1、课时规范练30等比数列基础巩固组1.(2021陕西西安二模)在等比数列an中,a3a7=9,则a5=()A.3B.3C.3D.3答案:A解析:由等比数列的性质,可得a52=a3a7=9,则a5=3.2.(2021四川成都三诊)已知数列an为等比数列,则“a6a50”是“数列an为递增数列”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:设数列an的公比为q.充分性:当a6a50时,q=a6a51,且a1=a5q40,则数列an为递增数列;必要性:当数列an为递增数列时,若a10,0qa6a5.故为充分不必要条件.3.(2021山西临汾二模)已知等比数
2、列an的前n项和为Sn,若S3=21,a4-a1=21,则a3=()A.9B.10C.11D.12答案:D解析:设等比数列an的公比为q,显然q1,则a1(1-q3)1-q=21,a1q3-a1=21,解得q=2,a1=3,则a3=322=12.4.(2021湖北鄂东南示范高中联考)在等比数列an中,a1+a2=10,a3+a4=20,则a7+a8=()A.80B.100C.120D.140答案:A解析:设等比数列an的公比为q,则q2=a3+a4a1+a2=2,a7+a8=(a1+a2)q6=1023=80.5.(2021安徽江南十校一模)将数列3n+1与9n-1的公共项从小到大排列得到数列
3、an,则a10=()A.319B.320C.321D.322答案:B解析:由题意知,数列an是首项为9,公比为9的等比数列,所以an=9n,则a10=910=320.6.(2021吉林长春四模)在等比数列an中,a1+a2=94,a4+a5=18,则其前5项的积为()A.64B.81C.192D.243答案:D解析:设等比数列an的公比为q,由题意a4+a5a1+a2=q3=8,解得q=2,所以a1+a2=a1+2a1=94,所以a1=34,所以a1a2a3a4a5=a15q10=345210=243.7.(2021河南新乡、商丘高三联考)设Sn为等比数列an的前n项和,且8a2-a5=0,S
4、m=5S2,则m的值是.答案:4解析:设等比数列an的公比为q,由8a2-a5=0,得8a1q=a1q4,解得q=2.又因为Sm=5S2,所以a1(1-2m)1-2=5a1(1-22)1-2,解得m=4.8.(2021北京西城一模)在等比数列an中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=;满足an1的n的最大值为.答案:-123解析:因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=a2+a4a1+a3=-510=-12.所以a1+a3=a1+q2a1=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8-12n-1,所以当n为偶数时,an0.要使an1,则4-n0且n为奇数,即n0,an+1=
5、3an+4.(1)证明:数列an+2为等比数列;(2)若a3=25,求数列an-n的前n项和Sn.(1)证明:由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2),因为an0,所以an+20,所以数列an+2为等比数列.(2)解:若a3=25,则an+2=(a3+2)3n-3,即an+2=(25+2)3n-3,所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,数列an-n的前n项和Sn=(3+32+3n)-(1+n)n2-2n=3(1-3n)1-3-(1+n)n2-2n=3n+12-n22-5n2-32.综合提升组10.(2021广东梅州二模)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则
6、S1a1+S2a2+S8a8=.答案:502解析:因为an+Sn=1,所以当n2时,an-1+Sn-1=1,两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=12an-1(n2);当n=1时,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=12.所以数列an表示首项为12,公比为12的等比数列,所以an=12n,Sn=121-(12)n1-12=1-12n,所以Snan=1-(12)n(12)n=2n-1,所以S1a1+S2a2+S3a3+S8a8=(2+22+28)-(1+1+1)=2(1-28)1-2-8=29-10=502.11.(2021山东淄博高三)在等比数列an
7、中,a1=2,公比q1,a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,则数列an的前9项和是.答案:1 022解析:由f(x)=13x3-6x2+32x得f(x)=x2-12x+32,又因为a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,所以a2,a3是函数f(x)=x2-12x+32=(x-4)(x-8)的两个零点,即4或8,又因为a1=2,an是等比数列,所以a2=4,a3=8,故q=2.则前9项和为2(1-29)1-2=210-2=1022.12.(2021河南湘豫名校联盟3月联考)已知等比数列an满足a1-a3=-827,a2-a4=-89,则使得a1
8、a2an取得最小值的n为.答案:3或4解析:设公比为q,则q=a2-a4a1-a3=3,a1-a3=a1-a1q2=-8a1=-827,a1=127,a2=19,a3=13,a4=1,n=3或n=4时,a1a2an取得最小值.13.(2021湖南长沙模拟预测)在等比数列an中,a2=2,a5=14,则满足a1a2+a2a3+anan+1212成立的n的最大值为.答案:3解析:已知an为等比数列,设其公比为q,由a5=a2q3得,2q3=14,q3=18,解得q=12,又a2=2,a1=4.an+1an+2anan+1=q2=14,数列anan+1也是等比数列,其首项为a1a2=8,公比为14.
9、a1a2+a2a3+anan+1=323(1-4-n)212,从而有14n164.n3.故nmax=3.14.(2021山东青岛西海岸新区高三期末)已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2,则an的通项公式an=;若数列bn的通项公式bn=n,将数列bn中与an相同的项去掉,剩下的项依次构成数列cn,cn的前n项和为Tn,则T100=.答案:2n5 545解析:由题意,数列an的前n项和Sn=2n+1-2,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,当n=1时,a1=S1=22-2=2,适合上式,所以an的通项公式an=2n.在数列bn的前100项中与数列an相同的项为2
10、,22,23,24,25,26,所以T100=(b1+b2+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+b106)=(b1+b2+b100+b101+b102+b106)-(2+22+23+24+25+26)=106(1+106)2-2(1-26)1-2=5671-126=5545.创新应用组15.(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD
11、中,作它的内接正方形EFGH,且使得BEF=15;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得FMN=15;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EMQ的面积为S2).有以下结论:数列an是公比为23的等比数列;S1=112;数列Sn是公比为49的等比数列;数列Sn的前n项和Tn14.其中正确结论的序号有.答案:解析:如图,由图知an=an+1(sin15+cos1
12、5)=an+12sin(15+45)=62an+1,对于:an=62an+1,a1=AB=1,所以数列an是公比为26=63的等比数列,故不正确;对于:因为an=163n-1=63n-1,所以Sn=an2-an+124=1423n-1-23n=11223n-1,所以数列Sn是首项为112,公比为23的等比数列,故正确,不正确;对于:Tn=1121-(23)n1-23=141-23n14,故正确.16.(2021浙江温州一模)有一种病毒在人群中传播,使人群成为三种类型:没感染病毒但可能会感染病毒的S型;感染病毒尚未康复的I型;感染病毒后康复的R型(所有康复者都对病毒免疫).根据统计数据:每隔一周
13、,S型人群中有95%仍为S型,5%成为I型;I型人群中有65%仍为I型,35%成为R型;R型人群都仍为R型.若人口数为A的人群在病毒爆发前全部是S型,记病毒爆发n周后的S型人数为Sn,I型人数为In,则Sn=;In=.(用A和n表示,其中nN+)答案:0.95nA0.95n-0.65n6A解析:由题意,可得Sn+1=0.95Sn,In+1=0.05Sn+0.65In,S0=A,I0=0,由可得Sn=0.95nA,代入可得In+1=0.65In+0.050.95nA,则In+1-160.95n+1A=0.65In-160.95nA,所以数列In-160.95nA为等比数列,公比为0.65,由可得In-160.95nA=0.65nI0-160.950A,整理得In=160.95nA-160.65nA=0.95n-0.65n6A.综上可得Sn=0.95nA,In=0.95n-0.65n6A.