1、第3课时利用导数研究函数的零点1.已知函数f(x)=ex-ax-2(a1),(1)证明:函数y=f(x)在(-,0)上存在唯一零点;(2)若函数y=f(x)有两个不同零点x1,x2,且x1x2,当x1-x2最小时,求此时a的值.(1)证明f(x)=ex-a,x0,ex1,f(x)0,f(x)在(-,0)上是递减的.f(0)=-10,存在唯一x0-2a,0使得f(x0)=0,函数y=f(x)在(-,0)内存在唯一零点.(2)解由条件知ex1-ax1-2=0,ex2-ax2-2=0,a=ex1-2x1=ex2-2x2=ex1-ex2x1-x2,令t=x1-x20,a=ex2(et-1)t=ex2-
2、2x2,则有et-1t=ex2-2x2ex2,令g(t)=et-1t(t0),g(t)=(t-1)et+1t2,令h(t)=(t-1)et+1,h(t)=tet0,h(t)在(0,+)上是递增的,h(t)h(0)=0,g(t)在(0,+)上是递增的,要求t的最小值即求g(t)最小值,令v(x2)=ex2-2x2ex2,v(x2)=x2ex2-(x2+1)(ex2-2)x22ex2=2x2+2-ex2x22ex2,x20,m(x2)在(-,0)上是递增的,又m(0)=10,m(-1)=-e-10时,讨论函数g(x)=ex+(x2+2a)f(x)-m-3(mR)的零点个数.解:(1)当a=0时,f
3、(x)=1-2xx2,f(x)=2x-2x3,k=f12=-8,f12=0,故所求切线方程为y-0=-8x-12,即8x+y-4=0.(2)因为f(x)=1-2xx2+2a,所以f(x)=2x2-2x-4a(x2+2a)2.因为函数f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=0,即4-4a(1+2a)2=0,解得a=1,经检验,当a=1时,x=-1为函数f(x)的极大值点,符合题意,此时f(x)=1-2xx2+2,函数的定义域为R,f(x)=2(x+1)(x-2)(x2+2)2,由f(x)0,解得x2;由f(x)0,解得-1x0,解得xln2,由h(x)0,解得xln2,所以h(x)在(-,
4、ln2)上是递减的,在(ln2,+)上是递增的,所以h(x)min=h(ln2)=-2ln2,作出函数h(x)的图像,如图所示:由g(x)=0,即h(x)-m=0,所以m=h(x),由图像知:当m-2ln2时,有两个零点.3.已知函数f(x)=aex-x,a0.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1x2ae.(1)解当a=1时,f(x)=ex-x,定义域为(-,+),则f(x)=ex-1.当x(-,0)时,f(x)0,f(x)是递增的,所以f(x)的递减区间为(-,0),递增区间为(0,+).(2)证明x1,x2是f(x)的两个不同的零点,
5、等价于x1,x2是方程ex=xa的两个不同的根,也是方程xex=a的两个不同的根,a0,则x10,x20.要证x1x2ae,只需证x1ax2ae2,只需证ex1+x2e2,即证x1+x22.令h(x)=xex,则h(x)=1-xex,所以当x(0,1)时,h(x)0,h(x)是递增的,当x(1,+)时,h(x)0,h(x)是递减的.不妨设x1x2,则0x111,令(x)=h(x)-h(2-x)=xex-2-xe2-x,x0,则(x)=(1-x)e2-e2xex+2,所以当0x0,(x)是递增的,又因为(1)=0,所以当0x1时,(x)0,即h(x1)=h(x2)2-x1,即x1+x22.故原结
6、论正确,即x1x2ae.4.(2021四川成都二诊)已知函数f(x)=x+ax-(a-1)ln x-2,其中aR.(1)若f(x)存在唯一极值点,且极值为0,求a的值;(2)讨论f(x)在区间1,e2上的零点个数.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),由已知,可得f(x)=1-ax2-a-1x=(x+1)(x-a)x2(x0).若a0,则当x(0,+)时,f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)上是递增的,与f(x)存在极值点矛盾,若a0,则由f(x)=0得x=a,当x(0,a)时,f(x)0,f(x)在(0,a)内是递减的,在(a,+)上是递增的,f(a)=a+1-(a-1)lna-2=(a
7、-1)(1-lna)=0,a=1或a=e.(2)当a1时,f(x)0在1,e2上恒成立,f(x)在1,e2上是递增的.f(1)=a-10,f(e2)=e2+ae2-2a,当a0时,f(e2)=e2+ae2-2a=e2+a1e2-20;当02a-2a=2a(1-a)0.f(e2)0.f(x)在1,e2上有1个零点;当1ae2时,当x1,a)时,f(x)0,f(x)在1,a)上是递减的,在(a,e2上是递增的,f(x)min=f(a)=(a-1)(1-lna).当a=e时,f(x)min=0,此时f(x)在1,e2上有1个零点;当1a0,此时f(x)在1,e2上无零点;当eae2时,f(x)min0.则当f(e2)=e2+ae2-2a0,即e42e2-1ae2时,f(x)在1,e2上有1个零点;当f(e2)=e2+ae2-2a0,即e0,f(e2)=e2+1e2-2ae2+1e2-2e2=-e2+10,f(x)在1,e2上有1个零点,综上,当1ae42e2-1时,f(x)在1,e2上有1个零点;当eae42e2-1时,f(x)在1,e2上有2个零点.
