1、肥东凯悦中学2021-2022学年度第一学期高二年级第一次自主检测数学试题卷测试时间：150分钟满分：150分一选择题（共60分）1.已知，向量，则点的坐标是（）A. B. C. D.2.若，则的值为（）A. B.5 C.7 D.363.下列命题中为真命题的是（）A.向量与的长度相等B.空间向量就是空间中的一条有向线段C.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆D.不相等的两个空间向量的模必不相等4.若点关于平面及轴对称的点的坐标分别是则与的和为（）A.7 B. C. D.15.已知两个向量，且，则的值为（）A.1 B.2 C.4 D.86.已知向量，且，则的值为（）A.
2、4B.3C.2D.17.在长方体中，（）A.B.C.D.8.已知，若共面，则等于（）A.B.9C.-3D.39.如图所示，空间四边形中，点在上，且为的中点，则的值分别为（）A.B.C.D.10.三个顶点的坐标分别为，则的形状为（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.正三角形D.直角三角形11.已知正方体为空间任意两点，若有，则点（）A.在平面内B.在平面内C.在平面内D.在平面内12.三棱锥中，底面为的中点，则点到面的距离等于（）A.B.C.D.二填空题（共20分）13.已知空间向量，若与垂直，则_.14.若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是_.15.已知为空间的一个基底，若，且，则的值为_.
3、16.正方体的棱长为1，以为原点，以正方体的三条棱所在的直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系.若点在正方体的侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列点的坐标：；中正确的是_.三解答题（共70分）17.（10分）已知向量.（1）计算和.（2）求.18.（12分）如图，在斜三棱柱中，向量，三个向量之间的夹角均为，点分别在上，且.（1）将向量用向量表示，并求；（2）将向量用表示.19.（12分）已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求实数的值；（3）若向量与共线，求实数的值.20.（12分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点.（1）求证；（2）求异面直线与所成角的余弦值.2
4、1.（12分）如图，直三校柱中，侧面为正方形，是的中点，是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.22.（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点.（1）求直线与平面所成角的余弦值；（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.肥东凯悦中学2021-2022学年度第一学期高二年级第一次自主检测数学答案一单选题题号123456789101112答案BBADCADACDCB1.B【详解】设点，向量，故选B2.B【详解】，故选B3.A【详解】对于项，空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示，但不是有向
5、线段，故项为假命题；对于项，将空间中所有的单位向量移到同一起点，它们的终点构成一个球面；对于项，互为相反向量的两个向量不相等，但是它们的模长相等.4.D【详解】点关于平面对称点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，所以，故选D5.C【详解】存在实数使得，解得，则.故选6.A【详解】由题可得，解得，故选A7.D【详解】如图所示，长方体中，.故选D.8.A【详解】由题意知解得.故选A9.C【详解】，所以，故选10.D【详解】由题得，则，因为，所以为直角三角形，故选D.11.C【详解】由于，因为，于是四点共面，故选C.12.B【详解】底面为的中点，面面面，在面中，作，则面，为所求.由，得，即，解得，故选
6、：B二填空题13.【详解】若与垂直，空间向量，得，故答案为.14.且【详解】空间向量和的夹角为锐角，则且与不共线，所以且.故答案为且.15.【详解】由题意，为三个不共面的向量，所以由空间向量基本定理可知必然存在惟一的有序实数对，使.又故答案为-116.【详解】如图：由题意可知，设，且，解得，故满足条件的为.故答案为.三解答题17.【详解】（1）因为向量，所以，所以；（2）由题意可得：，因为，所以.18.【详解】（1），因为，所以，所以.（2）因为，所以为的中点，所以.19.【详解】（1）.和的夹角的余弦值为.（2），向量与互相垂直，或；（3）向量与共线，存在实数，使得即或.20.【详解】解：设
7、，根据题意得（1）证明：易知.，即.（2）易知，又，即异面直线与所成角的余弦值为.21.【详解】（1）直三校柱中，侧面侧面为正方形，是的中点，是的中点.又，且面，面，面，平面平面，（2）如图所示，以为原点建立空间直角坐标系设，则，设平面的法向量为，则.又平面的法向量为，二面角的余弦值为.22.【详解】（1）在中，为的中点，所以，侧面底面，所以平面.又在直角梯形中，所以两两垂直.以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则，所以，又平面，所以直线与平面所成角的余弦值为.（2）由（1）知.假设存在满足题意的点，设，因为，所以，所以.又，设平面的法向量为，则所以取，平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为，所以，所以，所以或（舍去），所以.
