1、3-4定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.dx等于()A2ln2 B2ln2Cln2 Dln2答案D解析dxlnx|ln4ln2ln2.2(2011汕头模拟)设f(x)则f(x)dx等于()A.B.C.D不存在答案C解析f(x)dxx2dx(2x)dxx3|.3曲线ycosx(0x2)与直线y1所围成的图形面积是()A2 B3C. D答案A解析如右图，S(1cosx)dx(xsinx)|2.点评此题可利用余弦函数的对称性面积相等解决，但若把积分区间改为，则对称性就无能为力了4 (sinxcosx)dx的值是()A0 B. C2 D4答案C解析 (sinxcosx)dx(cosxsinx
2、)|2.5已知正方形四个顶点分别为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，曲线yx2(x0)与x轴，直线x1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是()A. B. C. D.答案C解析如图，正方形面积1，区域M的面积为Sx2dxx3|，故所求概率p.6设f(x)(1t)3dt，则f(x)的展开式中x的系数是()A1 B1 C4 D4答案B解析f(x)(1t)3dt(1t)4|(1x)4，故展开式中x的系数为(C)1，故选B.7已知函数f(x)3x22x1，若1f(x)dx2f(a)成立，则a_.答案1或.解析1(3x22x1)dx(x3x2x)|4
3、，2(3a22a1)4即3a22a10，解得a1或a.8(2011潍坊模拟)抛物线yx24x3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为_答案解析y2x4，在点A(1,0)处切线斜率k12，方程为y2(x1)，在点B(3,0)处切线斜率k22，方程为y2(x3)由得故所求面积S(2x2)(x24x3)dx(2x6)(x24x3)dx(x3x2x)|(x33x29x)|.9若函数f(x)的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为_答案解析由图可知a0cosxdxsinx|0.10.(2011福州月考)已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴
4、在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值解析f (x)3x22axb，f (0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)S阴影0(x3ax2)dx(x4ax3)|a4，a0，a1.能力拓展提升11.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A在t1时刻，甲车在乙车前面B在t1时刻，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面答案A解析判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0、
5、t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t0，tt0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t0，tt0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C、D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和tt1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和tt1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面所以选A.12(2012山东日照模拟)向平面区域(x，y)|x，
6、0y1内随机投掷一点，该点落在曲线ycos2x下方的概率是()A. B.C.1 D.答案D解析平面区域是矩形区域，其面积是，在这个区域中曲线ycos2x下方区域的面积是cos2xdx20cos2xdx2(sin2x)|01.故所求的概率是.故选D.13(2012郑州二测)等比数列an中，a36，前三项和S34xdx，则公比q的值为()A1 BC1或 D1或答案C解析因为S34xdx2x2|18，所以618，化简得2q2q10，解得q1或q，故选C.14(2012太原模拟)已知(xlnx)lnx1，则lnxdx()A1 Be Ce1 De1答案A解析由(xlnx)lnx1，联想到(xlnxx)(
7、lnx1)1lnx，于是lnxdx(xlnxx)|(elnee)(1ln11)1.15有一条直线与抛物线yx2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程解析设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设ab，则直线AB的方程为ya2(xa)，即y(ab)xab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S(ab)xabx2dx(x2abx)|(ba)3，(ba)3，解得ba2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，其中将ba2代入得消去a得yx21.线段AB的中点P的轨迹方程为yx21.16.由曲线yx2和直线x0、x1、yt2，t(0,
8、1)所围成的图形为如图阴影部分，求其面积的最小值解析S1t3x2dxt3t3t3，S2x2dx(1t)t2t3(1t)t2t3t2，S1S2t3t2，t(0,1)令yt3t2，则y4t22t，令y0得t0或t，t(0,1)，当0t时，y0，当t0，当t时，y取最小值，即当t时，S1S2取到最小值，最小值为.1如图，D是边长为4的正方形区域，E是区域D内函数yx2图象下方的点构成的区域，向区域D中随机投一点，则该点落入区域E中的概率为()A. B. C. D.答案C解析阴影部分面积S2x2dx2x3|，又正方形面积S4216，所求概率P.2设asinxdx，则二项式(a)6展开式的常数项是()A
9、160 B20C20 D160答案D解析asinxdxcosx|2，Tr1C(2)6rr(1)r26rCx3r，Tr1为常数项，3r0，r3，(1)323C160，故选D.3在函数y|x|(x1,1)的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴，直线x1及xt围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为()答案B解析当t0时，S1xdxx2|t2；当t0时，Sxdxx2|t2，故选B.4(2011龙岩质检)已知函数f(x)sin5x1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f(x)dx的值，结果是()A. BC1 D0答案B解析 f(x)dxsin5xdx1dx，
10、由于函数ysin5x是奇函数，所以sin5xdx0，而1dxx|，故选B.5设点P在曲线yx2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线yx2及直线x2所围成的面积分别记作S1、S2.如图所示，当S1S2时，点P的坐标是()A. B.C. D.答案A解析设P(t，t2)(0t2)，则直线OP：ytx，S1(txx2)dx；S2(x2tx)dx2t，若S1S2，则t，P.6(2011潍坊二模)曲线ysinx、ycosx与直线x0、x所围成的平面区域的面积为()A (sinxcosx)dx B2 (sinxcosx)dxC (cosxsinx)dx D2 (cosxsinx)dx答案D解析在同一坐标系中作出函数ysinx(0x)与ycosx(0x)的图象，可以发现两图象交于点P(，)，两图象与直线x0，x所围成的平面区域关于直线x对称，在0，)上，cosxsinx，由x0，ycosx、ysinx在0，上围成的平面区域面积为 (cosxsinx)dx，故选D.11
