1、第十四章 坐标系与参数方程 挖命题【真题典例】【考情探究】考点 内容解读 5 年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 坐标系与 极坐标 了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换;了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化;能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程 2018 课标全国,22,10分 极坐标与直角坐标的互化 直线与圆的位置关系 2017 课标全国,22,10分 极坐标与直角坐标的互化 三角形的面积 2017 课标全国,22,10分 极坐标与参数方程 参数方程与普通方程的互化 2016 课标全国,23,10分 极坐标与直角坐标的互化 两圆的位置
2、关系 参数方程 了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质 2018 课标全国,22,10分 参数方程与普通方程的互化 直线参数方程的应用 2018 课标全国,22,10分 参数方程与普通方程的互化 直线与圆的位置关系 2017 课标全国,22,10分 参数方程与普通方程的互化 直线与椭圆的位置关系 分析解读 坐标系与参数方程是高考的选考部分,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章内容在高考中以极坐标方程或参数方程为载体,考查直线与圆以及直线与圆锥曲线的位置关系等知识,分值为 10 分
3、,属于中档题.破考点【考点集训】考点一 坐标系与极坐标 1.(2019 届贵州贵阳 9 月调研,22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为=2+2cos,=2sin(为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为=3sin+cos,曲线 C3的极坐标方程为=6.(1)把曲线 C1的参数方程化为极坐标方程;(2)曲线 C3与曲线 C1交于点 O、A,与曲线 C2交于点 O、B,求|AB|.解析(1)根据题意得曲线 C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,即 x2+y2-4x=0.由 x=cos,y=sin,得 2=4cos,曲线 C1的极
4、坐标方程为=4cos.(2)设点 A 的极坐标为(1,6)(10),点 B 的极坐标为(2,6)(20),则 1=4cos 6=23,2=3sin 6+cos 6=32+32=3,|AB|=|1-2|=3.2.(2019 届河南顶级名校第一次联考,22)在平面直角坐标系中,曲线 C1:x2-y2=2,曲线 C2的参数方程为=2+2cos,=2sin(为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 C1,C2的极坐标方程;(2)在极坐标系中,射线=6 与曲线 C1,C2分别交于 A,B 两点(异于极点 O),定点 M(3,0),求MAB 的面积.解析(1)根据题
5、意得曲线 C1的极坐标方程为 2cos2-2sin2=2.由曲线 C2的参数方程得曲线 C2的普通方程为(x-2)2+y2=4,即 x2+y2-4x=0,曲线 C2的极坐标方程为=4cos.(2)由(1)得点 A 的极坐标为(2,6),点 B 的极坐标为(23,6).|AB|=|2-23|=23-2,定点 M(3,0)到射线=6(0)的距离 d=3sin 6=32,MAB 的面积为12|AB|d=12(23-2)32=33-32.考点二 参数方程 1.(2019 届广东珠海 11 月期中,22)已知倾斜角为 且经过点 M(3,0)的直线 l 与椭圆 C:24+y2=1 交于 A、B 两点.(1
6、)若=3,写出直线 l 与椭圆 C 的参数方程;(2)若|=33,求直线 l 的普通方程.解析(1)直线 l 的参数方程为=3+12 t,=32 t(t 为参数).椭圆 C 的参数方程为=2cos,=sin(为参数).(2)将直线 l 的参数方程=3+tcos,=sin(t 为参数)代入24+y2=1 中,得(cos2+4sin2)t2+(23cos)t-1=0.设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2.t1+t2=-23coscos2+4sin2,t1t2=-1cos2+4sin2,|AB|=|t1-t2|=(1+2)2-412=4cos2+4sin2=41+3sin2.由|=33 得41+
7、3sin2=3,sin2=19.直线 l 的普通方程为 y=24(x-3).2.(2014 课标,23,10 分)已知曲线 C:24+29=1,直线 l:=2+,=2-2(t 为参数).(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线 C 的参数方程为=2cos,=3sin(为参数).直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos,3sin)到 l 的距离 d=55|4cos+3sin-6|,则|PA|=sin30=255|5si
8、n(+)-6|,其中 为锐角,且 tan=43.当 sin(+)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当 sin(+)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为255.炼技法【方法集训】方法 1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 1.(2019 届河南 11 月八市联考,22)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P(x,y)的坐标满足=,=2(其中 tR).在以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,直线 l 的极坐标方程为sin(+)=cos 其中 为常数,且 k+2,kZ.(1)求动点 P 的轨迹 C 的极坐标方程(写成=f()的形式);(2
9、)设直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点,求证:当 变化时,AOB 的大小恒为定值.解析(1)由=,=2消去参数 t,得曲线 C 的直角坐标方程为 x2=y.将 x=cos,y=sin 代入 x2=y,得 2cos2=sin.所以曲线 C 的极坐标方程为=sincos2.(2)证明:将 l 与 C 的极坐标方程联立,消去 得sinsin(+)cos2=cos,展开得sin(sincos+cossin)cos2=cos.根据已知得 cos 0,于是可以得到 tan2+tan tan-1=0.设 A(1,1),B(2,2),由根与系数的关系得 tan 1tan 2=-1.两边同乘 cos 1c
10、os 2,可得 cos(1-2)=0,解得 1-2=k+2(kZ).故当 变化时,AOB 的大小为定值2.2.(2018 四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线 C 的参数方程为=-1+2cos,=1+2sin(为参数),直线 l 过点(-1,0),且斜率为12,射线OM 的极坐标方程为=34.(1)求曲线 C 和直线 l 的极坐标方程;(2)已知射线 OM 与曲线 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.解析(1)曲线 C 的参数方程为=-1+2cos,=1+2sin(为参数)
11、,曲线 C 的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,将 x=cos,y=sin 代入整理得+2cos-2sin=0,即曲线 C 的极坐标方程为=22sin(-4).直线 l 过点(-1,0),且斜率为12,直线 l 的方程为 y=12(x+1),直线 l 的极坐标方程为 cos-2sin+1=0.(2)当=34 时,|OP|=22sin(34-4)=22,|OQ|=1222+22=23,故线段 PQ 的长为 22-23=523.方法 2 参数方程与普通方程的互化方法 1.(2019 届宁夏顶级名校第二次月考,22)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为=3-,=1+(t 为参数)
12、.在以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C:=22cos(-4).(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.解析(1)由=3-,=1+(t 为参数)消去 t 得 x+y-4=0,所以直线 l 的普通方程为 x+y-4=0.由=22cos(-4)=22(coscos 4+sinsin 4)=2cos+2sin,得 2=2cos+2sin.将 2=x2+y2,cos=x,sin=y 代入式,得 x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.所以曲线 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2
13、=2.(2)设曲线 C 上的点 P(1+2cos,1+2sin),则点 P 到直线 l 的距离 d=|1+2cos+1+2sin-4|2=|2(sin+cos)-2|2=|2sin(+4)-2|2,当 sin(+4)=-1 时,dmax=22.故曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 22.2.(2018 广东茂名二模,22)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为=2cos1-cos2,直线 l 的参数方程为=2+cos,=1+sin(t 为参数,00),M 的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|
14、=1=4cos.由|OM|OP|=16 得 C2的极坐标方程为=4cos(0).因此 C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点 B 的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB 的面积S=12|OA|BsinAOB=4cos|sin(-3)|=2|sin(2-3)-32|2+3.当=-12时,S 取得最大值 2+3.所以OAB 面积的最大值为 2+3.3.(2016 课标全国,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为=cos,=1+sin(t 为参数,a0).在以坐标原点为极点,x 轴正半
15、轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:=4cos.(1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为=0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a.解析(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2 分)将 x=cos,y=sin 代入 C1的普通方程中,得到 C1的极坐标方程为 2-2sin+1-a2=0.(4 分)(2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 2-2sin+1-2=0,=4cos.(6 分)若 0,由方程组得 16cos2-8s
16、in cos+1-a2=0,(8 分)由已知 tan=2,可得 16cos2-8sin cos=0,从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去)或 a=1.a=1 时,极点也为 C1,C2的公共点,在 C3上.所以 a=1.(10 分)4.(2016 课标全国,23,10 分)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;(2)直线 l 的参数方程是=cos,=sin(t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=10,求 l 的斜率.解析(1)由 x=cos,y=sin 可得圆 C 的
17、极坐标方程为 2+12cos+11=0.(3 分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为=(R).设 A,B 所对应的极径分别为 1,2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2+12cos+11=0.(6 分)于是 1+2=-12cos,12=11.|AB|=|1-2|=(1+2)2-412=144cos2-44.(8 分)由|AB|=10得 cos2=38,tan=153.所以 l 的斜率为153 或-153.(10 分)5.(2015 课标,23,10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极
18、点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求 C1,C2的极坐标方程;(2)若直线 C3的极坐标方程为=4(R),设 C2与 C3的交点为 M,N,求C2MN 的面积.解析(1)因为 x=cos,y=sin,所以 C1的极坐标方程为 cos=-2,C2的极坐标方程为 2-2cos-4sin+4=0.(5 分)(2)将=4 代入 2-2cos-4sin+4=0,得 2-32+4=0,解得 1=22,2=2,故 1-2=2,即|MN|=2.由于 C2的半径为 1,所以C2MN 的面积为12.(10 分)考点二 参数方程 1.(2018 课标全国,22,10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在平
19、面直角坐标系 xOy 中,O 的参数方程为=cos,=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A,B 两点.(1)求 的取值范围;(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.解析(1)O 的直角坐标方程为 x2+y2=1.当=2 时,l 与O 交于两点.当 2 时,记 tan=k,则 l 的方程为 y=kx-2.l 与O 交于两点当且仅当|21+2|1,解得 k1,即(4,2)或(2,34).综上,的取值范围是(4,34).(2)l 的参数方程为 =cos,=-2+tsin(为参数,4 34).设 A,B,P 对应的参数分别为 tA,tB,tP,则 tP=+2,且
20、 tA,tB满足 t2-22tsin+1=0.于是 tA+tB=22sin,tP=2sin.又点 P 的坐标(x,y)满足=cos,=-2+sin,所以点 P 的轨迹的参数方程是 =22 sin2,=-22-22 cos2(为参数,4 34).2.(2017 课标全国,22,10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为=3cos,=sin(为参数),直线 l 的参数方程为=+4,=1-(t为参数).(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为17,求 a.解析(1)解法一:曲线 C 的普通方程为29+y2
21、=1.当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0.由+4-3=0,29+2=1解得=3,=0 或=-2125,=2425.从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).解法二:设交点坐标为(x,y),当 a=-1 时,直线 l 的参数方程为=-1+4,=1-.将=3cos,=sin代入=-1+4,=1-,得3cos+14=1-sin,即 3cos+4sin=3,3(1-2sin2 2)+8sin 2 cos 2=3,即 2sin(4cos 2-3sin 2)=0,由此可得 sin2=0 或 tan2=43,所以cos=1,sin=0 或cos=35,sin
22、=45,故可得交点坐标为(3,0)或(-2125,2425).(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos,sin)到 l 的距离为 d=|3cos+4sin-4|17.当 a-4 时,d 的最大值为+917,由题设得+917=17,所以 a=8;当 a-4 时,d 的最大值为-+117,由题设得-+117=17,所以 a=-16.综上,a=8 或 a=-16.B 组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 坐标系与极坐标 (2018 江苏,21C,10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在极坐标系中,直线 l 的方程为 sin(6-)=2,曲线 C 的方程为=4c
23、os,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.解析 因为曲线 C 的极坐标方程为=4cos,所以曲线 C 是圆心为(2,0),直径为 4 的圆,因为直线 l 的极坐标方程为 sin(6-)=2,所以直线 l 过点(4,0),倾斜角为6,设 A(4,0),则 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点.设另一个交点为 B,则OAB=6.连接 OB,因为 OA 为直径,所以OBA=2,所以 AB=4cos6=23.因此,直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 23.考点二 参数方程 1.(2017 江苏,21C,10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为=-8+,=2(t 为参数),曲线
24、 C的参数方程为=22,=22s(s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值.解析 直线 l 的普通方程为 x-2y+8=0.因为点 P 在曲线 C 上,设 P(2s2,22s),从而点 P 到直线 l 的距离 d=|22-42s+8|12+(-2)2=2(-2)2+45.当 s=2时,dmin=455.因此当点 P 的坐标为(4,4)时,曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值455.2.(2016 江苏,21C,10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为=1+12 t,=32 t(t 为参数
25、),椭圆 C 的参数方程为=cos,=2sin(为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.解析 椭圆 C 的普通方程为 x2+24=1.将直线 l 的参数方程=1+12 t,=32 t代入 x2+24=1,得(1+12 t)2+(32 t)24=1,即 7t2+16t=0,解得 t1=0,t2=-167.所以 AB=|t1-t2|=167.C 组 教师专用题组 考点一 坐标系与极坐标 1.(2015 湖南,12,5 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C的极坐标方程为=2sin,则曲线 C 的直角坐标方程为
26、 .答案 x2+y2-2y=0 2.(2015 广东,14,5 分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1的极坐标方程为(cos+sin)=-2,曲线 C2的参数方程为=2,=22t(t 为参数),则 C1与 C2交点的直角坐标为 .答案(2,-4)3.(2014 广东,14,5 分)在极坐标系中,曲线 C1与 C2的方程分别为 2cos2=sin 与 cos=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1与 C2交点的直角坐标为 .答案(1,2)4.(2015 陕西,
27、23,10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为=3+12 t,=32 t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为=23sin.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.解析(1)由=23sin,得 2=23sin,从而有 x2+y2=23y,所以 x2+(y-3)2=3.(2)设 P(3+12 t,32 t),又 C(0,3),则|PC|=(3+12 t)2+(32 t-3)2=2+12,故当 t=0 时,|PC|取得最小值,此时,P 点的直角坐标为(3,0).5.
28、(2015 课标,23,10 分)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:=cos,=sin(t 为参数,t0),其中 0.在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:=2sin,C3:=23cos.(1)求 C2与 C3交点的直角坐标;(2)若 C1与 C2相交于点 A,C1与 C3相交于点 B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3的直角坐标方程为 x2+y2-23x=0.联立2+2-2y=0,2+2-23x=0,解得=0,=0 或=32,=32.所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和
29、(32,32).(2)曲线 C1的极坐标方程为=(R,0),其中 0.因此 A 的极坐标为(2sin,),B 的极坐标为(23cos,).所以|AB|=|2sin-23cos|=4|sin(-3)|.当=56 时,|AB|取得最大值,最大值为 4.6.(2013 课标,23,10 分)已知曲线 C1的参数方程为=4+5cos,=5+5sin(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为=2sin.(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求 C1与 C2交点的极坐标(0,02).解析(1)将=4+5cos,=5+5sin 消去参数 t,化为普通
30、方程(x-4)2+(y-5)2=25,即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将=cos,=sin 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 2-8cos-10sin+16=0.所以 C1的极坐标方程为 2-8cos-10sin+16=0.(2)C2的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0.由2+2-8x-10y+16=0,2+2-2y=0,解得=1,=1 或=0,=2.所以 C1与 C2交点的极坐标分别为(2,4),(2,2).考点二 参数方程 1.(2014 湖南,12,5 分)在平面直角坐标系中,曲线 C:=2+22 t,=1+22 t(t 为参数)的普通方程为 .答案 x-y-
31、1=0 2.(2014 课标,23,10 分)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为=2cos,0,2.(1)求 C 的参数方程;(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y=3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.解析(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得 C 的参数方程为 =1+cos,=sin(t 为参数,0t).(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以
32、直线 GD 与 l 的斜率相同.tan t=3,t=3.故 D 的直角坐标为(1+cos 3,sin3),即(32,32).3.(2014 辽宁,23,10 分)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程;(2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上点(x,y),依题意,得=1,=21.由12+12=1 得 x2+(2)2=1,即曲线 C 的方
33、程为 x2+24=1.故 C 的参数方程为=cos,=2sin(t 为参数).(2)由2+24=1,2+-2=0解得=1,=0 或=0,=2.不妨令 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2的中点坐标为(12,1),所求直线斜率为 k=12,于是所求直线方程为 y-1=12(-12),化为极坐标方程,并整理得 2cos-4sin=-3,即=34sin-2cos.4.(2013 课标,23,10 分)已知动点 P,Q 都在曲线 C:=2cos,=2sin(t 为参数)上,对应参数分别为 t=与t=2(02),M 为 PQ 的中点.(1)求 M 的轨迹的参数方程;(2)将 M 到坐标原点的
34、距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有 P(2cos,2sin),Q(2cos 2,2sin 2),因此 M(cos+cos 2,sin+sin 2).M 的轨迹的参数方程为=cos+cos2,=sin+sin2(为参数,02).(2)M 点到坐标原点的距离 d=2+2=2+2cos(00.设 A,B 所对应的参数分别为 t1,t2,由根与系数的关系,得 t1+t2=-(2+233),t1t2=23.由直线参数的几何意义,知|AM|+|BM|=|t1|+|t2|=-t1-t2=2+233.2.(2019 届广东顶级名校第三次联考,22)已知曲线 C1的极
35、坐标方程为 2cos 2=8,曲线 C2的极坐标方程为=6(R),曲线 C1,C2相交于 A,B 两点.(1)求 A,B 两点的极坐标;(2)曲线 C1与直线=1+32 t,=12 t(t 为参数)分别相交于 M,N 两点,求线段 MN 的长度.解析(1)由2cos2=8,=6,得 2cos 3=8,所以 2=16,即=4.所以 A,B 两点的极坐标为 A(4,6),B(-4,6)(或(4,76).(2)由曲线 C1的极坐标方程得其直角坐标方程为 x2-y2=8,将=1+32 t,=12 t(t 为参数)代入 x2-y2=8,整理得 t2+23t-14=0,设 M,N 对应的参数分别为 t1,
36、t2,则 t1+t2=-23,t1t2=-14,所以|MN|=(1-2)2=(1+2)2-412=(-23)2-4 (-14)=217.3.(2019 届湖南衡阳 10 月调研,22)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 P(1,0)且倾斜角为3,在以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为=4sin(+6).(1)求直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 的交点分别为 M,N,求1|+1|的值.解析(1)由题意知,直线 l 的参数方程为=1+12 t,=32 t(t 为参数).=4sin(+6)=23sin+2c
37、os,2=23sin+2cos.x=cos,y=sin,x2+y2=2,x2+y2=23y+2x,曲线 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-3)2=4.(2)将直线 l 的参数方程=1+12 t,=32 t(t 为参数)代入曲线 C 的直角坐标方程(x-1)2+(y-3)2=4,得 t2-3t-1=0,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2,t1+t2=3,t1t2=-10,可得-1m3,由 m 为非负数,可得 0m3.设 t1,t2是方程的两根,则 t1t2=m2-2m,由|PA|PB|=1,可得|m2-2m|=1,解得 m=1 或 12,因为 0m3,所以 m=1 或 1+2.7.(
38、2017 山西太原一模,22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为=2cos,=sin,其中 为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线 l:=(0)与曲线 C1,C2分别交于点 A,B(均异于原点 O).(1)求曲线 C1,C2的极坐标方程;(2)当 02 时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.解析(1)由题意可得 C1的普通方程为22+y2=1,将 x=cos,y=sin 分别代入曲线 C1,C2的普通方程中,化简得 C1的极坐标方程为 2cos2+22sin2-2=0,C2的极坐标方程为=2sin.(2)联立=(0)与 C1的极坐标方程得|OA|2=21+sin2,联立=(0)与 C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2,则|OA|2+|OB|2=21+sin2+4sin2=21+sin2+4(1+sin2)-4.令 t=1+sin2,则|OA|2+|OB|2=2+4t-4,当 02 时,t(1,2).设 f(t)=2+4t-4,易得 f(t)在(1,2)上单调递增,|OA|2+|OB|2(2,5).