1、高考解答题专项三数列1.(2021山东滨州一模)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=2,b2=4,an=2log2bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列an中不在数列bn中的项按从小到大的顺序构成数列cn,记数列cn的前n项和为Sn,求S100.2.(2021广东汕头三模)已知数列an的前n项和为Sn,数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,若x表示不超过x的最大整数,如0.5=0,lg 499=2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=lgan,求数列bn的前2 021项的和.3.(2021四川成都七中高三月考)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a2=3,且S5
2、=4a3+5.(1)求an的通项公式;(2)若1a1a2+1a2a3+1anan+11),a1=1,数列bn满足bn+1-bn=an+1-,b1=1-1.(1)求数列bn的通项公式;(2)规定:x表示不超过x的最大整数,如-1.2=-2,2.1=2.若=2,cn=1bn+2n-2,记Tn=c1+c2+c3+cn(n2),求Tn2-2Tn+2Tn-1的值,并指出相应n的取值范围.答案：1.解(1)设等差数列an的公差为d,因为b2=4,所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2.所以an=2+(n-1)2=2n.又an=2log2bn,即2n=2log2bn,所以n=log2bn,所以
3、bn=2n.(2)由(1)得bn=2n=22n-1=a2n-1,即bn是数列an中的第2n-1项.设数列an的前n项和为Pn,数列bn的前n项和为Qn,因为b7=a26=a64,b8=a27=a128,所以数列cn的前100项是由数列an的前107项去掉数列bn的前7项后构成的,所以S100=P107-Q7=107(2+214)2-2-281-2=11302.2.解(1)数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,所以Snn=12+(n-1)14=n+14,得Sn=n2+n4,当n=1时,a1=S1=12,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n4-(n-1)2+n-14=n2,又a1=12
4、也适合上式,所以an=n2.(2)由(1)得bn=lgan=lgn2,当n=1时,-1lga10;当n=2,3,4,19时,0lgan1;当n=20,21,22,199时,1lgan2;当n=200,201,202,1999时,2lgan3;当n=2000,2001,2021时,3lgan4.故数列bn的前2021项和为lga1+lga2+lga3+lga2021=-1+018+1180+21800+322=3845.3.解(1)(方法1)设数列an的公差为d,则a2=a1+d=3,5a1+10d=4(a1+2d)+5,解得a1=1,d=2.故an的通项公式为an=2n-1.(方法2)S5=5
5、(a1+a5)2=5a3,又S5=4a3+5,则a3=5.公差为a3-a2=2,故an的通项公式为an=a2+(n-2)2=2n-1.(2)由(1)得1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,k=1n1akak+1=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+112,由题设不等式恒成立,有1m-112,解得11),则bn+1-bn=n-(1),当n2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(n-1-)+(n-2-)+(1-)+1-1=(n-1+n-2+1)-(n-1)+1-1=n-1-n+-1,又b1=1-
6、1符合上式,因此bn=n-1-n+-1.(2)由(1)知,当=2时,bn=2n-2n+1,则cn=1bn+2n-2=12n-10.当n=2时,T2=c1+c2=43,此时Tn2-2Tn+2Tn-1=103=3;当n=3时,T3=c1+c2+c3=3121,此时Tn2-2Tn+2Tn-1=1021+110+2=2.当n3时,TnT3,因为cn=12n-132n+1(n2),所以Tn1+3123+124+12n+1=1+3181-(12)n-11-12=1+341-12n-174,因此T3Tn74,即Tn3121,74,令x=Tn-1,则x1021,34,Tn2-2Tn+2Tn-1=Tn-1+1Tn-1=x+1x,利用对勾函数的单调性,得x+1x2512,A其中A=1021+110+2,从而Tn2-2Tn+2Tn-1=2.综上,当n=2时,Tn2-2Tn+2Tn-1=3;当n3时,Tn2-2Tn+2Tn-1=2.
