1、黑龙江省大庆市第十中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1若(2x，1，3)，(1, -2y，9)，如果与为共线向量，则Ax1，y1Bx，y-Cx，yDx，y2在空间直角坐标系中，若A（0，2，5），B（-1，3，3），则|AB|=（）AB3CD3已知向量，则与的夹角为（ ）A0BCD4已知向量与的夹角为，则（）A1B3C4D55长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD6平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60,且|=1,|=2,|=3,则|等于()A5B6C4D87三棱锥ABCD中，ABACA
2、D2，BAD90，BAC60，则等于()A2B2CD8如图，是的重心，则（ ）ABCD9投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A0.648B0.432C0.36D0.31210已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）ABCD11已知正方体（如图），则（ ）A直线CF与GD所成的角与向量所成的角相等B向量是平面ACH的法向量C直线CE与平面ACH所成角的正弦值与的平方和等于1D二面角的余弦值等于12如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：三棱锥的体积不变；平面；其中正确的结
3、论的个数是A1个B2个C3个D4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x_.14如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，且，则的长等于_154名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种.16若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 三、解答题(本大题共6小题，共70分；其中17题10分，其他每题12分)17已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（为参数），C2：（t为参数）.（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正
4、半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.18如图，四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD为梯形，且，证明：；求A到平面PBD的距离19在如图所示的几何体中，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.20某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求
5、量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？21如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.22已知函数ae2x+(a2) exx.（1）讨论的单调性；（
6、2）若有两个零点，求a的取值范围.参考答案1C【解析】【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值【详解】=（2x，1，3）与=（1，2y，9）共线，故有=x=，y=故选C【点睛】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题2D【解析】空间直角坐标系中，A（0，2，5），B（-1，3，3），所以=（-1-0，3-2，3-5）=（-1，1，-2），所以 故选D3C【解析】由题设，故，应选答案C4C【解析】【分析】由已知条件对两边平方，进行数量积的运算即可得到，解该方程即可得出【详解】解：根据条件，；解得，或（舍去）故选C【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程和 5B
7、【解析】建立坐标系如图所示则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1，2,1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.6A【解析】【分析】结合图形先表示出=，再计算，即可解决问题【详解】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有，=所以有=，于是有=25所以，答案选A【点睛】求空间向量的模有两种方法：一是平方法，即利用，其实质转化为数量积求解；二是从标法，即利用公式7A【解析】试题分析：考点：平面向量数量积的运算8D【解析】分析：利用平面向量的基本定理，把向量，用表示出来，从而求出系数即可. 详解：因为，则，故选D. 点睛：本题
8、考查了空间向量的基本定理，及向量的线性运算，试题属于基础题，熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 9A【解析】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A考点：次独立重复试验10B【解析】试题分析：设向量和的夹角是，则由空间向量的数量积公式和題意得,所以以和为邻边的平行四边形的面积为，故选B考点：1、空间向量的数量积公式；2、三角形面积公式11B【解析】【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法依次对所给选项进行检验.【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，对于选项A，连接，因为为等边三角形，所以异面直线CF与GD所成的角为，而，所以，
9、所以，故A错误；对于选项B，则，所以，即，又，所以平面，所以向量是平面ACH的法向量，故B正确；对于选项C，设直线CE与平面ACH所成角为，所以，所以，故C错误；对于选项D，连接，设，连接，因为，M为中点，所以，所以为的二面角，易得，所以，所以D错误.故选：B【点睛】本题考查利用坐标法求线面角、面面角以及证明线面垂直，考查学生的计算能力，是一道中档题.12C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【详解】对于，由题意知，从而平面，故BC上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；对于，连接，且相等，由于知：，所以面，从而由线面平行的定
10、义可得，故正确；对于，由于平面，所以，若，则平面DCP，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于，连接，由且，可得面，从而由面面垂直的判定知，故正确故选C【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想13【解析】【分析】四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为1，即可求出x的值.【详解】已知且M，A，B，C四点共面，则 ，解得x=【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，向量共面定理的推论：对空间内任一点P与不共线的三点A,B,C共面的充要条件是，存在唯一的有序数组x,y,z，使得 ,且x+y+z=1，其中O为空间内任一点.1
11、42【解析】【分析】由已知中二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长【详解】A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，又二面角l的平面角等于120，且ABACBD1，60，故答案为2【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键15【解析】【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小
12、区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f （x0）的几何意义是曲线yf （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f （x0）（x
13、x0）注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同17（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由得的普通方程为：；由得：，两式作差可得的普通方程为：.（2）由得：，即；设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，所求圆的极坐标方程为.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.18（）见解析；（）.【解析】【分析
14、】（1）由余弦定理得，从而BDAB，由ABDC，得BDDC从而BD平面PDC，由此能证明BDPC（2）设A到平面PBD的距离为h取DC中点Q，连结PQ，由VA-PBD=VP-ABD，能求出A到平面PBD的距离【详解】（1）由余弦定理得， .又平面 底面，平面 底面 ，底面，平面，又平面，.（2）设到平面的距离为取中点，连结,是等边三角形，.又平面 底面，平面 底面 ，平面，底面，且，由（）知平面，又平面，.，即2 1.解得.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19(1)证明见解
15、析；(2).【解析】【详解】【分析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.详解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角
16、.在，所以.(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.设是平面的法向量，则令得.取平面的法向量为.设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而.点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20（1）的分布列为（2）当为瓶时，的数学期望达到最大值。【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 . 因此的分布列为0.20.40.4 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑当时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间，则Y=6300+2（n-30
17、0）-4n=1200-2n;若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n0.4+（1200-2n）0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n当时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。21（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求
18、得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结，等边中，则，平面ABC平面，且平面ABC平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合平面，故.(2)在底面ABC内作EHAC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了立
19、体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取
20、值范围为.试题解析：（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.