1、专题突破练14空间位置关系的判断与证明一、单项选择题1.(2021广东深圳二模)设,为两个不同的平面,直线l,则“l”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021湖北荆门期中)在三棱柱ABC-A1B1C1中,点M在AB上,且AM=AB,若BC1平面A1MC,则=()A.12B.13C.14D.233.(2021山东泰安三模)如图,AB为圆锥底面直径,点C为底面圆O上异于A,B的动点,已知OA=3,圆锥侧面展开图是圆心角为3的扇形,当PBC=3时,PB与AC所成的角为()A.3B.6C.4D.564.(2021山东烟台二模)许多球状病毒的空间
2、结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形,共有12个顶点、30条棱.如图,由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点构成正五棱锥P-ABCDE,则PA与面ABCDE所成角的余弦值约为()(参考数据cos 360.8)A.56B.58C.35D.5125.(2021湖南衡阳月考)在菱形ABCD中,BAD=60,将ABD沿BD折起,使点A到达点A的位置,且二面角A-BD-C为60,则AD与平面BCD所成角的正切值为()A.34B.74C.377D.126.(2021山东青岛二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点P在矩形ACC1A1(包含边界)内运动,且PBD=4
3、5,则动点P的轨迹的长度为()A.B.2C.2D.22二、多项选择题7.(2021山东潍坊三模)已知,是两个平面,m,n是两条直线,则下列说法正确的是()A.如果m,n,那么mnB.如果mn,m,n,那么C.如果,m,那么mD.如果m,n,那么mn8.(2021广东广州二模)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PD底面ABCD,AD=1,PD=AB=2,E为PB的中点,过A,D,E三点的平面与平面PBC的交线为l,则下列结论正确的是()A.l平面PADB.AE平面PCDC.直线PA与l所成角的余弦值为55D.平面截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积的比值为35三、填空题9.(2
4、021山东潍坊期中)若平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,且平面平面A1BD,平面平面ABCD=l,则直线l与直线A1C1所成的角为.10.(2021浙江宁波二模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为23的正三角形,AA1=3,AA1AC,D为A1C1的中点,BD=33,则二面角A1-AC-B的正切值为.11.(2021福建龙岩月考)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AD的中点,动点P在正方形ABCD内(不包括边界),若B1P平面A1BM,则C1P的长度的取值范围是.专题突破练14空间位置关系的判断与证明1.B解析 当l时,与可能平行也可能相交.当
5、时,因为l,所以l.故选B.2.A解析 如图,连接AC1,交A1C于点O,连接OM.BC1平面A1MC,BC1平面ABC1,平面A1MC平面ABC1=OM,BC1OM.又在ABC1中,O为AC1的中点,M为AB的中点,AM=12AB,=12.故选A.3.C解析 设圆锥的母线长为l,则l3=23,解得l=2.PB=PC=l=2,PBC=3,BC=2.在RtABC中,AC=22.作BDAC,与圆O交于点D,连接AD,则四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=22.连接PD,则PBD为PB与AC所成的角.在PBD中,PD=PB=2,BD=22,PB2+PD2=BD2,PDPB,PBD=4.故选C.4
6、.A解析 设正二十面体的棱长为a,点P在面ABCDE内的射影为点O,则O为正五边形ABCDE的中心.连接OA,OB(图略),则AOB=72,所以OA=12ABsin36=12a1-cos23656a.因为PO面ABCDE,所以PAO为PA与面ABCDE所成的角,所以cosPAO=OAPA56aa=56.5.C解析 连接AC,交BD于点O,则ACBD.将ABD沿BD折起,得到ABD,可知AOBD,COBD,则AOC为二面角A-BD-C的平面角,所以AOC=60.设菱形ABCD的边长为2,则AO=CO=3,又AOC=60,所以AOC为等边三角形.过点A作AEOC于点E,连接DE,则AE=32.因为
7、AOBD,COBD,AOCO=O,所以BD平面AOC,所以BDAE.又AEOC,BDOC=O,所以AE平面BCD.所以ADE为AD与平面BCD所成的角.在RtADE中,因为AD=2,AE=32,所以DE=72,所以tanADE=AEDE=377.故选C.6.B解析 由题意,易知动点P的轨迹为以AC为直径的半圆,AC=22,故动点P的轨迹的长度为1222=2.7.AC解析 对于A,若m,n,则mn,故A正确.对于B,若mn,m,n,则或,相交,故B错误.对于C,若,m,则m,故C正确.对于D,若m,n,则m,n平行、相交或异面,故D错误.故选AC.8.ACD解析 如图,取PC的中点F,连接EF,
8、则ADEF,所以A,D,E,F四点共面,所以l为EF.对于A,因为EFAD,EF平面PAD,AD平面PAD,所以EF平面PAD,即l平面PAD,故A正确.对于B,若AE平面PCD,则必有AEDF,又EFAD,所以四边形ADFE为平行四边形,所以AD=EF,与EF=12BC=12AD矛盾,故B错误.对于C,PA与l所成的角即PA与EF所成的角,因为EFAD,所以PAD为PA与EF所成的角,由PD底面ABCD,可知PDAD,又AD=1,PD=2,所以AP=5,所以cosPAD=ADAP=55,故C正确.对于D,连接BD,易知VP-ABCD=1322=43,VABCDFE=VE-ABD+VD-BCF
9、E=1311+133242=56,所以VP-ADFEVABCDFE=43-5656=35,故D正确.故选ACD.9.2解析 因为平面平面A1BD,平面平面ABCD=l,平面A1BD平面ABCD=BD,所以lBD,又A1C1BD,所以A1C1l,所以直线l与直线A1C1所成的角为2.10.-3解析 如图,取AC的中点E,连接ED,EB.因为D为A1C1的中点,AA1AC,ABC是边长为23的正三角形,所以DE=AA1=3,BE=3,DEAC,BEAC,所以BED为二面角A1-AC-B的平面角.在BED中,DE=3,BE=3,BD=33,所以由余弦定理得cosBED=32+32-(33)2233=-12,所以BED=120,所以tanBED=-3.11.305,2解析 如图,取BC的中点N,连接B1D,B1N,DN,C1D,C1N,作C1ODN于点O.易知平面B1DN平面A1BM,所以点P在线段DN上,不包括端点D,N.在C1DN中,C1D=2,DN=C1N=12+122=52,所以SC1DN=122522-222=64,又SC1DN=12DNC1O=54C1O,所以54C1O=64,即C1O=305.当点P与点O重合时,C1P的长度取最小值305.因为C1DC1N,点P与点D不重合,所以C1PC1D=2.所以C1P的长度的取值范围是305,2.