1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形一、非选择题1.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
2、b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.答案:(1)证明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B1(舍);当c=23a时,cosABC=712.综上所述,cosABC=712.6.已知函数f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间-12,2上的值域.解:(1)f(x)=cos2x-3+2s
3、inx-4sinx+4=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x=sin2x-6,周期T=22=.由2x-6=k+2(kZ),得x=k2+3(kZ).故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=k2+3(kZ).(2)x-12,2,2x-6-3,56.当2x-6=2,即x=3时,f(x)取最大值1;当2x-6=-3,即x=-12时,f(x)取最小值-32.函数f(x)在区间-12,2上的值域为-32,1.7.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c
4、,已知2bsin A-3a=0.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.解:(1)由正弦定理,得2sinBsinA=3sinA,故sinB=32,由题意,得B=3.(2)由A+B+C=,得C=23-A,由ABC是锐角三角形,得A6,2.由cosC=cos23-A=-12cosA+32sinA,得cosA+cosB+cosC=32sinA+12cosA+12=sinA+6+123+12,32.故cosA+cosB+cosC的取值范围是3+12,32.8.如图,在ABC中,BAC=90,点D为斜边BC上一点,且AC=CD=2.(1)若CD=2BD,求AD的长;(2
5、)若AD=2BD,求角B的正弦值.解:(1)CD=2,CD=2BD,BD=1,BC=3BD=3.则在RtABC中,cosC=ACBC=23.在ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=4+4-823=83.AD=263.(2)在ACD中,由余弦定理可得,AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=8-8cosC.在RtABC中,BC=ACcosC=2cosC.故BD=BC-CD=2cosC-2=2-2cosCcosC.AD=2BD,AD2=2BD2.8-8cosC=2(2-2cosC)2cos2C.1-cosC0,1=1-cosCcos2C,即cos2C+cosC-1=0.又cosC0,cosC=5-12.又B+C=2,sinB=5-12.
