1、第一步 考前必看八大提分笔记一、集合与常用逻辑用语1描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素如：x|ylg x函数的定义域；y|ylg x函数的值域；(x，y)|ylg x函数图象上的点集2集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性3遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样在应用条件ABBABAAB时，不要忽略A的情况4对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1,2n1,2n2.5注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别
2、注意端点值的取舍6“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论在否定条件或求结论时，应把“且”改成“或”，“或”改成“且”7要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.8要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”忽视互异性致误已知1a2，(a1)2，a23a3，求实数a的值错解由题意，得a21或(a1)21或a23
3、a31，a1或a2或a0.错因分析当a2时，(a1)2a23a31，不符合集合元素的互异性；同理a1时，也不符合要求正解由题意得a21或(a1)21或a23a31.解得a1或a2或a0.又当a2时，(a1)2a23a31不符合集合中元素互异性这一特点故a2，同理a1，故只有a0.防范措施上述解法造成本题失分的主要原因是忽视了集合元素具有互异性的特征.在解此类问题时注意代入检验是防范失分的一个重要措施.补救训练1若A1,3，x，Bx2,1，且AB1,3，x，则这样的x为_答案或0解析由已知得BA，x2A且x21.x23，得x，都符合x2x，得x0或x1，而x1，x0.综合，共有3个值.忽视空集致
4、误已知集合Ax|x23x100，Bx|m1x2m1，若ABA.求实数m的取值范围错解x23x100，2x5.Ax|2x5由ABA知BA，即3m3.m的取值范围是3m3.错因分析BA，B可以为非空集合，B也可以是空集漏掉对B的讨论，是本题的一个失分点正解ABA，BA.Ax|x23x100x|2x5若B，则m12m1，即m2，故m2时，ABA；若B，则m12m1，即m2.由BA，如图所示，得解得3m3.又m2，2m3.由知，当m3时，ABA.防范措施造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质当题目中出现AB，ABA，ABB时，注意对A进行分类讨论，即分为A和A两种情况讨论补救训
5、练2已知集合Ax|x2(p2)x10，pR，若AR，则实数p的取值范围为_答案(4，)解析由于AR，先求AR的情况有即解得p4.故当AR时，p的取值范围是(4，).忽视集合运算中的边界点致误记f(x)的定义域为A，g(x)lg (xa1)(2ax)(a1)的定义域为B.若BA，求实数a的取值范围错解1f(x)的定义域为A，则A(，1)1，)g(x)的定义域为B，则B(a1,2a)BA，a11或2a1.a0或a.错解2由20，得x0，得(xa1)(x2a)0.且a1，2ax1或 a1或a2.a(，2)错因分析错解1忽视对条件a1的考虑；错解2忽视了界点，事实上：2a1或a11.正解20，0.x0
6、，得(xa1)(x2a)0.a2a，B(2a，a1)BA，2a1或a11，即a或a2，而a1，a1或a2.故当BA时，实数a的取值范围是(，2.防范措施对于错解1，解一元二次不等式时一定要将考虑抛物线的开口和含参数的讨论形成习惯.对于错解2，对于含参数的交、并、补集问题的运算，一定要注意界点.补救训练32015太原一模已知全集UR，集合Mx|(x1)(x3)0；5a250，答案中漏掉了第种情况正解解法一：5M，0或5a250.a5或a5，故填a5或a2.解法二：若5M，则0，(a2)(a5)0且a5，2a5.5M时，a0或ax250.当然，就本题而言，也可以先求出5M时的a的范围，再求其补集补
7、救训练4已知集合M，若2M，则实数a的取值范围是_答案解析若2M，则0，即(2a1)(2a21)0，a0)，则f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a.12(1)指数运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr(a0，b0，r，sQ)(2)对数运算性质已知a0且a1，b0且b1，M0，N0.则loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM，对数换底公式：logaN.推论：logamNnlogaN；logab.(3)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的
8、变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax(a0且a1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0)13幂函数yx(R)(1)若1，则yx，图象是直线当0时，yx01(x0)图象是除点(0,1)外的直线当01时，在第一象限内，图象是下凸的(2)增减性：当0时，在区间(0，)上，函数yx是增函数；当0时，在区间(0，)上，函数yx是减函数14函数与方程(1)对于函数yf(x)，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点事实上，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根(2)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a
9、)f(b)0且a1)(2)导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)(3)复合函数的导数：yxyuux.如求f(axb)的导数，令uaxb，则(f(axb)f(u)a.16函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0)注意：过某点的切线不一定只有一条17利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)0，得x2或x2或x0，即x24，t34，即t1.f(x)的定义域为x|x1防范
10、措施失分的原因是将f(x23)的定义域与f(x)的定义域等同起来了事实上，f(x23)lg与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错补救训练12016河南郑州一模若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是_答案0,1)解析02x2，0x1，又x10，即x1，0x1，即函数g(x)的定义域是0,1).分段函数的意义理解不准确致误函数f(x)在(，)上单调，则a的取值范围是_错解1若f(x)在R上单调递减，则有解得a1.错解2f(x)在R上单调，所以有解得a.错解3f(x)在R上单调
11、，所以有解得1a.错因分析对分段函数的意义理解不准确或情况考虑不全致误正解若函数在R上单调递减，则有解之得a；若函数在R上单调递增，则有解得1a，故a的取值范围是(， (1，答案(，(1，防范措施上述错解1是对分段函数在R上单调的限制条件不全而造成失分；错解2、3简单的认为单调只是增或减，没有进行分情况讨论对此类问题的求解一定要考虑周全补救训练22016陕西高三质检设函数f(x)则使得f(x)3成立的x的取值范围是_答案(，27解析当x8时，x3，x27，即8x27；当x8时，2ex83恒成立，故x0，即函数的定义域正解由x25x60知x|x3或x2令ux25x6，则ux25x6在(，2)上是
12、减函数，ylog (x25x6)的单调增区间为(，2)答案(，2)防范措施本题失分的原因就在于忽略了函数的定义域这一隐含条件.在研究函数问题时，不论什么情况，首先研究函数的定义域，这是研究函数的一条最基本原则.补救训练32016辽宁沈阳质检已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，上单调递增，f(2x1)f|2x1|x0，即36a2433(a2)0，解得a2或a0，则x1x20，解得m0，故选C.错因分析没有对m是否为零进行讨论正解当m0时，x为函数的零点；当m0时，若0
13、，即m1时，x1是函数唯一的零点，若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根一个负根，即mf(0)0，即m0，得解得a.错因分析f(x)在R上是增函数等价于f(x)0在R上恒成立漏掉了f(x)0的情况正解f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1，由f(x)0，得解得a.答案a防范措施f(x)0(0，那么sin，cos，tan(x0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
14、角2正弦sinsinsinsincos余弦coscoscoscossin3三角函数的图象与性质(1)五点法作图；(2)对称轴：ysinx，xk，kZ；ycosx，xk，kZ；对称中心：ysinx，(k，0)，kZ；ycosx，kZ；ytanx，kZ.(3)单调区间：ysinx的增区间：(kZ)，减区间：(kZ)；ycosx的增区间：2k，2k(kZ)，减区间：2k，2k(kZ)；ytanx的增区间：(kZ)(4)周期性与奇偶性：ysinx的最小正周期为2，为奇函数；ycosx的最小正周期为2，为偶函数；ytanx的最小正周期为，为奇函数易错警示：求yAsin(x)的单调区间时，容易出现以下错误
15、：(1)不注意的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；(2)忘掉写2k，或k等，忘掉写kZ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起如0,90应写为.4两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin()sincoscossin.cos()coscossinsin.tan().sin22sincos.cos2，sin2，tan2.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：()，2()()，()()()，.5三角变换基本方法：化切为弦、降幂升幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名6解三角形(1)正弦定理：2R(R为三角形外接圆的半径)注意：正弦定理的一些变式：()ab
16、csinAsinBsinC；()sinA，sinB，sinC；()a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍在ABC中ABsinAsinB.(2)余弦定理：a2b2c22bccosA，cosA等，常选用余弦定理判定三角形的形状7解三角形的实际应用问题注意区分俯角和仰角，方位角和方向角的不同8数0与零向量有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直，特别在书写时要注意，否则有质的不同9平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与
17、三角形法则：；.(2)向量满足三角形不等式：|a|b|ab|a|b|.(3)实数与向量a的积是一个向量，记为a，其长度和方向规定如下：|a|a|；0，a与a同向；0且a、b不同向；a，b为直角ab0且a、b0；a，b为钝角ab0且a、b不反向13两向量夹角的范围为0，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价14向量a在向量b上的投影|a|cos是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零15几个向量常用结论(1)0P为ABC的重心；(2)P为ABC的垂心；(3)向量(0)所在直线过ABC的内心；(4)|P为ABC的外心忽视角的范围致误已知sin，sin，且，为锐角，则_.错解、为锐角，co
18、s，cos.sin()sincoscossin.又0.或.错因分析错解中没有注意到0，对于正弦值可能会有两个解，而利用余弦求解，利用正负关系即可判断正解因为，为锐角，所以cos，cos.所以cos()coscossinsin.又因为0，所以.答案防范措施对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，)中角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos()来避免增解.补救训练12016嘉兴测试已知为钝角，sin，则sin_.答案解析cossincos，因为为钝角，即，所以sin0)是左加右减，即xa是f(x)向左平移a个单位，xa是f(
19、x)向右平移a个单位我们所说的平移多少是对x说的，即“对x说话”解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩在平移时，如x有系数，则先写成(x)的形式补救训练2将函数h(x)2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象()A.关于直线x0对称B.关于直线x1对称C.关于(1,0)点对称D.关于(0,1)点对称答案D解析依题意，将h(x)2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后得y2sin2x2，即f(x)2sin2的图象，又h(x)f(x)2，函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称.三角函数的单调性判断
20、致误函数ysin的单调区间是_错解函数ysin的单调递增区间为2kx2k，解得3kx3k；单调递减区间为2k2k，解得3kx3k，其中kZ.错因分析受思维定势，按函数ysin的单调区间的判断方法求解正解原函数变形为ysin，令u，则只需求ysinu的单调区间即可，所以ysinu在2k2k(kZ)，即3kx3k(kZ)上单调递增；ysinu在2k2k(kZ)，即3kx3k(kZ)上单调递减故ysinsinu的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为，(kZ)答案单调增区间为(kZ)，单调减区间为(kZ)防范措施当题目涉及f(x)Asin(x)的性质时，要将x视为整体，再与ysinx的相关性质对应，
21、同时注意与零的大小.补救训练32016海口调研已知函数f(x)sin2(x)(0)的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为()A. B.C. D.答案D解析依题意得f(x)cos2x，最小正周期T，2，f(x)cos4x，将f(x)cos4x的图象向右平移a个单位后得到的是函数g(x)cos4(xa)的图象. 又函数g(x)的图象关于原点对称，因此有g(0)cos4a0,4ak，kZ，即a，kZ，因此正实数a的最小值是，选D.解三角形多解、漏解致误在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a1，c.(1)若C，求A；(2)若A，
22、求b.错解(1)在ABC中，sinA，A或.(2)由，得sinC.C，由C知B，b2.错因分析在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sinA后，得出角A或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sinC，只得出角C，所以角B，解得b2.这样就出现丢解的错误正解(1)由正弦定理得，即sinA.又ac，AC，0A，A.(2)由，得sinC.C或.当C时，B，b2；当C时，B，b1.综上所述，b2或b1.防范措施 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角
23、之和与180的关系；二是两边的大小关系.补救训练42016郑州质检在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2Ccos2A2sinsin.(1)求角A的值；(2)若a且ba，求2bc的取值范围解(1)由已知得2sin2A2sin2C2，化简得sinA，故A或.(2)由正弦定理2，得b2sinB，c2sinC，故2bc4sinB2sinC4sinB2sin3sinBcosB2sin.因为ba，所以B，B0，0210，得，的取值范围是.错因分析当向量a，b同向时，0，cos1满足cos0，但不是锐角正解因为锐角，有0cos0且a，b不同向；为直角ab0；为钝角ab0且a，b不反
24、向.补救训练6设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为.若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的范围解2te17e2与e1te2的夹角为钝角，(2te17e2)(e1te2)0且2te17e2(e1te2)(0)由(2te17e2)(e1te2)0得2t215t70，7t.若2te17e2(e1te2)(0)，(2t)e1(7t)e20.即t.t的取值范围为7t0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减等差数列；若公差d0，则为常数列(3)当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.4等比数列的有关概念(1)等比数列
25、的判断方法：定义法q(q为常数)，其中q0，an0或(n2)(2)等比数列的通项：ana1qn1或anamqnm.(3)等比数列的前n项和：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要分q1和q1两种情形讨论求解(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为.5等比数列的性质当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有am
26、ana.6数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法如：；.7在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示8不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错9两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行10含参数不等式求解的通法是“定义域是前提，函数增减性是基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集11利用基本不等式ab2以及变式ab2等求函数的
27、最值时，务必注意a，bR(或a，b非负)，ab或ab应是定值，特别要注意等号成立的条件12解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解数列an与Sn的关系不清致误已知数列an的前n项之和为Snn2n1，则数列an的通项公式为_错解an2n错因分析若an2n，则a12，事实上a1S13.正解当n1时，a1S13；当n2时，ann2n1(n1)2(n1)12n，an答案an防范措施本题的失分原因是没有注意到anSnSn1是在n2的条件下才能成立这是由于对数列概念理解不透彻所致在解关于由Sn求an的题目时，按两步进行讨论，可避免出错当n1时，a1S1；当n2时，an
28、SnSn1.检验a1是否适合由求得的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用分段函数：an来表达补救训练1已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2，nN*)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由an2SnSn10(n2，nN*)，得SnSn12SnSn10，所以2(n2，nN*)，故是等差数列(2)由(1)知，2n，故Sn，anSnSn1(n2，nN*)，所以an忽视等比数列中q的分类讨论致误设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列的公比q是_错解由S3S6S9得q9q6q310，即(q61)(q31)0q1，q61，q1.错
29、因分析当q1时，符合要求很多考生在做本题时都想当然地认为q1.正解当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q1时，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1防范措施在表示等比数列an的前n项和时，考生只想到Sn，把q1的情况不自觉地排除在外，这是对前n项和公式理解不透彻所致解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论，这是防止出错的一个很好方法补救训练22016湖北八校联考在等比数列an中，a3，S3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2，且bn为递增数列，若cn，求证：c1c2c3cn.解(1)设等比数
30、列an的公比为q，则由题意得S3a1a2a3，解得q1或q，当q1时，an；当q1时，a16，an6n1.(2)证明：bn为递增数列，an6n1，a2n16n，bn2n，cn，c1c2c3cn.数列求最值忽略n的限制条件致误已知数列an的通项公式为an(n2)n(nN*)，则数列an的最大项是()A第6项或第7项 B第7项或第8项C第8项或第9项 D第7项错解因为an1an(n3)n1(n2)nn，当n0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an，当n7时，an1an0，即an1an，故a7最大，选D.错因分析忽略了a70，a7a8.正解因为an1an(n3)n1(n2)nn，当n0
31、，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an.故a1a2a9a10，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.答案B防范措施求解数列an的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误.补救训练3已知数列bn通项公式为bn3n1，Tn为bn的前n项和若对任意nN*，不等式2n7恒成立，则实数k的取值范围为_答案k解析因为bn3n1，所以Tn36.因为不等式2n7，化简得k对任意nN*恒成立设cn，则cn1cn，
32、当n5且nN*时，cn1cn，cn为单调递减数列，当1ncn，cn为单调递增数列，c40，数列an的前n项和为Sn，数列|an|的前n项和为Tn，则,当nm时，Tn(a1a2an)Sn，,当nm时，Tn(a1a2am)(am1an)Sn2Sm，要注意这个转化策略.在数列问题中，一定要注意项数n的取值范围，特别是在它取不同的值造成不确定的因素时，要注意对其加以分类讨论.补救训练4已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解(1)由已知设an的公差为d，得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1
33、)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列，当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式，综上，Sn裂项相消求和忽略余项致误在数列an中，an，又bn，则数列bn的前n项和为()A. B.C. D.错解an(12n)，从而bn，所以数列bn的前n项和Sn1，故选B.错因分析bn
34、4，裂项前后等号不成立正解由已知得an(12n)，从而bn4，所以数列bn的前n项和为Sn44.故选D.答案D防范措施裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误，一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的.补救训练5正项等差数列an满足a14，且a2，a42,2a78成等比数列，an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an公差为d(d0)，由已知得a2(2a78)(a42)2，化简得d24d120，解得d2或d6(舍)，所以ana1(n1)d2n2.(2)因为Snn23n，所以bn，所以Tnb1b2b3bn.忽视基本
35、不等式中等号成立的条件致误已知：a0，b0，ab1，求22的最小值错解由22a2b242ab4448，得22的最小值是8.错因分析 两次利用基本不等式，条件不能同时成立正解22a2b24(a2b2)4(ab)22ab4(12ab)4，由ab2，得12ab1，且16,117.原式174(当且仅当ab时，等号成立)，22的最小值是.防范措施利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、二定、三相等”的条件在上面的解答中，两次用到了基本不等式a2b22ab，第一次等号成立的条件是ab，第二次等号成立的条件是ab，显然，这两个条件是不能同时成立的，因此，8不是最小值解决这类问题时，应尽量避免多
36、次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检查等号是否能同时成立补救训练62016唐山一模已知x，yR，满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24，当且仅当x2y时取等号又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12.综上可得4x24y212.五、立体几何1在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主2在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴
37、的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”3计算空间几何体的体积时要注意：分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；进行合理的转化和一些必要的等积变换附：简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧ch(c为底面的周长，h为高)(2)S正棱锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)(3)S正棱台侧(cc)h(c与c分别为上、下底面周长，h为斜高)(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧2rl(r为底面半径，l为母线)，S圆锥侧rl(同上)，S圆台侧(rr)l(r、r分别为上、下底的半径，l为母线)(5)体积公式V柱Sh(S为底面面积，h为高)，V锥Sh(S为底
38、面面积，h为高)，V台(SS)h(S、S为上、下底面面积，h为高)(6)球的表面积和体积S球4R2，V球R3.4空间直线的位置关系(1)相交直线有且只有一个公共点(2)平行直线在同一平面内，没有公共点(3)异面直线不在同一平面内，也没有公共点5线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，证明时不要漏写；证明面面平行时，必须是一个面内的两条相交直线与另一个面平行或是一个面内的两条相交线平行于另一个面内的两条相交线；证明面面垂直时必须证明一个面内的一条直线垂直于另一个平面，这条直线要选准；已知面面垂直时，先根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，再得线线垂直附：空间的平行关系(1)线面平行：a；
39、a；a；(2)面面平行：；(3)线线平行：ab；ab；ab；ab.空间的垂直关系(1)线面垂直：l；a；a；b；(2)面面垂直：二面角90；(3)线线垂直：ab.6注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系，对照前后图形弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系7几种角的范围两条异面直线所成的角090；直线与平面所成的角090；斜线与平面所成的角090；二面角0180；两条相交直线所成的角(夹角)090；直线的倾斜角0180；两个向量的夹角0180；锐角00)，只有当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0才表示圆心为，半径
40、为的圆7直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l：AxByC0和圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)有相交、相离、相切可从代数和几何两个方面来判断：代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交；0相离；0相切；几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相离；dr相切(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则当|O1O2|r1r2时，两圆外离；当|O1O2|r1r2时，两圆外切；当|r1r2|O1O2|r1r2时，两圆相交；当|O1O2|r1r2|时，两圆内切；当0|O1O2|b0)；焦点在y轴上，1
41、(ab0)(2)双曲线的标准方程：焦点在x轴上，1(a0，b0)；焦点在y轴上，1(a0，b0)(3)与双曲线1具有共同渐近线的双曲线系为(0)(4)抛物线的标准方程焦点在x轴上：y22px(p0)；焦点在y轴上：x22py(p0)10(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦
42、长|P1P2|或|P1P2|.(3)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则焦半径|CF|x1；弦长|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.11注意求轨迹方程与求轨迹的区别：轨迹是图形要有定型、定位、定量条件，轨迹方程是方程，注意其约束条件直线的倾斜角与斜率关系不清致误已知直线xsiny0，则该直线的倾斜角的变化范围是_错解由题意得，直线xsiny0的斜率ksin，1sin1，1k1，直线的倾斜角的变化范围是.错因分析直线斜率ktan(为直线的倾斜角)在0，)上是不单调的且不连续正解由题意得，直线xsiny0直线的斜率ksin，1sin1，
43、1k1，当1k0，所以由基本不等式，得k(当且仅当x0时，等号成立)又k0，所以1k0，即1tan0.所以2r得到点(3,5)在圆外，所以过点(3,5)的切线应有2条当切线的斜率存在时，设方程为y5k(x3)，由圆心到切线的距离d2，化简得12k5，可解得k，所以切线方程为5x12y450.当过(3,5)的直线斜率不存在时，直线方程为x3，与圆相切综上可知切线方程为5x12y450或x3.忽视圆的一般方程中隐含条件致误已知圆C的方程为x2y2ax2ya20，一定点为A(1,2)，且过定点A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围错解将圆C的方程配方有2(y1)2.圆心C的坐标为，半径r.当点
44、A在圆外时，过点A可以作圆的两条切线，|AC|r，即 ，化简得a2a90，149350.aR.错因分析忽视了x2y2ax2ya20表示圆的条件正解由题意知解得a0.本题的失分原因是忽视了这个条件.在解决此类问题时，可以直接判断D2E24F0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2.补救训练3已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x2y22axay2a2a10相切，则实数a_.答案1解析由题意，得点P(2,1)一定在圆C上，且方程x2y22axay2a2a10表示一个圆，所以a1.焦点位置考虑不全致误已知椭圆1的离心率等于，则m_.错解由已知a24即a2，又，得c，故mb2a
45、2c21.错因分析对焦点位置没有分情况讨论，误认为焦点在x轴上造成漏解正解当椭圆的焦点在x轴上时，则由方程，得a24，即a2.又e，所以c，mb2a2c222()21.当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.则由方程，得b24，即b2.又e，故.解得，即a2b，所以a4.故ma216.综上，m1或16.答案1或16防范措施在圆锥曲线方程问题中，当焦点位置不明确时要注意依焦点所在位置进行分情况讨论，以免造成漏解.补救训练42016南昌一模以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为()A2或 B2或C. D2答案B解析当双曲线的焦点在x轴上时，由题
46、意知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所以tan，所以ba，c2a，故双曲线C的离心率e2；当双曲线的焦点在y轴上时，由题意知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所以tan，所以ab，c2b，故双曲线C的离心率e.综上所述，双曲线C的离心率为2或.忽视特殊情况(位置)致误双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为_错解 如图，设|PF2|m，F1PF2(0)，由条件得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos，且|PF1|PF2|m2a.所以e.又1cos1，所以e(1,3)错因分析漏掉
47、了P在x轴上的情况，即F1PF2时的情况正解设|PF2|m，F1PF2(0)，当点P在右顶点处时，.当点P不在顶点时，由条件，得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos，且|PF1|PF2|m2a.所以e.又1cos0)，所以1，解得p2，所以曲线的方程为y24x.(2)为定值0.证明如下：当过点F的直线l与x轴垂直时，则直线l的方程为x1，根据抛物线的对称性，知点P在x轴上，所以PFAB，所以0.当过点F的直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为yk(x1)，k0，由得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k416k2160，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P
48、(xP，yP)，不妨设y10，y20)，得y2，y，所以过点A的切线PA的方程为yy1(xx1)，即y；由y24x(y0，2k20解得k，故不存在被点A(1,1)平分的弦正解2设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则式得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)因为点A(1,1)为线段PQ的中点，所以将式、代入式得x1x2(y1y2)若x1x2，则直线l的斜率k2.所以直线l的方程为2xy10，再由得2x24x30.根据80)的焦点在x轴上，右顶点与上顶点分别为A、B.顶点在原点，分别以A、B为焦点的抛物线C1、C2交于点P(不同于O点)，且以BP为直径的圆经过
49、点A.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与OP垂直的动直线l交椭圆C于M、N不同两点，求OMN面积的最大值和此时直线l的方程解(1)由已知得A(a,0)，B(0,1)，以A为焦点的抛物线C1的方程为y24ax，以B为焦点的抛物线C2的方程为x24y.由得P(4a，4a)，又以BP为直径的圆经过点A，0，(4aa,4a)(a,1)0，即a4a40，得a2，a28，故椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知P(4，8)，kOP，直线l的斜率kl.设直线l的方程为yxt，由得5y22tyt240，则4t245(t24)0，解得t25，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，由弦长公
50、式得|MN|y2y1| .又点O到直线l的距离为d|t|，SOMN|MN|d|t|2(t25t2)，当且仅当t25t2时等号成立，又t20，b0)的焦距为2，其一条渐近线的倾斜角为，且tan.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E.(1)求椭圆E的方程；(2)设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由解(1)双曲线1的焦距2c2，则c，a2b27，渐近线方程为yx，由题知tan，由解得a24，b23，椭圆E的方程为1.(2)在(1)的条件下，当直线PQ的斜率存在时，设直
51、线PQ的方程为ykxm，由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又A(2,0)，由题知kAPkAQ，则(x12)(x22)4y1y20，且x1，x22，则x1x22(x1x2)44(kx1m)(kx2m)(14k2)x1x2(24km)(x1x2)4m24(24km)4m240，则m2km2k20，(m2k)(mk)0，m2k或mk.当m2k时，直线PQ的方程为ykx2kk(x2)，此时直线PQ过定点(2,0)，显然不适合题意当mk时，直线PQ的方程为ykxkk(x1)，此时直线PQ过定点(1,0)当直线PQ的斜率不存在时，若
52、直线PQ过定点(1,0)，P、Q点的坐标分别是、，满足kAPkAQ.综上，直线PQ恒过定点(1,0).忽略变量间的关系致误已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，直线ykxm(k0，m0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的圆上，求m的取值范围错解由已知，得解之得a23，b21.所以双曲线方程为y21.将直线ykxm代入双曲线方程，并整理得(13k2)x26kmx3m230，所以12(m213k2)0. 设CD中点为P(x0，y0)，则APCD，且易知：x0，y0.所以kAP3k24m1.将式代入式，得m24m0，解得m4
53、或m0.设CD中点为P(x0，y0)，则APCD，且易知：x0，y0.所以kAP.3k24m1.将式代入式，得m24m0，解得m4或m0，所以m.故所求m的范围应为(4，)防范措施由于直线和圆锥曲线的位置关系问题是几何问题，往往会用到图形的一些平面几何性质，如本题，CD是圆的弦，圆心与弦中点的连线垂直于弦，垂直关系可以较方便地利用斜率互为负倒数而表示出来，解析几何不等的关系通常由判别式大于、等于0而得到.通过圆心与弦中点的连线垂直于弦，建立k与m两变量间的关系是关键，若不考虑0或k与m两变量之间的制约关系，则会出现解答不全，导致错误.补救训练82016洛阳高三统考已知椭圆C：1(ab0)的离心
54、率为，一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOAkOB，判断AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由解(1)由题意得c1，又e，所以a2，从而b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(34k2)x28mkx4(m23)0，由(8mk)216(34k2)(m23)0得m20.由弦长公式得|AB|x1x2|.又点O到直线l：ykxm的距离d，所以SAOBd|AB| ，故AOB的面积为定值.七、概率与统计1应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首
55、先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和2正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3解决古典概型的重要前提是求基本事件的总数，这些基本事件必须是等可能的，同时应注意：在涉及抛掷骰子的问题中，将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的出现的点数为(a，b)和(b，a)是两种不同的情况，应作为两个基本事件4解决概率问题要弄清几个事件：等可能事件(涉及排列组合)、互斥事件(或和事件)、相互独立事件(或积事件)、独立重复事件(注意是否带有条件)，合理选用公式若A与B是相互独立事
56、件，则A与，与B，与也都是相互独立事件5要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为，因而有P(A|B)P(AB)6几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A).此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等即P(A).7对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，
57、从中发现有用信息和数据对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了8众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标平均数：样本数据的算术平均数，即(x1x2xn)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和标准差的平方就是方
58、差，方差的计算(1)基本公式s2(x1)2(x2)2(xn)2(2)简化计算公式s2(xxx)n2，或写成s2(xxx)2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方9变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)线性回归方程x，其中10独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表如表：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd根据观测数据计算由公式K2所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关
59、系”的可信程度抽样方法理解不清致误某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是 ()A简单随机抽样法B抽签法C系统抽样法 D分层抽样法错解A错因分析没有理解三种随机抽样的概念，本质特点没有抓住正解显然总体差异明显，并且按比例进行抽样，是分层抽样，选D答案D防范措施简单随机抽样常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样法常常用于总体个数较多时；分层抽样常常用于总体由差异明显的几部分组成，主要特征是分层并按比例抽样.分层抽样是高考考查的一个热点，因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类
60、抽样应用空间大.补救训练12016郑州三模某中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1,2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2，270，并将整个编号依次分为10段如果抽得号码有下列四种情况：7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；30,
61、57,84,111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本的下列结论中，正确的是()A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样 D、都可能为分层抽样答案D解析由分层抽样和系统抽样概念可知，选D.“基本事件”概念不清致误先后抛掷三枚硬币，则出现“两个正面，一个反面”的概率为_错解所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反；出现“两正一反”的概率为.错因分析没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可能的正解 所有的基本事件有：(正，正，正)(正，正，反)(正，反，正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反)八种，而“两正
62、一反”事件含三个基本事件，P.答案防范措施对于公式P(A)(n和m分别表示基本事件总数和事件A包含的基本事件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立解题时要充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性补救训练22016西安八校联考从a，b，c三人中选出两人参加演讲比赛，则a被选中的概率为_答案解析由题意得从a，b，c三人中选出两人有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共三种情况，其中a被选中有(a，b)，(a，c)，共两种情况，故所求概率P.互斥事件概念不清致误抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面
63、的数不超过3”，求P(AB)错解因为P(A)，P(B)，所以P(AB)P(A)P(B)1.错因分析事件A、B不是互斥事件，使用加法公式错误正解将AB分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件C，出现“5”为事件D，则C与D两事件互斥，所以P(AB)P(CD)P(C)P(D).防范措施在应用公式P(AB)P(A)P(B)求解概率问题时，一定要注意分析事件是否互斥，若事件不互斥，可以转化为互斥事件，再用公式.补救训练3在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂现有芳香度分别为0,1,2,3,
64、4,5的六种添加剂可供选用根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率解设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B，随机选取两种的情况为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(4,5)，共15种(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)故P(A).(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)故P(B)1.
65、几何概型中“测度”不准致误如图所示，在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AMAC的概率为_错解记AMAC为事件E，设ACBCa，因为ABC为直角三角形，所以ABa.在AB上任取一点D，使ADACa，那么对线段AD上的任意一点M都有AMADAC.故AMAC的概率P(E).错因分析由题意，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，则射线CM在ACB内部均匀分布，但点M在AB上的分布是不均匀的正解 在AB上取一点D，使ADAC，设AMAC为事件E因为ADACa，A，所以ACDADC.则P(E).答案防范措施等可能性是判断一个实验是不是几何概型的重要特征
66、之一，在解题过程中若忽视该性质，常常会导致解题错误.解决此类问题一般分析等可能性，明确测度，计算概率.补救训练42016贵州七校联盟联考设直角三角形的直角边长x，y均为区间(0,1)内的随机数，则斜边长小于的概率为()A. B.C. D.答案A解析由题意知不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，面积S11.根据勾股定理可得斜边长为，根据题意可得，x2y26 Bi7Ci8 Di9错解C，条件判断不准，循环次数减少错因分析对循环结束的条件判断不准确正解依次执行程序框图中的语句：x1，y1，i2，输出(1,1)(1次)；x0，y1，i3，输出(0,1)；x1，y0，i4，输出(1,0)；x0，y0
67、，i5，输出(0,0)(2次)；x1，y1，i6，输出(1,1)(3次)；x0，y1，i7，输出(0,1)；x1，y0，i8，输出(1,0)；x0，y0，i9，输出(0,0)(4次)；x1，y1，i10，输出(1,1)(5次)，此时跳出循环，故判断框中可填写的条件是“i9？”，故选D.答案D防范措施条件结构的程序框图是对判断条件的分类，是逐级进行的，其中不能有遗漏和重复，在解题时要对判断条件仔细辨别，看清条件的函数的对应关系.补救训练22016海口调研执行如图的程序框图，则输出的i_.答案4解析进行第一次循环时，S20，i2，S201；进行第二次循环时，S4，i3，S41；进行第三次循环时，S
68、0.8，i4，S0.81，此时结束循环，输出的i4.归纳不严密致误2016湖北七市联考观察下列等式123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)；可以推测，1515n(n1)(n2)(n3)_.错解根据式子的给出规律可知，等式右侧为n(n1)(n2)(n3)(n4)错因分析右侧的出现规律归纳不准确正解根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n1)(n2)(n3)(n4)n(n1)(n2)(n3)(n4)答案n(n1)(n2)(n3)(n4)防范措施熟练掌握归纳推理的解题思路：观察推广猜测，把握所给式子的结构特征及出现规律.补救训练3观察下列等式：1312,132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第n个等式为_答案13233343n32解析由题知1312；13232；1323332；132333432；13233343n32.
