1、第二章综合训练一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为()A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-2y+6=02.已知直线l1:xcos2+3y+2=0,若l1l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.3,2B.0,6C.3,2D.3,563.(2021江西南昌检测)已知圆A:x2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=r2(r0),圆A与圆B的公切线的条数的可能取值共有()A.2种B.3种C.4种D.5种4.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射,则反射光线所在的直线
2、方程为()A.y=3x-3B.y=-3x+3C.y=-3x-3D.y=3x+35.(2021山东济南质检)在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为()A.82-8B.82+8C.82D.1226.若直线ax+by+2=0(a0,b0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.107.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则P到直线x-y+3=0的距离的最大值为()A.2+1B.2+2C.22+1
3、D.22+28.(2021陕西西安期末)平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得MAB为直角三角形的点M的个数是()A.1B.2C.3D.4二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.已知A(1,2),B(-3,4),C(-2,0),则()A.直线x-y=0与线段AB有公共点B.直线AB的倾斜角大于135C.ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为y=2D.ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=010.(2021山东枣庄期中)已知圆C1:x2+y2=r2与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)交于不同的
4、两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.32+1D.812.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,AB=AC,点B(-2,4),点C(5,-3),且其“欧拉线”与圆M:(x-5)2+y2=r2相切,则下列结论正确的是()A.圆M上点到直线x-
5、y+3=0的最大距离为42B.若点(x,y)在圆M上,则yx-1的取值范围是-1,1C.若点(x,y)在圆M上,则x+y的最小值是1D.圆(x-a-1)2+(y-a)2=2与圆M有公共点,则a的取值范围是2-5,2+5三、填空题.13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是.14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k0),所以rA+rB=1+r,|rA-rB|=|1-r|,两圆心的距离为2,若两圆外离,则有21+r,即0r2且|1-r|2,即1r2,即r3,此时圆A与圆B公切线的条数为0.即圆A与圆B的公切线的条数的可能
6、取值有5种.故选D.4.B如图所示,点M关于x轴的对称点M的坐标为(2,-3).反射光线所在的直线方程为y-0=-3-02-1(x-1),化为y=-3x+3,故选B.5.A机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示,A(-10,0)与B(0,10),直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=828,最近距离为82-8.故选A.6.A由题意圆心坐标为(-2,-1),半径r=1,所以圆心到直线的距离为d=|-2a-
7、b+2|a2+b2,所以弦长2=21-(|-2a-b+2|a2+b2)2,整理可得2a+b=2,a0,b0,所以1a+2b=1a+2b12(2a+b)=122+2+ba+4ab124+2ba4ab=4,所以最小值为4,故选A.7.A(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,由题意得2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).因为OPl,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1,因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22=2,所以P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.
8、故选A.8.D根据题意,如图,若MAB为直角三角形,分3种情况讨论:MAB=90,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则kl1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|2=0.2121,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M.AMB=90,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1
9、.56),|AB|=4+4=22,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=2,此时|OC|=(0.02)2+(1.56)2=2.4340,则有2-1|OC|-1,故直线AB的倾斜角大于135,故B正确;由于直线BC的斜率为4-0-3+2=-4,则边BC上的中垂线的斜率为14,BC的中点为-52,2,故中垂线所在直线的方程为y-2=14x+52,故C错误;由于边BC上的高线的斜率为14,则其方程为y-2=14(x-1),即x-4y+7=0,故D正确.10.ABC两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A
10、(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,故B正确;两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知:线段AB与线段C1C2互相平分,x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.故选ABC.11.ABC直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以距离为(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时距离最小为0,所以点P到直线y=kx-
11、1距离的范围为0,6.故选ABC.12.BCD对于A,设BC的中点为D,AB=AC,所以ADBC.因为kBC=4+3-2-5=-1,所以kAD=1,且xD=-2+52=32,yD=4-32=12,所以D32,12,由题意可得欧拉线为直线AD,则直线AD的方程为y-12=x-32,即x-y-1=0,因为圆M:(x-5)2+y2=r2的圆心坐标(5,0),半径r,由欧拉线与圆M相切,所以r=|5-0-1|1+1=22,所以圆心到直线x-y+3=0的距离d=|5-0+3|1+1=42,所以圆上点到直线的距离最大值为r+d=22+42=62,所以A不正确;对于B,yx-1=y-0x-1可以看作点(x,
12、y)与点(1,0)连线的斜率,设M的切线方程为y=k(x-1),则点(5,0)到该直线的距离|5k-0-k|1+k2=22,解得k=1,所以yx-1的取值范围是-1,1,故B正确;对于C,设M(5+22cos,22sin),所以x+y=5+22cos+22sin=5+4sin+41,9,所以C正确;对于D,圆(x-a-1)2+(y-a)2=2的圆心(a+1,a),半径为r=2,要使该圆与圆M有公共点,则有两圆内切,相交,外切三种情况,则圆心距范围|r-r|,r+r=2,32,而圆心距(a+1-5)2+a2,所以2(a+1-5)2+a232,解得a2-5,2+5,所以D正确,故选BCD.13.y
13、=4x或y=x+3根据题意,分2种情况讨论:直线经过原点,则直线l的方程为y=4x;直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3;综合可得:直线的方程为y=4x或y=x+3.14.2x+y-3=0由题意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC共线,故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.当k0时,k为直线的斜率,过点(2,-1)的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.15.43直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直线
14、l恒过定点P(1,1).C,D分别为OA,OB的中点,|CD|=12|OB|=2,当OPAB时,|AB|最小,此时|AB|=2(22)2-(2)2=26,|AB|CD|=2|AB|226=43.16.x-2y+2=02m2+32根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在直线上,又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,则有ba-1=1,a+12+b2=4,解得a=4,b=3,即P1(4,3),反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M1(a0,b0)与点M关于直线A
15、B对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0);线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,则有b0a0-m=1,m+a02+b02=4,解得a0=4,b0=4-m,即M1(4,4-m),又由M2(-m,0),则|M1M2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32.17.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,点(-1,2)在直线上,-1+2+m=0,m=-1,故所求直线的方程为x+y-1=0.(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0.点(0,1)在直线x-3y+m=0上,0-3+m=0,解得m=3.故所求直线的方程为x-3y+3=0.18.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10
16、=-12,所以直线l的斜率为k1=2,直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程x-2y-10=0,2x-y-10=0,解得x=103,y=-103,所以点P的坐标为103,-103.19.解(1)直线l:y-1=a(x-3),直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知ABPC,kPC=
17、1-03-1=12,kAB=-2,所以直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.PAAC,PBBC,所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,所以四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.20.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则C2(3,0),r2=9-m,圆C1与圆C2外切,|C1C2|=r1+r2,3=1+9-m,解得m=5.(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4
18、,则C2(3,0),r2=2,由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,当直线l无斜率时:直线方程为x=2.符合题意;当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),化为一般形式为kx-y-2k+1=0,则圆心(3,0)到直线l的距离d=|k+1|k2+1=1,解得k=0,得直线方程为y=1.综上,直线l的方程为x=2或y=1.21.(1)证明因为C2t,1t(tR,t0),x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA,OB,所以AB经过C,且C为AB中点,所以A(4t,0),B0,2t,所以SOAB=12|OA|OB|=12|4t|2t=4,所以OAB的面积为定值,定值为4.(2)解因为直线2x+
19、y-4=0与圆C交于M,N两点,|OM|=|ON|,所以MN的中垂线经过O,且过C,所以OC的方程y=12x,所以1t=122t,所以当t=1时,有圆心C(2,1),半径r=5,所以圆心C到直线2x+y-4=0的距离为d=555,所以直线2x+y-4=0与圆C不相交,故t=-1(舍去),综上所述,圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.22.解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y00,设线段AB的中点为点M(x,y),由于点B在曲线上,则x02+y02=1,因为点M为线段AB的中点,则2x=x0+2,2y=y0,得x0=2x-2,y0=2y,代入式得(2x-2)2+(2y)2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y0.(2)设B(x0,y0),0y01,OAB的面积为122y0=y0,可得面积的最大值为1,此时B点的坐标为(0,1).(3)如下图所示,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在右半圆D:(x-2)2+(y-2)2=1上运动,问题转化为原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交右半圆D于点C,当点C与点C重合时,|OC|取最大值,且|OC|max=|OD|+1=22+1.