1、考点规范练 20 函数 y=Asin(x+)的图象及应用 基础巩固 1.已知简谐运动 f(x)=2sin(3 +)(|2)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相 分别为()A.T=6,=6 B.T=6,=3 C.T=6,=6 D.T=6,=3 答案:A 解析:最小正周期为 T=23=6;由 2sin=1,得 sin=12,又|2,所以=6.2.要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos 2x 的图象()A.向左平移 1 个单位长度 B.向右平移 1 个单位长度 C.向左平移12个单位长度 D.向右平移12个单位长度 答案:C 解析:y=cos(2x+1
2、)=cos2(+12),只要将函数 y=cos2x 的图象向左平移12个单位长度即可.3.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin(6 +)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10 答案:C 解析:因为 sin(6 +)-1,1,所以函数 y=3sin(6 +)+k 的最小值为 k-3,最大值为 k+3.由题图可知函数最小值为 k-3=2,解得 k=5.所以 y 的最大值为 k+3=5+3=8,故选 C.4.将函数 f(x)=sin(2x+)的图象向左平移8 个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对称,则 的一
3、个可能取值为()A.34 B.4 C.0 D.-4 答案:B 解析:由题意可知平移后的函数为 y=sin2(+8)+=sin(2+4+).由平移后的函数图象关于 y 轴对称,可得4+=k+2(kZ),即=k+4(kZ),故选 B.5.将函数 y=sin(2+5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间-4,4 上单调递增 B.在区间-4,0上单调递减 C.在区间4,2 上单调递增 D.在区间2,上单调递减 答案:A 解析:将函数 y=sin(2+5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2(-10)+5=sin2x,该函数在区间-4+,4+(k
4、Z)上单调递增,在区间4+,34+(kZ)上单调递减,结合选项可知选 A.6.若函数 f(x)=2sin 2x 的图象向右平移(0 2)个单位后得到函数 g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4 的 x1,x2,有|x1-x2|的最小值为6,则=()A.6 B.4 C.3 D.512 答案:C 解析:由函数 f(x)=2sin2x 的图象向右平移(0 2)个单位后得到函数 g(x)=2sin2(x-)的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4 的 x1,x2,有|x1-x2|的最小值为2-.故2-=6,即=3.7.(2020 全国,文 7)设函数 f(x)=cos(+6)在
5、区间-,的图象大致如下图,则 f(x)的最小正周期为()A.109 B.76 C.43 D.32 答案:C 解析:由题图知 f(-49)=cos(-49 +6)=0,所以-49+6=2+k(kZ),化简得=-3+94(kZ).因为 T22T,即2|24|,所以 1|2,解得-119 k-79 或19k59.当且仅当 k=-1 时,1|0,0,|0,0,|2)的图象,可得 A=2,14 2=56 13,求得=.根据五点作图法可得 13+=2,2k(kZ),结合|2,求得=6,故 f(x)=2sin(+6).把 f(x)的图象向左平移12个单位长度后,得到函数 g(x)=2sin(+12)+6=2
6、cos(+6)的图象,则 g(52)=2cos(52+6)=2cos23=-1,故选 A.9.若关于 x 的方程 2sin(2+6)=m 在区间0,2 上有两个不等实根,则 m 的取值范围是()A.(1,3)B.0,2 C.1,2)D.1,3 答案:C 解析:方程 2sin(2+6)=m 可化为 sin(2+6)=2,当 x0,2 时,2x+6 6,76,画出函数 y=f(x)=sin(2+6)在区间0,2 上的图象,如图所示.由题意,得12 2 1,即 1m 0,-2 2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6 个单位长度得到 y=sin x 的图象,则 f(6)=.
7、答案:22 解析:函数 f(x)=sin(x+)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,得到 y=sin(2x+)的图象,再向右平移6 个单位长度,得到 y=sin2(-6)+=sin(2-3+)的图象.由题意知 sin(2-3+)=sinx,所以 2=1,-3+=2k(kZ),又-2 2,所以=12,=6,所以 f(x)=sin(12 +6).所以 f(6)=sin(12 6+6)=sin4=22.11.已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图象向右平移(0)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则=.答案:3 解析:函数 f(x)=sin2x 的图象在 y 轴右侧的第
8、一个对称轴为 2x=2,则 x=4.x=8 关于 x=4 对称的直线为 x=38,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为 x=38 的点平移到 x=1724,则=1724 38=3.12.设函数 f(x)=sin(2+6),则下列命题:f(x)的图象关于直线 x=3 对称;f(x)的图象关于点(6,0)对称;f(x)的最小正周期为,且在区间0,12上为增函数;把 f(x)的图象向右平移12个单位长度,得到一个奇函数的图象.其中正确的命题的序号为 .答案:解析:对于,f(3)=sin(2 3+6)=sin56=12,不是最值,因此 x=3 不是函数 f(x)的图象的对称轴,故该命题错误;对于,f
9、(6)=sin(2 6+6)=10,因此点(6,0)不是函数 f(x)的图象的对称中心,故该命题错误;对于,函数 f(x)的最小正周期为 T=22=,当 x0,12时,令 t=2x+6 6,3,显然函数 y=sint在区间6,3 上为增函数,因此函数 f(x)在区间0,12上为增函数,故该命题正确;对于,把 f(x)的图象向右平移12个单位长度后所对应的函数为 g(x)=sin2(-12)+6=sin2x,是奇函数,故该命题正确.能力提升 13.已知函数 f(x)=Asin(x+)(A,均为正常数)的最小正周期为,当 x=23 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)f
10、(-2)f(0)B.f(0)f(2)f(-2)C.f(-2)f(0)f(2)D.f(2)f(0)0,f(2)=Asin(4+6)=32 Asin4+2 cos40,f(-2)=Asin(-4+6)=-32 Asin4+2 cos4.因为 f(2)-f(-2)=3Asin40,所以 f(2)f(-2).又 f(-2)-f(0)=-Asin(4-6)2=-Asin(4-6)+12,因为 4-6+6 sin(+6)=-12,即 sin(4-6)+120,所以 f(-2)f(0).综上,f(2)f(-2)0,|2,118 58 14 2,所以231.所以排除 C,D.当=23时,f(58)=2sin(
11、58 23+)=2sin(512+)=2,所以 sin(512+)=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因为|0,4 23,4 76,解得6 a724.16.已知函数 y=3sin(12-4).(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由 y=sin x 的图象经过怎么样的变化得到的.解:(1)列表:x 2 32 52 72 92 12x-4 0 2 32 2 3sin(12 x-4)0 3 0-3 0 描点、连线,如图所示:(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把 y=sinx 的图象上所有点向右平移4 个单位长度,得到 y=sin(-4)的图象,再把 y=sin(-4
12、)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin(12-4)的图象,最后将y=sin(12-4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到 y=3sin(12-4)的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin12x 的图象,再把y=sin12x 图象上所有的点向右平移2 个单位长度,得到 y=sin12(-2)=sin(2-4)的图象,最后将y=sin(2-4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到 y=3sin(12-4)的图象.高考预测 17.已知函数 f(x)=3cos(2-3)-2sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求证:当 x-4,4 时,f(x)-12.答案:(1)解 f(x)=32 cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32 cos2x=sin(2+3).所以 f(x)的最小正周期 T=22=.(2)证明因为-4 x4,所以-6 2x+3 56.所以 sin(2+3)sin(-6)=-12.所以当 x-4,4 时,f(x)-12.