1、马鞍山市2013届高三第一次教学质量检测理科数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1至第2页，第卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）. 2.答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰
2、.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.（1）已知集合，为实数集，则A. B. C. D.以上都不对【答案】B.【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题.（2）复数（为虚数单位）的虚部是A. B. C. D.【答案】A.【命题意
3、图】本题考查复数的概念及运算，容易题.（3）已知平面上不共线的四点，若，则A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A.【命题意图】本题考查向量的运算，容易题.（4）设是等差数列，是其前项的和，且，则下列结论错误的是A. B. C. D.和均为的最大值【答案】C.【命题意图】本题考查等差数列的基本运算与性质，容易题.（5）在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为A.-5 B.1 C.2 D.3 【答案】D.【命题意图】本题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积公式等基础知识，考查数形结合思想，容易题.（6）设函数在定义域内可导，的图象如下
4、左图所示，则导函数的图象可能是A B C D【答案】A.【命题意图】本题考查导数的概念与几何意义，中等题.（7）斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】D.【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题.（8）已知一个棱长为的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.8 B.C. D.【答案】C.【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体体积的计算，考查空间想象能力，较难题.（9）袋中有大小相同的个红球和个白球，随机从袋中取个球，取后不放回，那么恰好在第次取完红球的概率是A. B. C. D.【答案】B.【命题意图】本题
5、考查排列组合、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，较难题.（10）已知函数是以为周期的偶函数，当时，若关于的方程（）在区间内有四个不同的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C.【命题意图】本题考查函数的性质与图象，考查数形结合能力，较难题.第卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分请在答题卡上答题（11）运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 . 【答案】11.【命题意图】本题考查程序框图，容易题.（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的中位数为，若要使该总体的标准差最小，则 .【答案】12.【命题意图】本题考查
6、统计知识，重要不等式，容易题.说明：本题数据给的不科学，改为较好（13）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是_【答案】45.【命题意图】本题考查二项式定理，考查运算能力，中等题.（14）已知直线（是实数）与圆相交于两点，且（是坐标原点）是直角三角形，则点与点之间距离的最小值是 .【答案】.【命题意图】本题考查直线与圆的方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.（15）函数的图象为，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）图象关于直线对称； 图象的所有对称中心都可以表示为；函数在区间内是增函数；由的图象向左平移个单位长度可以得到图象函数在上的最小值是.【答案】. 【命
7、题意图】本题考查三角函数的图象与性质，较难题.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.（16）(本题满分12分) 在中，分别是角的对边，.（）求的值；（）若，求边的长.（16）【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题解：（），. ， .6分（），；又由正弦定理，得，解得，即边的长为5.12分（17）(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共件，其中有件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前
8、三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（）求这箱产品被用户接收的概率；（）记抽检的产品件数为，求随机变量的分布列和数学期望（17）【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.解：（）设“这箱产品被用户接收”为事件，则.即这箱产品被用户接收的概率为4分（）的可能取值为1，2，3 5分， ， 8分的概率分布列为：12310分 （12分）（18）(本题满分12分)在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；() 求二面角的余弦值.（18）【命题意图】本题考查线面位置
9、关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.解：()证明：，； 又，是的中点，且，四边形是平行四边形， . 平面，平面，平面. 4分() 解法1：证明：平面，平面，；又，平面，平面. 过作交于，则平面. 平面， .，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， ，又平面，平面，平面. 平面，. 8分解法2：平面，平面，平面，又，两两垂直. 以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，；，.8分()由已知得是平面的法向量. 设平面的法向量为，即，令,得. 设二面角的大小为，由法向量与的方向可知，即二面角的余弦值为.12分（19）（本题满分12分）已知数列满足.（）证明数列是
10、等差数列；（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.（19）【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识知识，考查运算求解能力、推理论证能力，中等题.解：（）由已知可得，所以，即，数列是公差为1的等差数列.4分（）由（1）可得，.7分（）由（2）知，所以，相减得 ，.12分（20）（本题满分13分）已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且.()求椭圆的方程；()若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由（20）【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，较难题.解：（）设点的坐标分别为，则，
11、故，可得，2分 所以，4分，所以椭圆的方程为6分（）设的坐标分别为，则，. 由，可得，即， 8分又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，即，也就是，令，可得或，故圆必过定点和13分（21）（本题满分14分）设函数，且为的极值点() 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；() 若恰有两解，求实数的取值范围（21）【命题意图】本题考查导数的应用，分类讨论思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，较难题.解：，又，则，所以且， 3分（）因为为的极大值点，所以. 令，得或；令，得. 所以的递增区间为，；递减区间为6分（）若，则在上递减，在上递增. 若恰有两解，则，即，所以. 若，则，. 因为，则，若，则，从而，则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为14分
