1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-1综合法(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法(2)框图表示：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)2分析法(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法(2)框图表示：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件.3反证法我们可以先假定命题
2、结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，
3、推出矛盾()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(6)证明不等式 2 7 3 6最合适的方法是分析法()1若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是()Aac2abb2C.1aab答案 B解析 a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又 abb2b(ab)0，abb2，由得 a2abb2.2用反证法证明命题：“a，bN，若 ab 不能被 5 整除，则 a 与 b 都不能被 5 整除”时，假设的内容应为()Aa，b 都能被 5 整除Ba，b 不都能被 5 整除Ca，b 至少有一个能被 5 整除Da，b 至多有一个能被 5 整除答
4、案 C解析“都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b 至少有一个能被 5整除”3要证 a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b21a4b420高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-C.ab221a2b20D(a21)(b21)0答案 D解析 a2b21a2b20(a21)(b21)0.4如果 a ab ba bb a，则 a、b 应满足的条件是_答案 a0，b0 且 ab解析 a ab b(a bb a)a(ab)b(ba)(a b)(ab)(a b)2(a b)当 a0，b0 且 ab 时，(a b)2(a b)0.a ab ba b
5、b a成立的条件是 a0，b0 且 ab.5(2016青岛模拟)如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，则对于区间 D 内的任意 x1，x2，xn，有fx1fx2fxnnf(x1x2xnn)，已知函数 ysin x 在区间(0，)上是凸函数，则在ABC 中，sin Asin Bsin C 的最大值为_答案 3 32解析 f(x)sin x 在区间(0，)上是凸函数，且 A、B、C(0，)fAfBfC3f(ABC3)f(3)，即 sin Asin Bsin C3sin 33 32，sin Asin Bsin C 的最大值为3 32.题型一 综合法的应用例 1 数列an满足 an1an2an1，
6、a11.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)求数列1an的前 n 项和 Sn，并证明 1S1 1S21Sn nn1.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-(1)证明 an1an2an1，1an12an1an，化简得 1an121an，即 1an11an2，故数列1an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列(2)解 由(1)知1an2n1，Snn12n12n2.方法一 1S1 1S2 1Sn 112 122 1n2 112 1231nn1(112)(1213)(1n 1n1)1 1n1 nn1.方法二 1S1 1S21Sn 112 1221n21，又1 nn1，1S11S2
7、1Sn nn1.思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c.证明 a，b，c(0，)，ab2 ab 0，bc2 bc 0，ac2 ac 0.由于 a，b，c 是不全相等的正数，上述三个不等式中等号不能同时成立，ab2 bc2 ca2 abc0 成立上式两边同时取常用对数，得lg(ab2 bc2 ca2
8、)lg abc，lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c.题型二 分析法的应用高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-例 2 已知函数 f(x)tan x，x0，2，若 x1，x20，2，且 x1x2，求证：12f(x1)f(x2)fx1x22.证明 要证12f(x1)f(x2)fx1x22，即证明12(tan x1tan x2)tan x1x22，只需证明12sin x1cos x1sin x2cos x2 tan x1x22，只需证明 sinx1x22cos x1cos x2sinx1x21cosx1x2.由于 x1，x20，2，故 x1x2(0，)所以
9、 cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，故只需证明 1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证 1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证 cos(x1x2)fx1x22.引申探究若本例中 f(x)变为 f(x)3x2x，试证：对于任意的 x1，x2R，均有fx1fx22fx1x22.证明 要证明fx1fx22fx1x22，即证明1212(32)(32)2xxxx1223x x2x1x22，因此只要证明12233xx(x1x2)1223x x(x1x2)，即证明，121223233xxx x因此只要证明122
10、33xx1233xx，由于 x1，x2R 时，13x 0,23x 0，由基本不等式知12233xx1233xx显然成立，故原结论成立高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证(2016重庆月考)设 a0，b0,2cab，求证：(1)c2ab；(2)c c2ab a0，b0,2cab2 ab，c ab，平方得 c2
11、ab.(2)要证 c c2ab ac c2ab，只要证 c2ab ac c2ab，即证|ac|c2ab，即(ac)2c2ab.(ac)2c2aba(ab2c)0)的图像与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)0，且 0 x0.(1)证明：1a是函数 f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明1ac.证明(1)f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点，f(x)0 有两个不等实根 x1，x2，f(c)0，x1c 是 f(x)0 的根，又 x1x2ca，x21a(1ac)，1a是 f(x)0 的一个根即1a是函数 f(x)的一个零点高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-(2)假设1a
12、0，由 0 x0，知 f(1a)0，与 f(1a)0 矛盾，1ac，又1ac，1ac.23反证法在证明题中的应用典例(12 分)直线 ykxm(m0)与椭圆 W：x24y21 相交于 A、C 两点，O 是坐标原点(1)当点 B 的坐标为(0,1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；(2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时，证明：四边形 OABC 不可能为菱形思想方法指导 在证明否定性问题，存在性问题，唯一性问题时常考虑用反证法证明，应用反证法需注意：(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明
13、的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去规范解答(1)解 因为四边形 OABC 为菱形，则 AC 与 OB 相互垂直平分由于 O(0,0)，B(0,1)，所以设点 At，12，代入椭圆方程得t24141，则 t 3，故|AC|2 3.4 分(2)证明 假设四边形 OABC 为菱形，因为点 B 不是 W 的顶点，且 ACOB，所以 k0.由x24y24，ykxm，消 y 并整理得(14k2)x28kmx4m240.6 分高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-10-设 A(x1，y1)
14、，C(x2，y2)，则x1x22 4km14k2，y2y22kx1x22mm14k2.所以 AC 的中点为 M4km14k2，m14k2.8 分因为 M 为 AC 和 OB 的交点，且 m0，k0，所以直线 OB 的斜率为 14k，因为 k 14k 141，所以 AC 与 OB 不垂直10 分所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形12 分1(2017泰安质检)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x2axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程 x2axb0 没有实根B方程 x2axb0 至多有一个实根C方程 x2a
15、xb0 至多有两个实根D方程 x2axb0 恰好有两个实根答案 A解析 因为“方程 x2axb0 至少有一个实根”等价于“方程 x2axb0 有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程 x2axb0 没有实根”故选 A.2若一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为()A(3,0)B3,0C3,0)D(3,0答案 D解析 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则必有2k0，k242k380或 k0.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-11-解得30，则三个数yxyz，zxzy，xzxy()A都大于 2B至少有一个大于 2C至少有
16、一个不小于 2D至少有一个不大于 2答案 C解析 因为(yxyz)(zxzy)(xzxy)(yxxy)(yzzy)(zxxz)6，当且仅当 xyz 时等号成立所以三个数中至少有一个不小于 2，故选 C.4已知 p3q32，证明：pq2.用反证法证明时，可假设 pq2；若 a，bR，|a|b|2，故中的假设错误；对于，其假设正确，故选 D.5设 a，b，c(，0)，则 a1b，b1c，c1a()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2答案 C解析 因为 a1bb1cc1a6，所以三者不能都大于2.6用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)有有理数根，那么
17、 a，b，c 中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是_假设 a，b，c 都是偶数；假设 a，b，c 都不是偶数；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-假设 a，b，c 至多有一个偶数；假设 a，b，c 至多有两个偶数答案 解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故正确7(2016全国甲卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_答案 1 和
18、3解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”可知，丙为“1 和 2”或“1 和 3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，所以乙只可能为“2 和 3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，所以甲只能为“1 和 3”8若二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点 c，使 f(c)0，则实数 p 的取值范围是_答案 3，32解析 若二次函数 f(x)0 在区间1,1内恒成立，则f12p2p10，f12p23p90，解得 p3 或 p32，故满足题干条件的 p 的取值范围为3，32.9已知 m0，a，bR，求证：(amb1m)2a2mb21m.证明
19、 因为 m0，所以 1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证 m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证10设 f(x)ax2bxc(a0)，若函数 f(x1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称，求证：f(x12)为偶高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-函数证明 由函数 f(x1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称，可知 f(x1)f(x)将 x 换成 x12代入上式可得 f(x121)f(x12)，即 f(x12)f(x12)，由偶函数的定义可知 f(x12)为偶函数11已知函数 f(x)axx
20、2x1(a1)(1)证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根证明(1)任取 x1，x2(1，)，不妨设 x10.a1，21xxa 1 且1xa0，21xxaa121(1)xxxaa 0.又x110，x210，x22x21x12x11x22x11x12x21x11x213x2x1x11x210.于是 f(x2)f(x1)21xxaax22x21x12x110，故函数 f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在 x01，00 xa1，0 x02x011，即12x02，与假设 x00 相矛盾，故方程 f(x)0 没有负数根12(2016浙江)设函数 f
21、(x)x3 11x，x0,1，证明：(1)f(x)1xx2；(2)34f(x)32.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-证明(1)因为 1xx2x31x41x 1x41x，由于 x0,1，有1x41x 1x1，即 1xx2x3 1x1，所以 f(x)1xx2.(2)由 0 x1，得 x3x，故 f(x)x3 1x1x 1x1x 1x13232x12x12x13232，所以 f(x)32.由(1)得 f(x)1xx2x1223434，又因为 f 12 192434，所以 f(x)34.综上，34f(x)32.13.(2015课标全国)设 a，b，c，d 均为正数，且 abc
22、d，证明：(1)若 abcd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为(a b)2ab2 ab，(c d)2cd2 cd，由题设 abcd，abcd，得(a b)2(c d)2.因此 a b c d.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2,即(ab)24ab(cd)24cd.因为 abcd，所以 abcd.由(1)得 a b c d.若 a b c d，则(a b)2(c d)2，即 ab2 ab cd2 cd.因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，a b c d是|ab|cd|的充要条件