1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第四节 垂直关系 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题上一页返回首页下一页高三一轮总复习1直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直任意上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)定理文字语言图形语言符号语言 判定定理如果一条直线和一个平面内的两条都垂直，那么该直线与此平面垂直ablalbabAl相交直线上一
2、页返回首页下一页高三一轮总复习性质定理如果两条直线同，那么这两条直线平行ab ab垂直于一个平面上一页返回首页下一页高三一轮总复习2.二面角(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角这条直线叫作二面角的，这两个半平面叫作二面角的(2)二面角的度量二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角平面角是的二面角叫作直二面角两个半平面棱面垂直于直角上一页返回首页下一页高三一轮总复习3平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直直二面角上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)定理文字语言图
3、形语言符号语言 判定定理如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直ll 垂线上一页返回首页下一页高三一轮总复习性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直lalal交线上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)设，
4、是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l，m.()A若 l，则 B若，则 lmC若 l，则 D若，则 lmA l，l，(面面垂直的判定定理)，故 A 正确上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则()Aml BmnCnlDmnC l，l.n，nl.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4如图 7-4-1，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_图 7-4-1上一页返回首页下一页高三一轮总复习4 PA平面 ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC 为直角三角形 由 BCAC，且
5、 ACPAA，BC平面 PAC，从而 BCPC.因此ABC，PBC 也是直角三角形上一页返回首页下一页高三一轮总复习5边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则折叠后 AC 的长为_.【导学号：57962336】上一页返回首页下一页高三一轮总复习a 如图所示，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，则AOC 是二面角 A-BD-C的平面角 即AOC90，又 AOCO 22 a，ACa22 a22 a，即折叠后 AC 的长(AC)为 a.上一页返回首页下一页高三一轮总复习线面垂直的判定与性质 如图 7-4-2，在三棱锥 A-BCD 中，AB平面 BCD，CDBD.图 7-4
6、-2(1)求证：CD平面 ABD；(2)若 ABBDCD1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)证明：因为 AB平面 BCD，CD平面 BCD，所以 ABCD.2 分 又因为 CDBD，ABBDB，AB平面 ABD，BD平面 ABD，所以 CD平面 ABD.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由 AB平面 BCD，得 ABBD.又 ABBD1，所以 SABD121212.8 分因为 M 是 AD 的中点，所以 SABM12SABD14.根据(1)知，CD平面 ABD，则三棱锥 C-ABM 的高 hCD1，故 VA-MBCVC-A
7、BM13SABMh 112.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质 2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1 如图 7-4-3 所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB上一点，且 AD13DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC，PD平面 ABC，PDDB.图 7-4-3求证：PAC
8、D.上一页返回首页下一页高三一轮总复习证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 ACCB，在 RtABC 中，由 3ACBC，得ABC30.3 分 设 AD1，由 3ADDB，得 DB3，BC2 3，由余弦定理得 CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以 CD2DB2BC2，即 CDAO.8 分 因为 PD平面 ABC，CD平面 ABC，所以 PDCD，由 PDAOD，得 CD平面 PAB，又 PA平面 PAB，所以 PACD.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习面面垂直的判定与性质 (2017郑州调研)如图 7-4-4，三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G，H 分别为 A
9、C，BC 的中点图 7-4-4(1)求证：BD平面 FGH；(2)若 CFBC，ABBC，求证：平面 BCD平面 EGH.上一页返回首页下一页高三一轮总复习证明(1)如图所示，连接 DG，CD，设 CDGFM，连接 MH.1 分 在三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G 为 AC 的中点，可得 DFGC，DFGC，所以四边形 DFCG 为平行四边形.3 分 则 M 为 CD 的中点，上一页返回首页下一页高三一轮总复习又 H 为 BC 的中点，所以 HMBD，由于 HM平面 FGH，BD/平面 FGH，故 BD平面 FGH.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)连接 HE，CE，C
10、D.因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点，所以 GHAB.6 分 由 ABBC，得 GHBC.又 H 为 BC 的中点，所以 EFHC，EFHC，因此四边形 EFCH 是平行四边形，所以 CFHE.10 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习由于 CFBC，所以 HEBC.又 HE，GH平面 EGH，HEGHH.所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面
11、角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 2垂直问题的转化关系：上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2 如图 7-4-5，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAPB，M，N 分别为 AB，PA 的中点图 7-4-5(1)求证：PB平面 MNC；(2)若 ACBC，求证：PA平面 MNC.上一页返回首页下一页高三一轮总复习证明(1)因为 M，N 分别为 AB，PA 的中点，所以 MNPB，2 分 又因为 MN平面 MNC，PB/平面 MNC，所以 PB平面 MNC.5 分(2)因为 PAPB，MNPB，所以 PAMN.因为 ACBC，AMBM，所以
12、 CMAB.7 分 因为平面 PAB平面 ABC，上一页返回首页下一页高三一轮总复习CM平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB.所以 CM平面 PAB.10 分 因为 PA平面 PAB，所以 CMPA.又 MNCMM，所以 PA平面 MNC.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习平行与垂直的综合问题 角度 1 多面体中平行与垂直关系的证明(2016江苏高考)如图 7-4-6，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.图 7-4-6求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面
13、 A1C1F.上一页返回首页下一页高三一轮总复习证明(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1C1AC.在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1.3 分 又因为 DE/平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1.7 分 又因为 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1A1，所以 A1C1平面 AB
14、B1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D.10 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习又因为 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A1FA1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化 2垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 上一页返回首页下一页高三一轮总复习角度 2 平行垂直中探索开放问题(2017秦皇岛调研)如图 7-4-7(1
15、)所示，在 RtABC 中，C90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1FCD，如图 7-4-7(2)所示上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)(2)图 7-4-7(1)求证：A1FBE；(2)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？并说明理由.【导学号：57962337】上一页返回首页下一页高三一轮总复习证明(1)由已知，得 ACBC，且 DEBC.所以 DEAC，则 DEDC，DEDA1，因为 DCDA1D，所以 DE平面 A1DC.2 分 由于 A1F平面 A1DC，所以 DEA1F.上
16、一页返回首页下一页高三一轮总复习又因为 A1FCD，CDDED，所以 A1F平面 BCDE，又 BE平面 BCDE，所以 A1FBE.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ.6 分理由如下：如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，连接 PQ，则 PQBC.上一页返回首页下一页高三一轮总复习又因为 DEBC，则 DEPQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEQP.9 分由(1)知，DE平面 A1DC，所以 DEA1C.又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1CDP.上一页返回首页下一页高三一轮总复习又 DP
17、DED，所以 A1C平面 DEQP.从而 A1C平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C平面 DEQ.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性 2平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.上一页返回首页下一页高三一轮总复习线面角的求法与应用(2016浙江高考)如图 7-4-8，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE平面
18、ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.图 7-4-8(1)求证：BF平面 ACFD；(2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)证明：延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示.1 分 因为平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC，所以 AC平面 BCK，3 分 因此，BFAC.又因为 EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BFCK.所以 BF平面 ACFD.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)因为 BF平面 ACK，所以BDF 是直线 BD 与平面 ACFD
19、所成的角.8 分 在 RtBFD 中，BF 3，DF32，得 cosBDF 217，所以直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 217.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角(2)证：证明找出的角即为所求的角(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角 2线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3 如图 7-4-9，在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PA
20、ABBC，E 是 PC 的中点图 7-4-9(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小；(2)证明：AE平面 PCD.上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，故 PAAB.又 ABAD，PAADA，从而 AB平面 PAD，2 分 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA，从而APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角 在 RtPAB 中，ABPA，故APB45.PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)证明：在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面 A
21、BCD，故 CDPA.由条件 CDAC，PAACA，CD平面 PAC.7 分 又 AE平面 PAC，AECD.上一页返回首页下一页高三一轮总复习由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.10 分 又 PCCDC，故 AE平面 PCD.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与 内任一直线都垂直a；(2)判定定理 1：m，n，mnAlm，lnl；(3)判定定理 2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala.上一页返回首页下一页高三一轮总复习2证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3转化思想：垂直关系的转化 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范 1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（四十一）点击图标进入