1、基础达标1(2014河北邢台一模)抛物线y24x上与焦点的距离等于5的点的横坐标是()A2 B3C4 D5解析：选C利用抛物线的定义可知，抛物线y24x上与焦点的距离等于5，则x15，所以点的横坐标为4.2已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x解析：选D因为双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x.3(2014河南郑州市质量预测)过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为135的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A4 B8C12 D16解析：选
2、D抛物线y28x的焦点F的坐标为(2，0)，直线AB的倾斜角为135，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|x1x2412416.4(2014福建省质量检查)设抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，如果APF为正三角形，那么|PF|等于()A4 B6C6 D12解析：选C设点P的坐标为(xP，yP)，则|PF|xP.过点P作x轴的垂线交x轴于点M，则PFMAPF60，所以|PF|2|MF|，即xP2，解得xP，所以|PF|6.5直线yx1截抛物线y22px所得弦长为2，此抛
3、物线方程为()Ay22x By26xCy22x或y26x D以上都不对解析：选C由得x2(22p)x10.设弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x22p2，x1x21.则2.解得p1或p3，故抛物线方程为y22x或y26x.6以抛物线x24y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是_解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2y24.答案：x2y247(2014福建厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点_解析：因为动圆的圆心在抛物线y24x上，且x1是抛物线y24x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定
4、过抛物线的焦点(1，0)答案：(1，0)8(2012高考安徽卷)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知，y2，A(2，2)，直线AF的方程为y2(x1)由解得或由图知，点B的坐标为，|BF|(1).答案：9抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双
5、曲线的左焦点，p2C设抛物线方程为y24cx，抛物线过点(，)，64c，c1，故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点(，)，1.又a2b2c21，1.a2或a29(舍)b2，故双曲线方程为4x21.10已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又F(1，0)，kFA，MNF
6、A，kMN.又FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立方程组，解得x，y，N的坐标为.能力提升1(2013高考课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4解析：选C设P(x0，y0)，则|PF|x04，x03，y4x04324，|y0|2.F(，0)，SPOF|OF|y0|22.2. 如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x解析：选C分别过点A，B作准线的垂线
7、，垂足分别为E，G，过点F作FHAE，垂足为H，设EC与x轴交于点M，如图所示由抛物线的定义，可知|BF|BG|，|AF|AE|.在RtBCG中，sinGCB，故GCBECA30.又CEAE，所以CAE60.在RtAFH中，cosFAH，即cos 60，解得|AH|.故|EH|AE|AH|3.因为AEEC，FHAE，所以四边形MFHE是矩形故|MF|EH|，而|MF|p，所以p.故抛物线的方程为y23x.3(2014河南开封模拟)已知抛物线yax2(a0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过抛物线上一点P(1，2)作PQl于Q，则抛物线的焦点坐标是_，梯形PQRF的面积是_解析：把P(1，2
8、)代入yax2，得a2，所以抛物线方程为x2y，故焦点F.又R，|FR|，|PQ|2，所以梯形的面积为1.答案：4(2013高考安徽卷)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_解析：法一：如图，以(0，a)为圆心，为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时，C存在联立yx2，x2(ya)2a有(ya)(ya1)0.即ya或ya1.故a10，即a1.法二：当C与原点重合时，ACB最小故若存在C使得ACB为直角，则AOB，即0，故a2a0，又a0，所以a1.答案：1，)5已知圆C过定点F，且与直线x相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y
9、k(x1)(kR)相交于A，B两点(1)求曲线E的方程；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解：(1)由题意，点C到定点F和直线x的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2x.(2)由方程组消去x后，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有y1y2，y1y21.设直线l与x轴交于点N，则N(1，0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|1 .SOAB， ，解得k.6(选做题)(华约自主招生试题)点A在直线ykx上，点B在ykx上，其中k0，|OA|OB|k21且A、B在y轴同侧(1)求AB中点M的轨迹C；(2)曲线C与抛物线x22py
10、(p0)相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y1kx1，y2kx2.由|OA|OB|k21得，k21，化简得x1x21.因为点M为线段AB的中点，所以x0，y0，所以xx1x21.故点M的轨迹方程为x21，点M的轨迹C是焦点为(，0)，实轴长为2的双曲线(2)证明：将x22py(p0)与x21联立，消去x得y22pk2yk20.因为曲线C与抛物线相切，所以4p2k44k20.又因为p、k0，所以pk1.结合解得yk，x，因此两切点分别在定直线x，x上，两切点为D(，k)，E(，k)由x22py得y，则y，于是抛物线在点D(，k)处的切线方程为y(x)k，即yx，在点E(，k)处的切线方程为y(x)k，即yx.