1、1函数的零点(1)函数零点的定义函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解2二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0)的图像与零点的关系000)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【知识拓展
2、】1有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号2三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)二次函数yax2bxc(a0
3、)在b24ac0时没有零点()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()1(教材改编)函数f(x)()x的零点个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析f(x)是增函数，又f(0)1，f(1)，f(0)f(1)0，f(x)有且只有一个零点2下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos x Bysin xCyln x Dyx21答案A解析由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数；yx21是偶函数但没有零点；只有ycos x是偶函数又有零点3(2016长春检测)函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是()A(，1) B
4、(1,2) C(2，e) D(e,3)答案C解析因为f()e20，f(1)20，f(2)ln 20，所以f(2)f(e)0，所以函数f(x)ln xx2的零点所在区间是(2，e)4函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_答案2解析由f(x)0，得|log0.5x|x，作出函数y|log0.5x|和yx的图像，由上图知两函数图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_答案解析函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.题型一函数零点的确定命题点1确
5、定函数零点所在区间例1(1)(2016长沙调研)已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)(2)(2016济南模拟)设函数yx3与y()x2的图像的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_答案(1)C(2)(1,2)解析(1)f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，又f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，x0(2,3)，故选C.(2)令f(x)x3()x2，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，且f(1)0，x0所在的区间是(1,2)命题点2函数零点个数的判断例2(1)函数
6、f(x)的零点个数是_(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于4 B4 C3 D2答案(1)2(2)B解析(1)当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图像，如图，观察图像可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|
7、x|有4个零点思维升华(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图像的交点个数(1)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)(2)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5 C6 D7答案(1)C(2)C解析(1)因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)(2)由f(x)xcos x20，得x0或co
8、s x20.又x0,4，所以x20,16由于cos(k)0(kZ)，而在k(kZ)的所有取值中，只有，满足在0,16内，故零点个数为156.题型二函数零点的应用例3(1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)(2)已知函数f(x)|x23x|，xR，若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_答案(1)C(2)(0,1)(9，)解析(1)因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0
9、，即a(a3)0，即a210a90，解得a9.又由图像得a0，0a9.引申探究本例(2)中，若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是_答案(0，)解析作出y1|x23x|，y2a的图像如下：当x时，y1；当x0或x3时，y10，由图像易知，当y1|x23x|和y2a的图像有四个交点时，0a.思维升华已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围(2)方法：常利用数形结合法(1)(2016枣庄模拟)已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_(2)(20
10、15湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(1)(2,0)(2)(0,2)解析(1)ax2x在(0,1)上有解，又yx2x(x)2，函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)，0a2，2a0.(2)由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图像，如图所示则当0b2时，两函数图像有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点题型三二次函数的零点问题例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，
11、则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函数图像大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1)思维升华解决与二次函数有关的零点问题：(1)利用一元二次方程的求根公式；(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图像列不等式组(2016临沂一模)若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_答案解析依题意，结合函数f(x)的图像分析可知m需满足即解得m0且a1)有两个零点，则实数a的取
12、值范围是_(2)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为_思想方法指导(1)函数零点个数可转化为两个函数图像的交点个数，利用数形结合求解参数范围(2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决解析(1)函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，即方程axxa0有两个根，即函数yax与函数yxa的图像有两个交点当0a1时，图像如图所示，此时有两个交点实数a的取值范围为(1，)(2)由方程，解得a，设t2x(t0)，则a(t1)2(t1)，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.答案(1)(1，)(2)(，221设f(x)l
13、n xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析f(1)ln 11210，f(1)f(2)1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.3已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则()Aabc BacbCbac Dcab答案B解析方法一由于f(1)10且f(x)为R上的递增函数故f(x)2xx的零点a(1,0)g(2)0，g(x)的零点b2.h10，且h(x)为(0，)上的增函数，h(x)的零点c，因此acb.方法二由f(x)
14、0，得2xx；由h(x)0，得log2xx，作出函数y2x，ylog2x和yx的图像(如图)由图像易知a0,0c1，而b2，故ac0)的解的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图像如图，y|x22x|的图像与ya21的图像总有两个交点5已知函数f(x)则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是()A(1,2) B(，2C(，1)(2，) D(，12，)答案D解析当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；当x0时，xf(x)m，即xm，解得m2，即实数m的取值范围是(，12，)故选D.6已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x
15、)a(x0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是_答案，)解析当0x1时，f(x)aa；当1x2时，f(x)aa；当2x0的解集是_答案x|x0，即(4x22x6)02x2x30，解集为x|x18已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析画出函数f(x)的图像，如图由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图像得0m0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_答案3解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间(0，)内存在一个零点，又f(x)为增函
16、数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3. 10.(2016衡水期中)若a1，设函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则的最小值为_答案1解析设F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m0，n0)因为F(x)与G(x)关于直线yx对称，所以A，B两点关于直线yx对称又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为2，所以mn4.又m0，n0，所以()(2)(22 )1.当且仅当，即mn2时等号成立所以的最小值为1.11设函数f
17、(x)(x0)(1)作出函数f(x)的图像；(2)当0ab且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数由0ab且f(a)f(b)，得0a1b且11，2.(3)由函数f(x)的图像可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根12关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，0x2时，方程可变形为1mx，又yx在(0,1上是减少的，在1,2上是增加的，yx在(0,2上的取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，1 13.已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围解(1)设x0，f(x)x22x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x)(2)方程f(x)a恰有3个不同的解即yf(x)与ya的图像有3个不同的交点，作出yf(x)与ya的图像如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解只需1a1，故a的取值范围为(1,1)