1、三角函数的图象与性质 探考情 悟真题【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 三角函数 的图象 能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象;了解函数y=Asin(x+)的物理意义,能画出函数 y=Asin(x+)的图象,了解参数 A,对函数图象变化的影响 2016 课标全国,3,5分 由三角函数图象求解析式 三角函数的性质 2016 课标全国,6,5分 三角函数图象的平移变换 三角函数的周期 2016 课标全国,14,5分 三角函数图象的平移变换 三角函数 的性质 了解三角函数的周期性;理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值
2、问题等),理解正切函数的单调性 2018 课标全国,8,5分 三角函数的周期性、最值 三角恒等变换 2019 课标全国,15,5分 三角函数的最值 诱导公式,二倍角公式 2018 课标全国,10,5分 三角函数的单调性 辅助角公式 2018 课标全国,6,5分 三角函数的周期性 三角恒等变换 及同角关系式 2019 课标全国,8,5分 三角函数的周期性 函数的图象 分析解读 从近几年的高考试题来看,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,往往结合三角公式化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值问题,且常以客观题的形式考查,分值一般为 5 分或 12 分,难度不大,属于中档题目.
3、破考点 练考向【考点集训】考点一 三角函数的图象 1.(2016 四川,4,5 分)为了得到函数 y=sin(+3)的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点()A.向左平行移动3 个单位长 B.向右平行移动3 个单位长度 C.向上平行移动3 个单位长度 D.向下平行移动3 个单位长度 答案 A 2.(2019 湖北重点中学开学测试,7)已知曲线 C1:y=sinx,C2:y=sin(2+23),则下面结论正确的是()A.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移23 个单位长度,得到曲线 C2 B.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再
4、把得到的曲线向左平移3 个单位长度,得到曲线 C2 C.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移23 个单位长度,得到曲线 C2 D.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2 个单位长度,得到曲线 C2 答案 B 3.(2019 广西南宁二中高三摸底考试,7)函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,-0)的最小正周期为,则该函数的图象()A.关于点(3,0)对称 B.关于直线 x=3 对称 C.关于点(4,0)对称 D.关于直线 x=4 对称 答案 A 3.(2015 课标,8,5 分)函数 f(x)=cos(x
5、+)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为()A.(-14,k+34),kZ B.(2-14,2k+34),kZ C.(-14,k+34),kZ D.(2-14,2k+34),kZ 答案 D 4.(2020 届河南、河北两省重点中学摸底考试,15)已知函数 f(x)=2cos2x,将 f(x)的图象上所有的点向左平移4个单位长度得到 g(x)的图象,则函数 y=f(x)+g(x)的最小正周期是 ,最大值是 .答案;2+2 炼技法 提能力【方法集训】方法 1 由三角函数图象确定函数解析式的方法 1.(2020 届陕西合阳中学 9 月月考,4)函数 f(x)=Asin(x+)(0,0,|
6、0)个单位长度,得到的函数 g(x)是奇函数,则下列结论正确的是()A.t 的最小值为6,g(x)图象的对称中心为(2+12,0),kZ B.t 的最小值为6,g(x)图象的对称轴为 x=2+3,kZ C.t 的最小值为12,g(x)的单调增区间为(-4,k+4),kZ D.t 的最小值为12,g(x)的周期为 答案 D 3.(2019 河北邯郸摸底考试,17 节选)已知 f(x)=3cos2x+2sin(32+x)sin(-x),xR.求 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程.答案 f(x)=3cos2x+2sin(32+x)sin(-x)=3cos2x-2cosxsinx=3cos2x
7、-sin2x=-2sin(2-3),f(x)的最小正周期为.令 2x-3=k+2(kZ),得 x=2+512,kZ.f(x)的图象的对称轴方程为 x=2+512(kZ).方法 3 三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法 1.(2018 天津,6,5 分)将函数 y=sin(2+5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间-4,4 上单调递增 B.在区间-4,0上单调递减 C.在区间4,2 上单调递增 D.在区间2,上单调递减 答案 A 2.(2020 届河南重点中学摸底考试,5)已知 x(0,),则 f(x)=cos2x+sinx 的值域为()A.(0,98 B.0,1
8、)C.(0,1)D.0,98 答案 D 3.(2017 课标全国,13,5 分)函数 f(x)=2cosx+sinx 的最大值为 .答案 5 【五年高考】A 组 统一命题课标卷题组 考点一 三角函数的图象 1.(2016 课标全国,6,5 分)将函数 y=2sin(2+6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin(2+4)B.y=2sin(2+3)C.y=2sin(2-4)D.y=2sin(2-3)答案 D 2.(2016 课标全国,14,5 分)函数 y=sinx-3cosx 的图象可由函数 y=2sinx 的图象至少向右平移 个单位长度得到.答案 3 考点二 三
9、角函数的性质 1.(2019 课标全国,8,5 分)若 x1=4,x2=34 是函数 f(x)=sinx(0)两个相邻的极值点,则=()A.2 B.32 C.1 D.12 答案 A 2.(2018 课标全国,8,5 分)已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为,最大值为 3B.f(x)的最小正周期为,最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2,最大值为 3D.f(x)的最小正周期为 2,最大值为 4 答案 B 3.(2018 课标全国,10,5 分)若 f(x)=cosx-sinx 在0,a是减函数,则 a 的最大值是()A.4 B.2 C.34 D
10、.答案 C 4.(2018 课标全国,6,5 分)函数 f(x)=tan1+tan2x的最小正周期为()A.4 B.2 C.D.2 答案 C 5.(2016 课标全国,11,5 分)函数 f(x)=cos2x+6cos(2-x)的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 6.(2019 课标全国,15,5 分)函数 f(x)=sin(2+32)-3cosx 的最小值为 .答案-4 B 组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 三角函数的图象 1.(2019 天津,7,5 分)已知函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,|0),xR.若 f(x)在区间(,2)内没有零点,则
11、的取值范围是()A.(0,18 B.(0,1458,1)C.(0,58 D.(0,1814,58 答案 D 4.(2018 江苏,7,5 分)已知函数 y=sin(2x+)(-2 2)的图象关于直线 x=3 对称,则 的值是 .答案-6 5.(2019 浙江,18,14 分)设函数 f(x)=sinx,xR.(1)已知 0,2),函数 f(x+)是偶函数,求 的值;(2)求函数 y=(+12)2+(+4)2的值域.答案 本题主要考查三角函数及三角恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想.(1)因为 f(x+)=sin(x+)是偶函数,所
12、以,对任意实数 x,都有 sin(x+)=sin(-x+),即 sinxcos+cosxsin=-sinxcos+cosxsin,故 2sinxcos=0,所以 cos=0.又 0,2),因此=2 或32.(2)y=(+12)2+(+4)2=sin2(+12)+sin2(+4)=1-cos(2+6)2+1-cos(2+2)2=1-12(32 cos2-32 sin2)=1-32 cos(2+3).因此,函数的值域是1-32,1+32.6.(2018 北京,16,13 分)已知函数 f(x)=sin2x+3sinxcosx.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)若 f(x)在区间-3,m上的最大
13、值为32,求 m 的最小值.答案(1)f(x)=12-12cos2x+32 sin2x=sin(2-6)+12.所以 f(x)的最小正周期为 T=22=.(2)由(1)知 f(x)=sin(2-6)+12.由题意知-3 xm.所以-56 2x-6 2m-6.要使得 f(x)在-3,m上的最大值为32,即 sin(2-6)在-3,m上的最大值为 1.所以 2m-6 2,即 m3.所以 m 的最小值为3.C 组 教师专用题组 考点一 三角函数的图象 1.(2013 课标,16,5 分)函数 y=cos(2x+)(-0,|0,在函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图象的交点中,距离最短的两个
14、交点的距离为 23,则=.答案 2 8.(2014 课标,14,5 分)函数 f(x)=sin(x+)-2sincosx 的最大值为 .答案 1 9.(2017 江苏,16,14 分)已知向量 a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x0,.(1)若 ab,求 x 的值;(2)记 f(x)=ab,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.答案(1)因为 a=(cosx,sinx),b=(3,-3),ab,所以-3cosx=3sinx.若 cosx=0,则 sinx=0,与 sin2x+cos2x=1 矛盾,故 cosx0.于是 tanx=-33.又 x0,所以 x=56.(2)f
15、(x)=ab=(cosx,sinx)(3,-3)=3cosx-3sinx=23cos(+6).因为 x0,所以 x+6 6,76,从而-1cos(+6)32.于是,当 x+6=6,即 x=0 时,f(x)取到最大值,为 3;当 x+6=,即 x=56 时,f(x)取到最小值,为-23.10.(2017 北京,16,13 分)已知函数 f(x)=3cos(2-3)-2sinxcosx.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求证:当 x-4,4 时,f(x)-12.答案(1)f(x)=32 cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32 cos2x=sin(2+3).所以 f(x)的
16、最小正周期 T=22=.(2)证明:因为-4 x4,所以-6 2x+3 56.所以 sin(2+3)sin(-6)=-12.所以当 x-4,4 时,f(x)-12.11.(2017 浙江,18,14 分)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-23sinxcosx(xR).(1)求 f(23)的值;(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间.答案(1)由 sin23=32,cos23=-12,f(23)=(32)2-(-12)2-2332(-12),得 f(23)=2.(2)由 cos2x=cos2x-sin2x 与 sin2x=2sinxcosx 得 f(x)=-cos2x-3sin2
17、x=-2sin(2+6).所以 f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2+2k2x+6 32+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ.所以,f(x)的单调递增区间是6+k,23+k(kZ).12.(2016 北京,16,13 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x(0)的最小正周期为.(1)求 的值;(2)求 f(x)的单调递增区间.答案(1)因为 f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2+4),(3 分)所以 f(x)的最小正周期 T=22=.(4 分)依题意,=,解得=1.(6 分)(2)由(1)知 f(x)=2sin(2+4).因
18、为函数 y=sinx 的单调递增区间为2-2,2k+2(kZ),(8 分)所以 2k-2 2x+4 2k+2(kZ),解得 k-38 xk+8(kZ).(12 分)所以 f(x)的单调递增区间为-38,k+8(kZ).(13 分)13.(2015 安徽,16,12 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间0,2 上的最大值和最小值.答案(1)因为 f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=2sin(2+4)+1,所以函数 f(x)的最小正周期 T=22=.(2)由(
19、1)知,f(x)=2sin(2+4)+1.当 x0,2 时,2x+4 4,54,由正弦函数 y=sinx 在4,54 上的图象知,当 2x+4=2,即 x=8 时,f(x)取得最大值,最大值为2+1;当 2x+4=54,即 x=2 时,f(x)取得最小值,最小值为 0.综上,f(x)在0,2 上的最大值为2+1,最小值为 0.14.(2015 北京,15,13 分)已知函数 f(x)=sinx-23sin22.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间0,23 上的最小值.答案(1)因为 f(x)=sinx+3cosx-3=2sin(+3)-3,所以 f(x)的最小正周期为 2.
20、(2)因为 0 x23,所以3 x+3.当 x+3=,即 x=23 时,f(x)取得最小值.所以 f(x)在区间0,23 上的最小值为 f(23)=-3.15.(2015 重庆,18,13 分)已知函数 f(x)=12sin2x-3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最小值;(2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图象.当 x2,时,求 g(x)的值域.答案(1)f(x)=12sin2x-3cos2x=12sin2x-32(1+cos2x)=12sin2x-32 cos2x-32=sin(2-3)-32,因此 f(x)的最小正周期为
21、,最小值为-2+32.(2)由已知可得 g(x)=sin(-3)-32.当 x2,时,有 x-3 6,23,从而 sin(-3)12,1,那么 sin(-3)-32 1-32,2-32.故 g(x)在区间2,上的值域是1-32,2-32.16.(2015 福建,21,12 分)已知函数 f(x)=103sin2 cos2+10cos22.(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)将函数 f(x)的图象向右平移6 个单位长度,再向下平移 a(a0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为 2.(i)求函数 g(x)的解析式;(ii)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0,
22、使得 g(x0)0.答案(1)因为 f(x)=103sin2 cos2+10cos22 =53sinx+5cosx+5=10sin(+6)+5,所以函数 f(x)的最小正周期 T=2.(2)(i)将 f(x)的图象向右平移6 个单位长度后得到 y=10sinx+5 的图象,再向下平移 a(a0)个单位长度后得到g(x)=10sinx+5-a 的图象.又已知函数 g(x)的最大值为 2,所以 10+5-a=2,解得 a=13.所以 g(x)=10sinx-8.(ii)证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得 10sinx
23、0-80,即 sinx045.由4532 知,存在 0045.因为 y=sinx 的周期为 2,所以当 x(2k+0,2k+-0)(kZ)时,均有 sinx45.因为对任意的整数 k,(2k+-0)-(2k+0)=-203 1,所以对任意的正整数 k,都存在正整数 xk(2k+0,2k+-0),使得 sinxk45.亦即,存在无穷多个互不相同的正整数 x0,使得 g(x0)0.【三年模拟】时间:45 分钟 分值:60 分 一、选择题(每小题 5 分,共 45 分)1.(2020 届广西玉林高级中学 8 月月考,8)将函数 y=sin(2-6)的图象向左平移4 个单位长度,所得函数图象的一条对称
24、轴的方程为()A.x=3 B.x=6 C.x=12 D.x=-12 答案 C 2.(2018 河南中原名校第三次联考,5)将函数 y=sin(2x+)的图象沿 x 轴向左平移6 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 的一个可能取值为()A.3 B.6 C.0 D.4 答案 B 3.(2020 届河南新乡调研,8)已知 P(14,1),Q(54,-1)分别是函数 f(x)=cos(x+)(0,|2)的图象上相邻的最高点和最低点,则-=()A.-54 B.54 C.-34 D.34 答案 B 4.(2020 届湖北名师联盟 8 月调研,9)将函数 f(x)=2sin2x 的图象向左平移(0 0)的图
25、象向左平移4个单位得到函数 g(x)的图象,若函数 g(x)的图象关于直线 x=对称且在区间(-,)内单调递增,则 的值为()A.2 B.32 C.4 D.32 答案 A 9.(2020 届湖南长沙第一次联考,11)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移(0 0)在0,上恰有一个最大值点和两个零点,则 的取值范围是 .答案 53,136)三、解答题(共 10 分)11.(2020 届西南地区名校联盟 8 月联考,17)已知函数 f(x)=12sin2xcos+sin2xsin+12cos(2+)+12(-2 2),其图象过点(6,1).(1)求 f(x)的解析式,并求其图象的对称中心;(
26、2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,然后各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的 2 倍,得到 g(x)的图象,求函数 g(x)在0,2 上的最大值和最小值.答案(1)f(x)=12sin2xcos+sin2xsin-12sin+12=12sin2xcos+1-cos22sin-12sin+12=12sin2xcos-12cos2xsin+12=12sin(2x-)+12.f(x)的图象过点(6,1),12sin(3-)+12=1,即 sin(3-)=1,3-=2k+2(kZ),=-2k-6(kZ).-2 2,=-6.则 f(x)=12sin(2+6)+12,由 2x+6=k(kZ)得 x=2-12(kZ),故其图象的对称中心为(2-12,12),kZ.(2)将 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,所得图象对应的函数解析式为y=12sin(+6)+12.又将所得图象各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的 2 倍,得到 g(x)的图象,则 g(x)=sin(+6)+1.由 x0,2 得 x+6 6,23,当 x+6=2,即 x=3 时,g(x)取最大值 2;当 x+6=6,即 x=0 时,g(x)取最小值32.