1、单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:100分钟满分:120分)一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:是无理数,结论:是无限不循环小数B.大前提:无限不循环小数是无理数,小前提:是无限不循环小数,结论:是无理数C.大前提:是无限不循环小数,小前提:无限不循环小数是无理数,结论:是无理数D.大前提:是无限不循环小数,小前提:是无理数,结论:无限不循环小数是无理数答案:B解析:A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A
2、错误;C,D都不是由一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论,所以C,D都不正确;只有B符合演绎推理三段论形式且推理正确.2.(2021广西柳州一模)已知x,y满足约束条件x+y-20,x-y-20,y2,则z=2x+y的最小值为()A.2B.4C.6D.10答案:A解析:不等式组表示的可行域如图所示,由z=2x+y得y=-2x+z,作出直线y=-2x,平移直线y=-2x,当直线过点C时,直线在y轴上的截距最小,此时z取最小值,由y=2,x+y-2=0,得x=0,y=2,即C(0,2),所以z=2x+y的最小值为20+2=2.3.(2021宁夏中卫模拟)若x,yR,2x+2y=1,则x+y的取
3、值范围是()A.(-,-2B.(0,1)C.(-,0D.(1,+)答案:A解析:因为1=2x+2y22x2y=22x+y,所以2x+y14,即x+y-2,当且仅当2x=2y=12,即x=y=-1时取等号,所以x+y的取值范围是(-,-2.4.(2021内蒙古赤峰适应性考试)中国有句名言“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”取意于孙子算经中记载的算筹,古代用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵、横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位数用横式表
4、示,依此类推.例如:7239用算筹表示就是,则6728用算筹可表示为()答案:D解析:由题意各位数码的筹式需要纵横相间,6728用算筹可表示为.5.(2021广西防城港模拟)观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,则52 021的末四位数字为()A.0 625B.3 125C.5 625D.8 125答案:B解析:由题意可得5n(n5,nN+)的末四位数字的周期为4,所以52021=55044+5,所以52021的末四位数字为3125.6.(2021贵州毕节诊断测试)宋元时期我国数学家朱
5、世杰在四元玉鉴中所记载的“垛积术”,其中“落一形”就是以下所描述的三角锥垛,三角锥垛从上到下最上面是1个球,第二层是3个球,第三层是6个球,第四层是10个球则这个三角锥垛的第十五层球的个数为()A.91B.105C.120D.210答案:C解析:“三角形数”可写为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,“三角形数”的通项公式为an=1+2+3+n=n(n+1)2,这个三角锥垛的第十五层球的个数为a15=15162=120.7.(2021湖南湘潭质检)由于冬季气候干燥,冷空气频繁袭来,为提高公民的取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距
6、离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,这两项费用分别为5千元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区()A.5千米B.6千米C.7千米D.8千米答案:A解析:设供热站应建在离社区x千米处,则自然消费y1=k1x,供热费y2=k2x,由题意得,当x=20时,y1=0.5,y2=8,所以k1=xy1=10,k2=y2x=25,所以y1=10x,y2=25x,所以两项费用之和y1+y2=10x+2x5210x2x5=4,当且仅当10x=2x5,即x=5时,等号成立,所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.8.(2021四川
7、成都玉林中学高三月考)已知x0,y0,且2x+1y=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的最小值是()A.2B.-4C.4D.-2答案:B解析:x0,y0,且2x+1y=1,x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+xy4+24yxxy=8,当且仅当4yx=xy,即x=4,y=2时取等号,x+2ym2+2m恒成立,(x+2y)minm2+2m,即8m2+2m,解不等式可得-4m2,故实数m的最小值为-4.9.(2021山东聊城一中高三月考)某大学进行强基计划招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了
8、排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示:则下面判断中不正确的是()A.甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B.乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前D.甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中,丙同学更靠前答案:D解析:对于A,甲同学的逻辑思维成绩排名比较靠前,但是总排名比较靠后,说明甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前,故A正确.对于B,乙同学的总排名比较靠前,但是他的逻辑思维成绩排名比较靠后,说明他的阅读表达成绩排名比逻辑思维成绩排名更靠前,故B正确.对于C,甲、乙、丙三位同学的逻辑
9、思维成绩排名顺序是甲、丙、乙,故甲同学最靠前,故C正确.对于D,丙同学的阅读表达成绩排名居中,但是甲、乙同学的阅读表达成绩排名不能具体确定,所以D错误.10.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据市场预测.甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%,可能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目,在总投资风险不超过30%的情况下,该投资人可能获得的最大盈利为()A.40万元B.50万元C.60万元D.70万元答案:D解析:设投资甲、乙项目分别x,y万元,由题意有x+y300,0.5x+0.2y90,x0,y0,且最大盈利为30%x+20%y
10、,该投资人可能获得的最大盈利,即为以上不等式为约束条件下,求目标式z=30%x+20%y=0.3x+0.2y的最大值.由上图知,当直线z=0.3x+0.2y过直线x+y=300与0.5x+0.2y=90的交点(100,200)时有最大值,zmax=0.3100+0.2200=70(万元).二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.11.根据事实1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;.写出一个含有量词的全称命题:.答案:任意nN+,1+3+5+(2n-1)=n2解析:1=12,1+(22-1)=22,1+3+(23-1)=32,1+3+5+(24-1)=42,由此
11、可归纳得出:任意nN+,1+3+5+(2n-1)=n2.12.(2021云南曲靖质量检测)若实数x,y满足约束条件x-2y+10,x+2y+10,x-10,则z=ax+by(ab0)取最大值4时,4a+1b的最小值为.答案:94解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示:当z=ax+by(ab0)最大时,直线y=-abx+zb在y轴截距最大,ab0,-ab0,b0,且a+b=1,则a2+b2的最小值等于,a+b的最大值等于.答案:122解析:a0,b0,a+b=1,aba+b22=14,当且仅当a=b=12时取等号,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-12=12,当且仅当a=b=1
12、2时取等号,a2+b2的最小值为12,(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab1+a+b=2,当且仅当a=b=12时取等号,a+b的最大值为2.14.(2021贵州贵阳一中高三月考)在平面几何中,有勾股定理:“设ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何中的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥P-ABC中的三个侧面PAB,PBC,PAC两两相互垂直,则.”答案:SPAB2+SPBC2+SPAC2=SABC2三、解答题:共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(12分)(2021广西河池模拟)
13、(1)用分析法证明:当n0时,n+2-n+1n+1-n;(2)已知xR,a=x2-1,b=2x+2,用反证法证明:a,b中至少有一个不小于0.证明(1)要证n+2-n+1n+1-n,即证n+2+n2n+1,即证(n+2+n)2(2n+1)2,即证2n+2+2n(n+2)4n+4,即证n(n+2)n+1,只要证n2+2nn2+2n+1,而上式显然成立.所以n+2-n+1n+1-n成立.(2)假设a0且b0,则由a=x2-10得-1x1,由b=2x+20得x-1,这与-1x1矛盾,所以假设错误.所以a,b中至少有一个不小于0.16.(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图1,2,3,4为刺绣
14、中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值;(2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;(3)求1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+1f(n)-1(n2,nN+)的值.解:(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44,由上式规律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.所以f(n+1)=f(n)+4n
15、,f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+4=1+4(n-1)(n-1+1)2=2n2-2n+1.(3)当n2时,1f(n)-1=12n(n-1)=121n-1-1n,所以1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+1f(n)-1=1+121-12+12-13+13-14+1n-1-1n=1+121-1n=32-12n.17.(12分)给出下列各式:cos3=12,cos5cos25=14,cos7cos27cos37=18,cos9cos29co
16、s39cos49=116,根据以上信息,猜想一般规律,并加以证明.解:根据题意,分析所给的等式可得:cos3=12,可化为cos121+1=121,cos5cos25=14,可化为cos122+1cos222+1=122,cos7cos27cos37=18,可化为cos123+1cos223+1cos323+1=123.猜想一般规律为cos2n+1cos22n+1cos32n+1cosn2n+1=12n(nN+).证明:我们熟知正弦的二倍角公式为sin2=2sincos,cos=sin22sin,据此可得cos2n+1cos22n+1cos32n+1cosn2n+1=sin22n+12sin2
17、n+1sin42n+12sin22n+1sin62n+12sin32n+1sin2(n-1)2n+12sin(n-1)2n+1sin2n2n+12sinn2n+1,当n为偶数时,则有原式=sin(n+2)2n+1sin(n+4)2n+1sin(2n-2)2n+1sin2n2n+12nsin2n+1sin32n+1sin(n-3)2n+1sin(n-1)2n+1,又2n+1+2n2n+1=32n+1+(2n-2)2n+1=(n-1)2n+1+(n+2)2n+1=,所以cos2n+1cos22n+1cos32n+1cosn2n+1=12n.同理可得当n为奇数时猜想也成立.18.(14分)(2021
18、河南郑州模拟)开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密.”波利亚也曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在以前的学习中,我们知道,平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体等.如图,如果四面体D-EFP中棱DE,DF,DP两两垂直,那么称四面体D-EFP为直角四面体.请类比直角三角形ABC(h表示斜边上的高)中的性质给出直角四面体D-EFP中的两个性质,并给出证明.类别直角三角形ABC直角四面体D-EFP条件CACBDEDF,DEDP,DF
19、DP结论1a2+b2=c2结论21h2=1a2+1b2解:记DEF,DEP,DFP,EFP的面积依次为S1,S2,S3,S,记DE=m,DF=n,DP=p.结论1:S2=S12+S22+S32.证明:过D作DHEF,垂足为H,连接PH,DHEF,EFPD,DHPD=D,EF平面PDH,又PH平面PDH,PHEF.S12+S22+S32=(12mn)2+(12mp)2+(12np)2=14(m2n2+m2p2+n2p2),在RtDEF中,DH=DEDFEF=mnm2+n2,PH=DP2+DH2=p2+m2n2m2+n2,则S2=12EFPH2=12m2+n2p2+m2n2m2+n22=14(m2n2+n2p2+m2p2),S2=S12+S22+S32.结论2:1h2=1m2+1n2+1p2.证明:过D作DHEF,垂足为H,连接PH,则PHEF,过D作DGPH,垂足为G,设DG=h,EF平面PDH,GD平面PDH,EFGD,又DGPH,EFPH=H,GD平面PEF,即GD=h为点D到平面PEF的距离,由等体积法可得VP-DEF=VD-PEF,即1312mnp=1314(m2n2+n2p2+m2p2)h,h=mnpm2n2+m2p2+n2p2,1h2=m2n2+m2p2+n2p2m2n2p2=1m2+1n2+1p2.
