1、第七章 不等式 第三讲 基本不等式 练好题考点自测 1.2021 河南驻马店模拟设 0ab,则下列不等式正确的是()A.ab+2 B.a+2 b C.ab+2 D.a+2 0 且 y0”是“+2”的充要条件;若 a0,则 a3+12的最小值为 2;不等式 a2+b22ab 与+2 有相同的成立条件.A.0 B.1 C.2 D.3 3.2020 天津,14,5 分已知 a0,b0,且 ab=1,则12+12+8+的最小值为 .4.2019 天津,13,5 分理设 x0,y0,x+2y=5,则(+1)(2+1)的最小值为 .5.2017 江苏,10,5 分某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购
2、买 x 吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费用为 4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是 .拓展变式 1.(1)2020 江苏,12,5 分已知 5x2y2+y4=1(x,yR),则 x2+y2的最小值是 .(2)2017 山东,12,5 分若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 .2.2020 安徽合肥二模若 a+b0,则 a2+b2+1(+)2的最小值为 .答 案 第三讲 基本不等式 1.B 因为 0ab,所以 a-=()0,故 a0,所以 b+2;由基本不等式知+2 .综上所述,a+2 b,故选 B.2.A 当 x0 时,y-2,故
3、错误;易知当且仅当 cos x=2 时 f(x)取最小值,但 cos x 不可能为 2,所以等号不可能成立,故错误;当 x0 且 y0,b0 时才成立,故错误.选 A.3.4 依题意得12+12+8+=+2+8+=+2+8+2+2 8+=4,当且仅当 0,0,=1,+2=8+,即=1,+=4时取等号.因此12+12+8+的最小值为 4.4.43 因为 x+2y=5,x0,y0,所以(+1)(2+1)=2+2+1=2+6=2+6226=212=43,当且仅当+2=5,2=6,即=3,=1,或=2,=32时取等号,故原式取得的最小值为 43.5.30 一年购买 600 次,则总运费与总存储费用之和
4、为600 6+4x=4(900+x)8900=240,当且仅当 x=30 时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30.1.(1)45 解法一 由 5x2y2+y4=1 得 x2=152 25,则 x2+y2=152+425 2152 425=45,当且仅当152=425,即 y2=12时取等号,则 x2+y2的最小值是45.解法二 4=(5x2+y2)4y2(52+2)+4222=254(2+2)2,则x2+y245,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时取等号,则 x2+y2的最小值是45.(2)8 直线+=1(a0,b0)过点(1,2),1+2=1.
5、a0,b0,2a+b=(2a+b)(1+2)=4+4 4+2 4=8,当且仅当=4 和1+2=1 同时成立,即 a=2,b=4 时等号成立,2a+b 的最小值为 8.2.2 解法一 因为 2aba2+b2,所以(a+b)22(a2+b2).由 a+b0,知 a2+b2+1(+)2a2+b2+12(2+2)212=2,当且仅当 a=b 且 a2+b2=12(2+2),即 a=b=184时两个等号同时成立.故 a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.解法二 因为 a2+b22ab,所以 2(a2+b2)(a+b)2,所以 a2+b2(+)22,所以 a2+b2+1(+)2(+)22+1(+)2212=2,当且仅当 a=b 且(+)22=1(+)2,即 a=b=184时两个等号同时成立.故 a2+b2+1(a+b)2的最小值为2.
