1、3.3.3简单的线性规划问题学习目标：1.了解线性规划的意义.2.了解线性规划的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题(重点)3.会利用线性规划求目标函数的最值(难点)自 主 预 习探 新 知线性规划的有关概念(1)可行域：约束条件所表示的平面区域(2)最优解：在约束条件下，使目标函数取得最大值、最小值的解(3)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题基础自测1若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值和最小值分别为_解析可行域为直角三角形ABC(如图)，由z2xy，得y2xz，由图象可知，当直线y2xz过点B(2,0)和点A(1,0)时，z分别取到最大值4
2、和最小值2.答案4,22在约束条件下，目标函数z10xy的最优解是_解析作可行域如图，平移直线y10x可知，z10xy的最优解是(1,0)，(0，1)答案(1,0)，(0，1)合 作 探 究攻 重 难求线性目标函数的最值(1)已知x，y满足则zx2y的最大值是_(2)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_思路探究解析(1)由画出可行域及直线x2y0如图，当x2yz经过直线3xy50与x3的交点(3,4)时，zx2y取最大值，最大值为z3245.(2)如图所示，不等式组表示的可行域为ABC，易求得A(1,1)，B，C，当直线z3x2y过点A时，z取得最小值，所以z取得最小值为3(1)215
3、.答案(1)5(2)5规律方法求线性目标函数的最大(小)值的两种基本题型：(1)目标函数zAxByC，当B0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而增大.(2)目标函数zAxByC，当B0时，z的值随直线在y轴上截距的增大而减小.提醒：将目标函数所表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.跟踪训练1若变量x，y满足约束条件则z2xy的最小值等于_. 【导学号：57452090】解析作可行域如图，由图可知，当直线z2xy过点A时，z值最小由得点A，zmin2(1).答案线性规划的实际应用某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用
4、A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润思路探究根据题目设出未知数，列出线性约束条件设出目标函数，画出可行域，利用平移法求目标函数的最大值解设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有目标函数z5x3y，作出可行域如图所示把z5x3y变形为yx得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线，由图可以看出，当直线yx经过可行域上的A点时，截距最大，即z最大解方程组得A的坐标为x3，y4，zmax5
5、33427.故可获得最大利润为27万元规律方法解答线性规划应用题的一般步骤：(1)审题仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺；(2)转化设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；(3)求解解这个纯数学的线性规划问题；(4)作答就应用题提出的问题作出回答.跟踪训练2某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质
6、和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z2.5x4y，且x，y满足即让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移由此可知z2.5x4y在B(4,3)处取得最小值因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.求非线性目标函数的最值探究问题1设P(x，y)是可行域内的
7、任意一点，则目标函数z的几何意义是什么？z呢？提示z表示可行域内的点(x，y)与点(b，a)连线的斜率，z表示可行域内的点(0,0)与点(x，y)连线的斜率2设P(x，y)是可行域内的任意一点，则目标函数z(xa)2(yb)2的几何意义是什么？z呢？提示z(xa)2(yb)2表示可行域内的点(x，y)与(a，b)间的距离的平方的最值，z表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离已知实数x，y满足约束条件试求z的最大值和最小值思路探究z表示可行域内的点与(1，1)点连线的斜率解作出不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)所示由于z，故z的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率，因此的最值是
8、点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值，由图可知直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值为3，最小值为.母题探究：1.(变结论)本例条件不变，求zx2y2的取值范围解zx2y2的几何意义是点(x，y)与原点O(0,0)的距离的平方因为原点到2xy20的距离为d1，原点到点A的距离为d2，zx2y2的取值范围是，132(变结论)本例条件不变，求z的取值范围解z，其中k的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率由图易知，kNCkkNB，即k，k7，z的取值范围是，73(变结论)本例条件不变，求z的取值范围解z2.设k，仿
9、例3解得k1.z，3规律方法非线性目标函数最值问题的求解方法1非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果2常见代数式的几何意义主要有：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键提醒：目标函数x2y2的几何意义易错理解为可行域内的点到原点的距离当 堂 达 标固 双 基1图338
10、中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z6x8y，取得最大值的点的坐标是_图338解析由z6x8y，变形为yx，得到斜率为，在y轴上截距为，随z变化的一族平行直线，由题图可知，过(0,5)点时， z6x8y取最大值答案(0,5)2若变量x，y满足则x2y2的最大值是_解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由得A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.答案103若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是_解析画出可行域，如图所示由图可知，当目标函数过A点时有最大值；过B点时有最
11、小值联立得方程组故A(4,4)；对xy8，令y0，则x8，故B(8,0)，所以a54416，b5088，则ab16(8)24.答案244某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为_. 【导学号：57452091】(1)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱；(2)甲车间加工原料15
12、箱，乙车间加工原料55箱；(3)甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱；(4)甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z280x200y.画出可行域如图所示点M(15,55)为直线xy70和直线10x6y480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值答案(2)5已知x，y满足条件求：(1)4x3y的最大值和最小值；(2)x2y2的最大值和最小值解(1)不等式组表示的公共区域如图阴影所示：其中A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)，设z4x3y.直线4x3y0经过原点(0,0)作一族与4x3y0平行的直线l：4x3yt.则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大zmax4(1)3(6)14，zmin4(3)3218.故4x3y的最大值为14，最小值为18.(2)设ux2y2，则为点(x，y)到原点(0,0)的距离结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点的距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.umax(1)2(6)237，umin0，x2y2的最大值为37，最小值为0.第 9 页