1、11.2 四种命题11.3 四种命题间的相互关系内 容 标 准学 科 素 养1.了解命题的四种形式，会写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题2.理解并掌握四种命题之间的关系及其真假性关系3.能够利用命题的等价性解决有关问题.利用数学抽象提高逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 四种命题预习教材P46，思考并完成以下问题请将命题“正弦函数是周期函数”改写成“若 p，则 q”的形式提示：若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数观察下面四个命题：(1)若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数(2)若 f(x)是周期函数，
2、则 f(x)是正弦函数(3)若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数(4)若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数命题(1)与其他三个命题的条件与结论之间有什么关系？提示：命题(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，命题(3)的条件和结论分别是命题(1)的条件的否定和结论的否定命题(4)的条件和结论分别是命题(1)的结论的否定和条件的否定 知识梳理 四种命题的定义如下表所示名称阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的 互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件
3、和结论恰好是另一个命题的条件的 和结论的 ，我们把这样的两个命题叫做互否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.结论和条件逆命题否定否定否命题结论的否定和条件的否定逆否命题知识点二 四种命题的相互关系预习教材P67，思考并完成以下问题设：命题(1)“若 p，则 q”是原命题，那么命题(2)“若 q，则 p”是原命题的逆命题，命题(3)“若綈 p，则綈 q”是原命题的否命题，命题(4)“若綈 q，则綈 p”是原命题的
4、逆否命题你能发现它们之间有什么关系吗？1根据定义，如果把命题(2)称为原命题，那么其他三个命题分别是命题(2)的什么命题？提示：命题(1)是命题(2)的逆命题命题(3)是命题(2)的逆否命题命题(4)是命题(2)的否命题2如果把命题(3)称为原命题呢？提示：命题(1)是命题(3)的否命题命题(2)是命题(3)的逆否命题命题(4)是命题(3)的逆命题 知识梳理 四种命题间的关系知识点三 四种命题的真假性关系预习教材P78，思考并完成以下问题原命题，逆命题，否命题，逆否命题的真假有什么联系？原命题(1)若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数；逆命题(2)若 f(x)是周期函数，则 f(x)
5、是正弦函数；否命题(3)若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数；逆否命题(4)若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数判断以上四个命题的真假提示：原命题(1)是真命题，它的逆命题(2)是假命题，它的否命题(3)也是假命题，而它的逆否命题(4)是真命题 知识梳理 四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真假真假真真假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性真假假相同没有关系自我检测1命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A
6、1 B2C3 D4答案：B2命题“若 ab，则 2a2b1”的否命题是_答案：若 ab，则 2a2b1探究一 四种命题及其关系教材 P6练习(3)写出命题“奇函数的图象关于原点对称”的逆命题、否命题、逆否命题解析：逆命题：“若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数”否命题：“若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象不关于原点对称”逆否命题：“若一个函数的图象不关于原点对称，则这个函数不是奇函数”例 1 写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题(1)若 sin 12，则 tan 3；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当 1x2 时，x23x20；(4)若 ab0，则 a0
7、或 b0.解析(1)逆命题：若 tan 3，则 sin 12.否命题：若 sin 12，则 tan 3.逆否命题：若 tan 3，则 sin 12.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高(3)逆命题：若 x23x20，则 1x2 018，则 x0”的否命题是()A若 x2 018，则 x0B若 x0，则 x2 018C若 x2 018，则 x0D若 x0，则 x2 018解析：否命题需将条件和结论分别否定，所以否命题为：若 x2 018，则 x0.答案：C探究二 四
8、种命题的真假判断教材 P8习题 1.1A 组 2 题写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数；(2)若 m0，则方程 x2xm0 有实数根解析：(1)逆命题：“若两个整数 a 与 b 的和 ab 是偶数，则 a，b 都是偶数”，假命题否命题：“若两个整数 a，b 不都是偶数，则 ab 不是偶数”，假命题逆否命题：“若两个整数 a 与 b 的和 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数”，真命题(2)逆命题：“若方程 x2xm0 有实数根，则 m0”，假命题否命题：“若 m0，则方程 x2xm0 无实数根”，假命题逆否命题：“若方程 x
9、2xm0 无实数根，则 m0”，真命题例 2 判断下列各个命题的真假(1)“对顶角相等”的逆命题；(2)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆否命题解析(1)法一：“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等，则它们是对顶角”，是假命题法二：“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角，则它们不相等”，显然是假命题，而逆命题和否命题等价，故“对顶角相等”的逆命题是假命题(2)法一：“直角三角形的两锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角形的两个锐角不互为余角，则这个三角形不是直角三角形”，是真命题法二：由于命题“直角三角形的两锐角互为余角”是真命题，而原命题与逆否命题等价，因此“直角三角形的两锐角互为余角
10、”的逆否命题是真命题方法技巧 判断一个命题的真假通常有以下两种方法(1)分清该命题的条件与结论，直接对该命题的真假进行判断；(2)不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价，特别是当命题本身不容易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现跟踪探究 3.下列命题中为真命题的是()A命题“若 x20，则 x1”的逆否命题B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“若 x2x20，则 x1”的逆命题D命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题解析：A 中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误；B 中命题的否命题是“若x1，则 x21”，当 x2
11、 时不成立；C 中命题的逆命题是“若 x1，则 x2x20”，当 x2 时，x2x20，故错误；D 中命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题是“若 x|y|，则 xy”，无论 y 是正数、负数、零都成立答案：D探究三 等价命题的应用阅读教材 P7例 4 及解答证明：若 x2y20，则 xy0.题型：利用互为逆否命题的真假性相同，判断命题的真假方法步骤：(1)假设 x、y 中至少一个不为 0，得到 x2y20.(2)这就证得原命题的逆否命题为真命题从而原命题为真命题例 3 求证：当 a2b2c2 时，a，b，c 不可能都是奇数证明 构造命题 p：若 a2b2c2，则 a，b，c 不可能都是奇数该
12、命题的逆否命题是：若 a，b，c 都是奇数，则 a2b2c2.下面证明该逆否命题是真命题由于 a，b，c 都是奇数，则 a2，b2，c2 都是奇数，于是 a2b2 必为偶数，而 c2 为奇数，所以有 a2b2c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题方法技巧 由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当不容易直接证明一个命题是真命题时，则按“正难则反”的思想去思考，分析题目，证原命题的逆否命题成立跟踪探究 4.证明：若 a24b22a10，则 a2b1.证明：命题“若 a24b22a10，则 a2b1”的逆否命题为“若 a2b1，则a24b22a10”由 a2b1，得 a24b22a1(2b1)
13、24b22(2b1)14b24b14b24b210，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题故原命题得证课后小结(1)四种命题：首先找清原命题的条件和结论，然后交换原命题的条件和结论，得到逆命题；同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题(2)四种命题的真假判断原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明)素养培优1不能正确否定命题的条件或结论致误写出命题“若 x2y20，则 x，y 全为 0”的否命题易
14、错分析 对结论的否定不正确“x，y 全为 0”的否定应为“x，y 不全为 0”，而不是“x，y 全不为 0”，考查逻辑推理的数学素养自我纠正“若 x2y20，则 x，y 全为 0”的否命题是“若 x2y20，则 x，y 不全为 0”2判断命题真假时因基础知识掌握不牢致误命题“若ABC 有一内角为3，则ABC 的三内角成等差数列”的逆命题()A与原命题同为假命题B与原命题的否命题同为假命题C与原命题的逆否命题同为假命题D与原命题同为真命题易错分析 a、b、c 三个数成等差数列，则 ac2b，反之也成立对这一知识点掌握不牢致误，考查数学应用能力自我纠正 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC 的三内角成等差数列，则ABC 有一内角为3”，它是真命题故选 D.答案：D04 课时 跟踪训练
