1、解三角形 探考情 悟真题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 1.正弦定理 与余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 2019 课标,17,12 分 正弦定理、余弦定理 三角恒等变换 2018 课标,6,5 分 余弦定理 二倍角公式 2.解三角形 及其综合 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 2017 课标,17,12 分 余弦定理及三角 形面积公式 二倍角公式和同角 三角函数的平方关系 2017 课标,17,12 分 正弦定理、余弦定理 和三角形面积公式 两角和的余弦公式 201
2、8 课标,9,5 分 余弦定理和三角 形面积公式 特殊角的函数值 2016 课标,17,12 分 正弦、余弦定理和 三角形面积公式 两角和的正弦公式 分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.本节内容是全国卷的必考内容,题型为一个小题或一个大题,难度中等、分值为 5 分或 12 分.破考点 练考向【考点集训】考点一 正弦定理与余弦定理 1.(2018 广东百校联盟联考,6)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b
3、,c,若 sinA=3sinB,c=5,且 cosC=56,则a=()A.22 B.3 C.32 D.4 答案 B 2.(2020 届广东惠州第一次调研,14)在ABC 中,B=4,AB=2,BC=3,则 sinA=.答案 31010 3.(2018 广东茂名二模,14)已知 a,b,c 分别是ABC 内角 A,B,C 的对边,a=4,b=5,c=6,则sin(+)sin2=.答案 1 考点二 解三角形及其综合应用 1.(2018 福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若+sin+sin+sin=233,A=3,b=1,则ABC
4、的面积为()A.32 B.34 C.12 D.14 答案 B 2.(2019 山西实验中学 4 月月考,10)设锐角ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c=1,A=2C,则ABC周长的取值范围为()A.(0,2+2)B.(0,3+3)C.(2+2,3+3)D.(2+2,3+3 答案 C 3.(2020 届安徽合肥调研,16)在ABC 中,A=2B,AB=73,BC=4,CD 平分ACB 交 AB 于点 D,则线段 AD 的长为 .答案 1 炼技法 提能力【方法集训】方法 1 利用正弦、余弦定理解三角形 1.(2019 广东七校第二次联考,11)已知ABC 的内角 A,
5、B,C 的对边分别是 a,b,c,且sin2A+sin2B-sin2C=sinsincos+cos,若 a+b=4,则 c 的取值范围为()A.(0,4)B.2,4)C.1,4)D.(2,4 答案 B 2.(2019 河北唐山一模,7)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2,b=3,c=4,设 AB 边上的高为 h,则h=()A.152 B.112 C.3154 D.3158 答案 D 3.(2018 湖南永州二模,15)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sinA=2sinB,且 a+b=3c,则角 C 的大小为 .答案 3 方法 2 利用正
6、弦、余弦定理判断三角形的形状 1.(2018 江西南城一中期中,6)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若tan-tantan+tan=-,则这个三角形必含有()A.90的内角 B.60的内角 C.45的内角 D.30的内角 答案 B 2.(2019 山西太原五中月考,8)在ABC 中,已知 2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin22+12,则ABC 为()A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 D 方法 3 与面积、范围有关的问题 1.(2019 河南郑州一模,5)在ABC 中,三边长分别为 a,a+2,a+4,最小
7、角的余弦值为1314,则这个三角形的面积为()A.1534 B.154 C.2134 D.3534 答案 A 2.(2018 吉林长春一模,15)在ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(12 b-sin)cosA=sinAcosC,且a=23,则ABC 面积的最大值为 .答案 33【五年高考】A 组 统一命题课标卷题组 考点一 正弦定理与余弦定理 1.(2018 课标,6,5 分)在ABC 中,cos2=55,BC=1,AC=5,则 AB=()A.42 B.30 C.29 D.25 答案 A 2.(2016 课标,13,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为
8、 a,b,c,若 cosA=45,cosC=513,a=1,则 b=.答案 2113 3.(2019 课标,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求 A;(2)若2a+b=2c,求 sinC.解析 本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得 sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc.由余弦定理得 cosA=2+2-22=12.因为 0A180,所以 A=6
9、0.(2)由(1)知 B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32 cosC+12sinC=2sinC,可得 cos(C+60)=-22.由于 0C120,所以 sin(C+60)=22,故 sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角 A 的余弦值,进而得出角 A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角 C 的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出 sinC.4.(2018 课标,17,12
10、 分)在平面四边形 ABCD 中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求 cosADB;(2)若 DC=22,求 BC.解析(1)在ABD 中,由正弦定理得sin=sin.由题设知,5sin45=2sin,所以 sinADB=25.由题设知,ADB90,所以 cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD 中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以 BC=5.考点二 解三角形及其综合应用 1.(2018 课标,9,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b
11、,c.若ABC 的面积为2+2-24,则 C=()A.2 B.3 C.4 D.6 答案 C 2.(2019 课标,15,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=6,a=2c,B=3,则ABC 的面积为 .答案 63 3.(2015 课标,16,5 分)在平面四边形 ABCD 中,A=B=C=75,BC=2,则 AB 的取值范围是 .答案(6-2,6+2)4.(2019 课标,18,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin+2=bsinA.(1)求 B;(2)若ABC 为锐角三角形,且 c=1,求ABC 面积的取值范围.解析 本
12、题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得 sinAsin+2=sinBsinA.因为 sinA0,所以 sin+2=sinB.由 A+B+C=180,可得 sin+2=cos2,故 cos2=2sin2 cos2.因为 cos2 0,故 sin2=12,因此 B=60.(2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC=34 a.由正弦定理得 a=sinsin=sin(120-)sin=32tan+12.由于ABC 为锐角三角形,故 0A90,0C90.由(1)知
13、A+C=120,所以 30C90,故12a2,从而38 SABC0,由 cosB 求 sinB 仅有一正解.6.(2019 北京,15,13 分)在ABC 中,a=3,b-c=2,cosB=-12.(1)求 b,c 的值;(2)求 sin(B-C)的值.解析 本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养.(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 b2=32+c2-23c(-12).因为 b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c(-12).解得 c=5.所
14、以 b=7.(2)由 cosB=-12得 sinB=32.由正弦定理得 sinC=sinB=5314.在ABC 中,B 是钝角,所以C 为锐角.所以 cosC=1-sin2C=1114.所以 sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.7.(2019 江苏,15,14 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.(1)若 a=3c,b=2,cosB=23,求 c 的值;(2)若sin=cos2,求 sin(+2)的值.解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为 a=3c,b=2,cosB=23,由余
15、弦定理得 cosB=2+2-22,得23=(3)2+2-(2)223,即 c2=13.所以 c=33.(2)因为sin=cos2,由正弦定理sin=sin,得cos2=sin,所以 cosB=2sinB.从而 cos2B=(2sinB)2,即 cos2B=4(1-cos2B),故 cos2B=45.因为 sinB0,所以 cosB=2sinB0,从而 cosB=255.因此 sin(+2)=cosB=255.8.(2018 天津,15,13 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsinA=acos(-6).(1)求角 B 的大小;(2)设 a=2,c=3,求
16、b 和 sin(2A-B)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC 中,由正弦定理sin=sin,可得 bsinA=asinB,又由 bsinA=acos(-6),得 asinB=acos(-6),即 sinB=cos(-6),可得 tanB=3.又因为 B(0,),可得 B=3.(2)在ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B=3,有 b2=a2+c2-2accosB=7,故 b=7.由 bsinA=acos(-6),可得 sinA=37.又 ac,故 cosA=27
17、.因此 sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437 12-1732=3314.解题关键(1)利用正弦定理合理转化 bsinA=acos(-6)是求解第(1)问的关键;(2)由余弦定理及已知条件求得 sinA,利用 a0 是求解第(2)问的关键.失分警示(1)忽略 ac 这一条件,从而导致 cosA 有两个值,最终结果出现增解;(2)不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错.考点二 解三角形及其综合应用 1.(2018 江苏,13,5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的
18、边分别为 a,b,c,ABC=120,ABC 的平分线交 AC 于点 D,且 BD=1,则 4a+c 的最小值为 .答案 9 2.(2017 浙江,14,6 分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则BDC 的面积是 ,cosBDC=.答案 152;104 3.(2018 北京,15,13 分)在ABC 中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求A;(2)求 AC 边上的高.解析(1)在ABC 中,因为 cosB=-17,所以 sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得 sinA=sin=32.由题设知2 B,所以 0Ab,a=5
19、,c=6,sinB=35.(1)求 b 和 sinA 的值;(2)求 sin(2+4)的值.解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在ABC 中,因为 ab,故由 sinB=35,可得 cosB=45.由已知及余弦定理,有 b2=a2+c2-2accosB=13,所以 b=13.由正弦定理sin=sin,得 sinA=sin=31313.所以,b 的值为13,sinA 的值为31313.(2)由(1)及 a0,则 B(0,2).又 A(0,),故-2 A-B.所以,B=-(A-B)或 B=A-
20、B,因此 A=(舍去)或 A=2B,所以,A=2B.(2)由 S=24 得12absinC=24,故有 sinBsinC=12sin2B=sinBcosB,因 sinB0,得 sinC=cosB.又 B(0,2),C(0,),所以 C=2 B.当 B+C=2 时,A=2;当 C-B=2 时,A=4.综上,A=2 或 A=4.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.9.(2015 安徽,16,12 分)在ABC 中,A=34,AB=6,AC=32,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长.解析 设ABC 的内角 A,B,C 所对边的长
21、分别是 a,b,c,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以 a=310.又由正弦定理得 sinB=sin=3310=1010,由题设知 0B4,所以 cosB=1-sin2B=1-110=31010.在ABD 中,由正弦定理得 AD=sinsin(-2)=6sin2sincos=3cos=10.考点二 解三角形及其综合应用 1.(2014 课标,16,5 分)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC 面积的最大值为
22、.答案 3 2.(2016 课标,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求 C;(2)若 c=7,ABC 的面积为332,求ABC 的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2 分)2cosCsin(A+B)=sinC.因为 A+B+C=,故 2cosCsinC=sinC.(4 分)可得 cosC=12,又 C(0,),所以 C=3.(6 分)(2)由已知,得12absinC=332.又 C=3,所以 ab=6.(8 分)由已知及余弦定理得,a2+b2
23、-2abcosC=7.故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.(10 分)所以ABC 的周长为 5+7.(12 分)3.(2017 北京,15,13 分)在ABC 中,A=60,c=37a.(1)求 sinC 的值;(2)若 a=7,求ABC 的面积.解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC 中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得 sinC=sin=3732=3314.(2)因为 a=7,所以 c=377=3.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 得 72=b2+32-2b312,解得 b=8 或 b=-5(舍).所以ABC 的面
24、积 S=12bcsinA=128332=63.解后反思 根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.4.(2016 山东,16,12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 2(tanA+tanB)=tancos+tancos.(1)证明:a+b=2c;(2)求 cosC 的最小值.解析(1)证明:由题意知 2(sincos+sincos)=sincoscos+sincoscos,化简得 2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即 2sin(A+B)=sinA+sinB.因为 A+B+C=,所以 sin(A+B)=s
25、in(-C)=sinC.从而 sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得 a+b=2c.(2)由(1)知 c=+2,所以 cosC=2+2-22=2+2-(+2)22=38(+)-1412,当且仅当 a=b 时,等号成立.故 cosC 的最小值为12.5.(2016 北京,15,13 分)在ABC 中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B 的大小;(2)求2cosA+cosC 的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得 cosB=2+2-22=2ac2=22.又因为 0B,所以B=4.(6 分)(2)由(1)知A+C=34.2cosA+cosC=2cosA+cos(34-A)=2cosA-22
26、cosA+22 sinA=22 cosA+22 sinA=cos(-4).(11 分)因为 0A34,所以当A=4 时,2cosA+cosC 取得最大值 1.(13 分)6.(2015 课标,17,12 分)ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分BAC,ABD 面积是ADC 面积的 2 倍.(1)求sinsin;(2)若 AD=1,DC=22,求 BD 和 AC 的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为 SABD=2SADC,BAD=CAD,所以 AB=2AC.由正弦定理可得sinsin=12.(2)因为 SABDSADC=BDDC,所
27、以 BD=2.在ABD 和ADC 中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.+2得 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1.7.(2015 陕西,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a,3b)与 n=(cosA,sinB)平行.(1)求 A;(2)若 a=7,b=2,求ABC 的面积.解析(1)因为 mn,所以 asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得 sinAsinB-3sinBcosA=0,又 sinB0,从而 ta
28、nA=3,由于 0A0,所以 c=3.故ABC 的面积为12bcsinA=332.解法二:由正弦定理,得 7sin3=2sin,从而 sinB=217.又由 ab,知 AB,所以 cosB=277.因为 A+B+C=,故 sinC=sin(A+B)=sin(+3)=sinBcos3+cosBsin3=32114.所以ABC 的面积为12absinC=332.8.(2015 湖南,17,12 分)设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA,且 B 为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求 sinA+sinC 的取值范围.解析(1)证明:由 a=btanA 及正弦定理,
29、得sincos=sinsin,所以 sinB=cosA,即 sinB=sin(2+A).又 B 为钝角,因此2+A(2,),故 B=2+A,即 B-A=2.(2)由(1)知,C=-(A+B)=-(2+2)=2-2A0,所以 A(0,4).于是 sinA+sinC=sinA+sin(2-2A)=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2(sin-14)2+98.因为 0A4,所以 0sinA22,因此22 c,则=()A.32 B.2 C.3 D.52 答案 B 3.(2020 届四川成都毕业班摸底考试,7)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c.若向量 m=(a,
30、-cosA),n=(cosC,2b-c),且 mn=0,则角 A 的大小为()A.6 B.4 C.3 D.2 答案 B 4.(2019 山西 3 月质检,9)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=1,a(2sinB-3cosC)=3ccosA,点 G是ABC 的重心,且 AG=133,则ABC 的面积为()A.3 B.32 C.3或 23 D.334 或3 答案 D 5.(2019 河南六市 3 月联考,10)在ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若2-=coscos,b=4,则ABC 的面积的最大值为()A.43 B.23 C.33 D.3 答案 A
31、6.(2020 届湖北部分重点中学新起点考试,11)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且cos+cos=sin,若 b2+c2-a2=85bc,则 tanB 的值为()A.-13 B.13 C.-3 D.3 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)7.(2019 安徽合肥二模,15)在锐角ABC 中,BC=2,sinB+sinC=2sinA,则中线 AD 的长的取值范围是 .答案 3,132)8.(2018 河北衡水中学、河南顶级名校 3 月联考,15)已知在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,cosA=55,cosB=1010,c=2,则
32、 a=.答案 455 9.(2020 届百校联盟 10 月尖子生联考,16)益古演段是我国古代数学家李冶(1192 年1279 年)的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息,求圆的半径、正方形的边长和周长等.其中有这样一个问题:如图,已知A=60,点 B、C 分别在A 的两个边上移动,且保持 B、C 两点间的距离为 23,则点 B、C 在移动过程中,线段 BC 的中点 D 到点 A 的最大距离为 .答案 3 三、解答题(共 60 分)10.(2020 届河北石家庄重点高中毕业班摸底考试,17)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 bcos A+22 a=c,D 是
33、BC 边上的点.(1)求角 B;(2)若 AC=7,AD=5,DC=3,求 AB 的长.解析(1)由 bcosA+22 a=c,得 sinBcosA+22 sinA=sinC,sinBcosA+22 sinA=sin(A+B),sinBcosA+22 sinA=sinAcosB+cosAsinB,22 sinA=sinAcosB,sinA0,cosB=22,B=4.(2)在ADC 中,AC=7,AD=5,DC=3,cosADC=2+D2-A22=52+32-72253=-12,ADC=23,在ABD 中,AD=5,B=4,ADB=3,由sin=sin,得 AB=sinsin=5sin3sin4
34、=53222=562.思路分析(1)利用正弦定理进行边角互化,再利用三角形内角和定理,将角 C 用角 A,B 表示,达到减少变量的目的,从而求得 B 的大小;(2)利用余弦定理在ADC 中求出 cosADC,进而求出ADB 的大小,再在ABD 中利用正弦定理求出 AB 的长.11.(2020 届广东惠州一调,17)已知ABC 的内角 A,B,C 满足sin-sin+sinsin=sinsin+sin-sin.(1)求角 A;(2)若ABC 的外接圆半径为 1,求ABC 的面积 S 的最大值.解析(1)记ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则由正弦定理可得-+=+-,化简得 b
35、2+c2-a2=bc,由余弦定理得 cosA=2+2-22,cosA=2=12,又 0A,A=3.(2)解法一:记ABC 外接圆的半径为 R,由正弦定理得sin=2R,得 a=2RsinA=2sin3=3,由余弦定理得 3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即 bc3(当且仅当 b=c 时取等号),故 S=12bcsinA12332=334(当且仅当 b=c 时取等号).即ABC 的面积 S 的最大值为334.解法二:记ABC 外接圆的半径为 R,由正弦定理得sin=sin=2R=2,得 b=2sinB,c=2sinC,S=12bcsinA=12(2sinB)(2sinC)sin3=3sin
36、BsinC.A+B+C=,sinB=sin(A+C)=sin(+3)=12sinC+32 cosC,S=32sinCcosC+32 sin2C=34sin2C+34(1-cos2C)=32(sin2 32-cos2 12)+34 =32 sin(2-6)+34.0C23,当 2C-6=2,即 C=3 时,S 取得最大值,ABC 的面积 S 的最大值为334.方法总结 已知边与对角,求三角形面积的最大值常用两种方法:解法一:利用余弦定理结合不等式;解法二:利用正弦定理化边为角,由三角函数恒等变换求解.12.(2020 届安徽合肥八校一联,17)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b
37、,c,且 cos2C-cos2B=sin2A-sinAsinC.(1)求角 B 的值;(2)若ABC 的面积为 33,b=13,求 a+c 的值.解析(1)由 cos2C-cos2B=sin2A-sinAsinC,得 sin2B-sin2C=sin2A-sinAsinC,由正弦定理,得 b2-c2=a2-ac,即 a2+c2-b2=ac,cosB=2+2-22=2=12,又 0B,B=3.(2)由(1)知 B=3,且 b2=a2+c2-ac,又 S=12acsinB=33,ac=12.又 b=13,13=(a+c)2-2ac-ac=(a+c)2-312,解得 a+c=7.13.(2018 河南
38、顶级名校联考,17)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a2+c2+2ac=b2,5sinA+cosB=0.(1)求 cosC;(2)若ABC 的面积 S=52,求 b.解析(1)由 a2+c2+2ac=b2,得 a2+c2-b2=-2ac,cosB=2+2-22=-2ac2=-22.0B,B=34.又5sinA+cosB=0,sinA=-55 cosB=-55(-22)=1010,又 0A4,cosA=1-sin2A=1-(1010)2=31010.cosC=cos(4-A)=22 cosA+22 sinA=22 31010+22 1010=255.(2)由(1)可得
39、 sinC=1-cos2C=1-(255)2=55.由 S=12acsinB 及题设条件,得12acsin34=52,ac=52.由sin=sin=sin,得1010=22=55,b2=522 ac=522 52=25,b=5.14.(2020 届山东夏季高考模拟,18)在ABC 中,A=90,点 D 在 BC 边上.在平面 ABC 内,过 D 作 DFBC 且DF=AC.(1)若 D 为 BC 的中点,且CDF 的面积等于ABC 的面积,求ABC;(2)若ABC=45,且 BD=3CD,求 cosCFB.解析(1)因为 CD=BD,所以 CD=12BC.由题设知 DF=AC,12CDDF=12ABAC,因此 CD=AB.所以 AB=12BC,因此ABC=60.(2)不妨设 AB=1,由题设知 BC=2.由 BD=3CD 得 BD=324,CD=24.由勾股定理得 CF=324,BF=344.由余弦定理得 cosCFB=98+178-22324 344=51751.