1、数学思想-转化与化归专题综述转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题，转化化归问题的实质是揭示联系，实现转化，用框图可以直观地表示如下：专题探究探究1：特殊与一般的转化(2021湖南省联考) 已知函数f(x)=14x+2xR,则f(1m)+f(2m)+f(3m)+f(m1m)+f(mm)=.(其中mN)【思维引导】本题考查函数的性质,利用性质求m项函数值之和，思维的难点是根据f(x)解析式
2、，找出fx+f1x=12 (常数)的特征，类比等差数列的前n项和公式的推导方法，利用倒序相加法，将函数值求解问题转化为数列求和问题即可得到结论.【规范解析】f(x)=14x+2(xR)，fx+f1x=14x+2+141x+2=14x+2+4x24x+2=12；令S=f(1m)+f(2m)+f(3m)+f(m1m)+f(mm)，则S=f(mm)+f(m1m)+f(m2m)+f(2m)+f(1m)，则两式相加可得2S=2f(1)+m12=3m16，S=3m112即f(1m)+f(2m)+f(3m)+f(m1m)+f(mm)=3m112【探究总结】(1)一般与特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一
3、般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案(2021山东省聊城市模拟) “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆若椭圆C：x2a+1+y2a=1(a0)的离心率为12，则椭圆C的蒙日圆方程为( )A. x2+y2=9B.
4、 x2+y2=7C. x2+y2=5D. x2+y2=4探究2：函数、方程、不等式之间的转化(2021四川省泸州市模拟) 已知e为自然对数的底数，若对任意的x1e,1，总存y(0,+)，使得xlnx+1+a=lny+yy成立，则实数a的取值范围是()A. (,0)B. (,0C. (2e,eD. (,1e【思维引导】本题主要考查函数恒成立问题,根据条件将方程变形，然后构造函数，将方程的存在问题和恒成立问题转化为函数问题(分别求出两个函数的值域，结合值域之间的关系进行求解)，利用函数的导数研究函数的单调性和极值求出函数的值域也是解决本题的关键【规范解析】xlnx+1+a=lny+yy=lnyy+
5、1，xlnx+a=lnyy，设f(x)=xlnx+a，g(y)=lnyy，f(x)=1+lnx1+ln1e=0，f(x)在1e,1单调递增，f(1)=a，f(1e)=1eln1e+a=1e+a，f(x)a1e,a，g(y)=1yylnyy2=1lnyy2，令g(y)=0，解得y=e，当0y0，函数g(y)单调递增，当ye时，g(y)0)的离心率为12，所以a+1aa+1=14，解得a=3，所以椭圆方程为x24+y23=1，因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上找特殊点分别为(0,3)，(2,0)，则两条切线分别是x=2，y=3，则两条直线的交点为P(2,3)，而P在蒙日圆上
6、，所以(2)2+(3)2=7，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=7 故选B变式训练2【答案】D【解析】kexex|x|=0，即为k1=|x|ex，设f(x)=|x|ex(xR)，当x0时，f(x)=xex，故f(x)=12x2xex，函数在(0,12)上单调递增，在12,+)上单调递减，且f(0)=0，f(12)=2e2e，当x趋于+时，f(x)趋于0;当x0时，f(x)=xex，f(x)=12x2xex0，函数单调递减，此时f(x)的取值范围为(0,+);如图所示画出函数图象，则0k1f(12)=2e2e故k(1,2e2e+1)故选D变式训练3【答案】C【解析】现有A、B两个独立的医疗科研
7、机构，它们能研制出疫苗的概率均为13，至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的对立事件是两家机构都研究不出这种“新冠”疫苗，至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为：P=1(113)(113)=59故选：C变式训练4【答案】32；33412如图，取BD的中点E，AC的中点F，连接EF，则EF为与正四面体ABCD各棱相切的球O的直径，正四面体的棱长为6，AE=CE=632=322，则EF=9232=3，则球O的半径为R=32；设底面BCD的中心为G，则CG=23CE=23322=2，则A到底面BCD的距离为62=2SBCD=126632=332，由等体积法可得：133322=413332OG，得OG=12则球被正四面体的一个侧面所截得的球缺的高为312，球缺的体积V=3(3R)2=3(332312)(312)2=33412故答案为：32；33412