1、上海市南洋模范中学2019届高三数学三模考试试题(含解析)一、填空题1.若集合,则_【答案】【解析】【分析】分别求出集合的的范围,求交集即可。【详解】求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解:Ax|3x+10x|x,B|x1|2x|2x12x|1x3,则ABx|x3,故答案为:(,3)【点睛】本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件是解决本题的关键,属于简单题目。2.若复数z满足,其中i为虚数单位,则_【答案】【解析】【分析】先求出,则。【详解】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,则可求【解答】解:由i,得,故答案为:1i【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查
2、共轭复数的概念,是基础题3.若函数的反函数为,则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】先求出,即求解即可。【详解】,有,则,必有10,2(1)1,解得1故答案为:【点睛】本题考查了反函数的求法、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题4.试写出的展开式中系数最大的项_【答案】【解析】【分析】Tr+1(1)rx72r,r必须为偶数,分别令r0,2,4,6,经过比较即可得出【详解】,r必须偶数,分别令r0,2,4,6,其系数分别为:1, ,经过比较可得:r4时满足条件, 故答案为:【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题5.若最小值为a,最大值为b,则_
3、【答案】【解析】【分析】先求函数定义,求出函数的最大值a和最小值b,代入求极限。【详解】y4,定义域为1,3当x1时,y取最小值为2,当x3或1时,y取最大值为4,故a2,b4;故答案为:【点睛】本题考查求函数的定义域,根据定义域求函数的最值及求极限,属于中档题6.已知平面上三点A、B、C满足,则的值等于_【答案】【解析】分析】由三边的平方和的关系,可得ABC为直角三角形,由,两边平方结合向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值【详解】由|,|,|2,可得:即有ABC为直角三角形,由两边平方可得,即有(3+5+8)8故答案为:8【点睛】本题考查向量的数量积的性质:向量的平方即为模的平方,注意
4、平方法的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题7.设P是曲线为参数)上的一动点,为坐标原点,M为线段的中点,则点M的轨迹的普通方程为_【答案】【解析】【分析】由sec2tan21,可得曲线的方程为2x2y21,设P(x0,y0),M(x,y),运用中点坐标公式,代入曲线方程,化简整理即可得到所求轨迹方程【详解】曲线(为参数),即有,由sec2tan21,可得曲线的方程为2x2y21,设P(x0,y0),M(x,y),可得,代入曲线方程,可得2x02y021,即为2(2x)2(2y)21,即为8x24y21故答案为:8x24y21【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法,注意运用代入法和中点坐标公
5、式,考查参数方程和普通方程的互化,注意运用同角的平方关系,考查运算能力,属于中档题8.在等差数列中,首项,公差,若某学生对其中连续10项进行求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下9项的和为185,则此连续10项的和为 【答案】200【解析】试题分析:等差数列中的连续10项为,遗漏的项为且则,化简得,所以,则连续10项的和为.考点:等差数列.9.从集合中任取两个数,欲使取到的一个数大于,另一个数小于(其中)的概率是,则_.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种,再求出取到的一个数大于,另一个数小于的基本事件有种,根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中
6、任取两个数的基本事件有种,取到的一个数大于,另一个数小于,比小的数有个,比大的数有个,故一共有个基本事件,由题意可得,即,整理得,解得或,故答案是:4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题,涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解,古典概型概率公式,属于简单题目.10.已知数列的通项公式为,则这个数列的前n项和_【答案】【解析】【分析】分n为奇数、偶数两种情况讨论,利用分组求和法计算即得结论【详解】当n为偶数时,Sn(1+2)+(3+4)+(n+1+n)+(2+22+2n)2n+1+2;当n为奇数时,Sn(1+2)+(3+4)+(n+2+n1)n+(2+22+2n)n+2n+1;
7、综上所述,Sn【点睛】本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,考查分组求和法,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题11.已知函数,数列是公比大于0的等比数列,且,则_.【答案】【解析】【分析】由于是等比数列,所以也是等比数列.根据题目所给条件列方程,解方程求得的值.【详解】设数列的公比为,则是首项为,公比为的等比数列,由得,即,由,得,联立解得.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质,考查等比数列的前项和公式,考查运算求解能力,属于中档题.12.定义在R上的奇函数,当时, 则函数的所有零点之和为_【答案】【解析】【分析】函数F(x)f(x)a(0a1)的零点转化为:在同一坐
8、标系内yf(x),ya的图象交点的横坐标;作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,根据奇函数f(x)在x0时的解析式,作出函数的图象,结合图象及其对称性,求出答案【详解】当x0时,f(x)即x0,1)时,f(x)(x+1)(1,0;x1,3时,f(x)x21,1;x(3,+)时,f(x)4x(,1);画出x0时f(x)的图象,再利用奇函数的对称性,画出x0时f(x)的图象,如图所示;则直线ya,与yf(x)的图象有5个交点,则方程f(x)a0共有五个实根,最左边两根之和为6,最右边两根之和为6,x(1,0)时,x(0,1),f(x)(x+1),又f(x)f(x),f(x)(
9、x+1)(1x)1log2(1x),中间的一个根满足log2(1x)a,即1x2a,解得x12a,所有根的和为12a故答案为:12a【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题,也考查了利用函数零点与方程的应用问题,是综合性题目二、选择题13.为非零向量,“函数为偶函数”是“”的 ( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析:因为,所以若为偶数,则,即.若,则有,所以,为偶函数考点:1.充分必要条件的判断;2.平面年向量的数量积.【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法:充分不必要
10、条件:如果,且,则说p是q的充分不必要条件;必要不充分条件:如果,且,则说p是q的必要不充分条件;既不充分也不必要条件:如果,且,则说p是q的既不充分也不必要条件.14.若表示两条直线,表示平面,下列命题中真命题为()A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】【分析】对4个选项分别进行判断,即可得出结论【详解】:选项A中,由a,ab,则b可能在平面内,故该命题为假命题;选项B中,由a,ab,则b或b,故该命题为假命题;选项C中,由线面垂直的判定定理可知,该命题为真命题;选项D中,由a,b可得到a,b相交或平行,故该命题是假命题,故选:C【点睛】本题考查的是线面平行的判定
11、与性质,考查学生分析解决问题的能力,掌握线面平行的判定与性质是关键15.抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,点是抛物线的准线与坐标轴的交点,则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知,抛物线的准线方程为x=1,A(1,0),过P作PN垂直直线x=1于N,由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA,当PA是抛物线的切线时,有最小值,则APN最大,即PAF最大,就是直线PA的斜率最大,设在PA的方程为:y=k(x+1),所以,解得:k2x2+(2k24)x+k2=0,所以=(2k24)24k4=0,解得k=1,所以NPA=45,=cosNPA=故选B点睛:通过抛物线的定义
12、,转化PF=PN,要使有最小值,只需APN最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值16.设、是关于x的方程的两个不相等的实数根,那么过两点,的直线与圆的位置关系是( )A. 相离.B. 相切.C. 相交.D. 随m的变化而变化.【答案】D【解析】直线AB的方程为.即,所以直线AB的方程为,因为,所以,所以,所以直线AB与圆可能相交,也可能相切,也可能相离.三、解答题17.如图,长方体中,.(1)求四棱锥的体积;(2)求异面直线与所成角的大小【答案】(1)4;(2).【解析】【分析】(1)四棱锥A1ABCD的体积,由此能求出结果(2)由DD1CC1,知A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(
13、或所成角的补角),由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小【详解】(1)长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA13,四棱锥A1ABCD的体积:4(2)DD1CC1,A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(或所成角补角),tanA1CC1,异面直线A1C与DD1所成角的大小为;【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法,考查异面直线所成角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注空间思维能力的培养18.已知函数(1)若不等式的解集为,求a的值;(2)在(1)的条件下,若存在,使,求t的取值范围【答案】(1)2;(2).【解析】【分析】(1)求得不等式f(x)6的解集为a3x3,再根据不等式
14、f(x)6的解集为(1,3),可得a31,由此求得a的范围;(2)令g(x)f(x)+f(x)|2x2|+|2x+2|+4,求出g(x)的最小值,可得t的范围【详解】(1)函数f(x)|2xa|+a,不等式f(x)6的解集为(1,3),|2xa|6a 的解集为(1,3),由|2xa|6a,可得a62x+a6a,求得a3x3,故有a31,a2(2)在(1)的条件下,f(x)|2x2|+2,令g(x)f(x)+f(x)|2x2|+|2x+2|+4故g(x)的最小值为8,故使f(x)tf(x)有解的实数t的范围为8,+)【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,分段函数的应用,求函数的最小值,函数的能
15、成立问题,属于中档题19.某景区欲建两条圆形观景步道(宽度忽略不计),如图所示,已知,(单位:米),要求圆M与分别相切于点B,D,圆与分别相切于点C,D(1)若,求圆的半径;(结果精确到0.1米)(2)若观景步道的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元,则当多大时,总造价最低?最低总造价是多少?(结果分别精确到0.1和0.1千元)【答案】(1)34.6米,16.1米;(2)263.8千元【解析】【分析】(1)利用切线的性质即可得出圆的半径;(2)设BAD2,则总造价y0.8260tan+0.9260tan(45),化简,令1+tanx换元,利用基本不等式得出最值【详解】(1)连结M1M2,A
16、M1,AM2,圆M1与AB,AD相切于B,D,圆M2与AC,AD分别相切于点C,D,M1,M2AD,M1ADBAD,M2AD,M1BABtanM1AB602034.6(米),tan,tan2, 同理可得:M2D60tan60(2)16.1(米)(2)设BAD2(0),由(1)可知圆M1的半径为60tan,圆M2的半径为60tan(45),设观景步道总造价为y千元,则y0.8260tan+0.9260tan(45)96tan+108,设1+tanx,则tanx1,且1x2y96(x1)+108()12(8x+17)84263.8,当且仅当8x即x时取等号,当x时,tan,26.6,253.2当B
17、AD为53.2时,观景步道造价最低,最低造价为263.8千元【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查基本不等式的运用,属于中档题20.已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线,切点分别为不在坐标轴上),若直线在x轴,y轴上的截距分别为,证明:为定值;(3)若是椭圆上不同两点,轴,圆E过,且椭圆上任意一点都不在圆E内,则称圆E为该椭圆的一个内切圆,试问:椭圆是否存在过焦点F的内切圆?若存在,求出圆心E的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1);(2)证明见解析;(3).【解析】【分析】(1)由焦点坐标确定出c的值,根据椭圆的
18、性质列出a与b的方程,再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程,联立求出a与b的值,确定出椭圆方程即可(2)由题意:确定出C1的方程,设点P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),根据M,N不在坐标轴上,得到直线PM与直线OM斜率乘积为1,确定出直线PM的方程,同理可得直线PN的方程,进而确定出直线MN方程,求出直线MN与x轴,y轴截距m与n,即可确定出所求式子的值为定值(3)依题意可得符合要求的圆E,即为过点F,P1,P2的三角形的外接圆所以圆心在x轴上根据题意写出圆E的方程由于圆的存在必须要符合,椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|,结合图形可得圆心E在线段P1P2上,
19、半径最小又由于点F已知,即可求得结论【详解】(1)椭圆C:的右焦点为F(1,0),且点P(1,)在椭圆C上;,解得a2,b,椭圆C的标准方程为(2)由题意:C1:,设点P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),M,N不在坐标轴上,kPM,直线PM的方程为yy2(xx2),化简得:x2x+y2y,同理可得直线PN的方程为x3x+y3y,把P点的坐标代入、得,直线MN的方程为x1x+y1y,令y0,得m,令x0得n,x1,y1,又点P在椭圆C1上,()2+3()24,则为定值 (3)由椭圆的对称性,可以设P1(m,n),P2(m,n),点E在x轴上,设点E(t,0),则圆E的方程为:(
20、xt)2+y2(mt)2+n2,由内切圆定义知道,椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|,设点M(x,y)是椭圆C上任意一点,则|ME|2(xt)2+y2,当xm时,|ME|2最小,m,又圆E过点F,()2(mt)2+n2,点P1在椭圆上,由,解得:t或t,又t时,m2,不合题意,综上:椭圆C存在符合条件的内切圆,点E的坐标是(,0)【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,韦达定理,以及椭圆的简单性质,熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键21.若是递增数列,数列满足:对任意,存在,使得,则称是的“分隔数列”.(1)设,证明:数列是的分隔数列;(2)设是的前n项和,判断数列
21、是否是数列的分隔数列,并说明理由;(3)设是的前n项和,若数列是的分隔数列,求实数的取值范围【答案】(1)证明见解析;(2)数列不是数列的分隔数列;(3).【解析】【分析】(1)由新定义,可得2nm+12n+2,求得m2n,即可得证;(2)运用等差数列的求和公式,结合新定义,即可判断;(3)讨论a0,q1或a0,0q1,结合新定义,加以恒成立思想,解不等式即可得到所求范围【详解】(1)cn是递增数列,数列an满足:对任意nN*,存在mN*,使得,cnamcn+1,cn2n,amm+1,2nm+12n+2,2n1m2n+1,m2n,对任意nN*,存在m2nN*,使得,则称an是cn的“分隔数列;
22、(2)cnn4,Sn是cn的前n项和,dnc3n2,dn(3n2)43n6,d13,Snn(n7),若数列Sn是数列dn的分隔数列,3n6m(m7)3n3,即6(n2)m(m7)6(n1),由于n4时,12m(m7)18,不存在自然数m,使得不等式成立,数列Sn不是数列dn的分隔数列;(3)设,Tn是cn的前n项和,数列Tn是cn的分隔数列,则cn为递增,当a0时,q1,aqn1aqn,即有qm1qn(q1),且qm1qn1(q1),当1q2时,数列最小项可以得到m不存在;q2时,由mn,qm1qn1(q1)成立;qn1qn(q1)成立,可得n2时,q21q2(q1),解得q2,对n3也成立;当a0时,0q1时,aqn1aqn,即有1qmqn(1q),且1qmqn1(1q),取mn+1,可得1qmqn(1q)成立,1qn+1qn1(1q)成立,可得q0恒成立,则a0,0q1不成立,综上可得,a0,q2【点睛】本题考查了新定义的理解和运用,等差数列、等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题- 20 -