bcsin A124 28 22 16.14.设向量 a(cos xsin x，1)，b(2sin x，1)，其中 0，xR，已知函数 f(x)ab的最小正周期为 4.(1)求 的值；(2)若 sin x0 是关于 t 的方程 2t2t10 的根，且 x02，2，求 f(x0)的值.解(1)f(x)ab(cos xsin x，1)(2sin x，1)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x 2sin2x4.因为 T4，所以224，14.(2)方程 2t2t10 的两根为 t112，t21.因为 x02，2，所以 sin x0(1,1)，所以 sin x012，即 x06.又由(1)知 f(x0)2sin12x04，所以 f6 2sin 124 2sin 6 22.
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