1、专练 54 曲线与方程 命题范围：求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、相关点法等 基础强化 一、选择题 1已知平面内动点 P 满足|PA|PB|4，其中|AB|4，则点 P 点轨迹是()A直线 B线段 C圆 D椭圆 2已知点(0，0)，A(1，2)，动点 P 满足|PA|3|PO|，则 P 点的轨迹方程是()A8x28y22x4y50 B8x28y22x4y50 C8x28y22x4y50 D8x28y22x4y50 3若 M，N 为两个定点，且|MN|6，动点 P 满足PMPN0，则 P 点的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 42022黑龙江一模在平面直角坐标系中，双曲线 C 过
2、点 P(1，1)，且其两条渐近线的方程分别为 2xy0 和 2xy0，则双曲线 C 的标准方程为()A.x234y23 1 B4x23 y231 C4x23 y231 或x234y23 1 D4y23 x231 5若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2，0)的距离小 1，则点 P 的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 6设 P 为双曲线x24y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是()Ax28y221Bx24y21 Cx24y21Dx222y21 7设 A，B 为椭圆x22y21 的左、右顶点，O 为坐标原点，若|PO|是|PA|和|PB|
3、的等比中项，则点 P 的轨迹方程为()Ax2y21Bx2y22 Cy2x21Dy2x22 82022广东省茂名五校联考已知圆 C：(x1)2(y1)21，点 M 是圆上的动点，AM 与圆相切，且|AM|2，则点 A 的轨迹方程是()A.y24x Bx2y22x2y30 Cx2y22y30 Dy24x 92022陕西省宝鸡三模已知点 A(1，0)、B(1，0)，若过 A、B 两点的动抛物线的准线始终与圆 x2y28 相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是()A椭圆 B圆 C双曲线 D抛物线 二、填空题 10已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴若 l 被抛物线 y24
4、ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_.11到点 O(0，0)和 A(1，0)的距离的平方和为 1 的轨迹方程为_ 12设 F 是抛物线 y14x2的焦点，P 是抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是_ 能力提升 132022云南省昆明“三诊一模”已知椭圆 M：x2a2y221(a 2)，过焦点 F 的直线 l 与 M 交于 A，B 两点，坐标原点 O 在以 AF 为直径的圆上，若|AF|2|BF|，则 M 的方程为()A.x23y221Bx24y221 Cx25y221Dx26y221 142022陕西省宝鸡二模椭圆x29y221 中以点 M(2，1)为中点的弦所在直线方程
5、为()A.4x9y170 B4x9y170 C 7x3y2 730 D 7x3y2 730 15在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点 C 满足OCOAt(OBOA)，其中 tR，则点 C 的轨迹方程是_ 16曲线 y1kx1 与 ykx1(k 为参数)的交点的轨迹方程为_ 专练 54 曲线与方程 1B|PA|PB|4|AB|，点 P 的轨迹是线段 AB.2A 设 P(x，y)，|PA|3|PO|，(x1)2(y2)29(x2y2)即：8x28y22x4y50.3A PMPN0，PMPN，点 P 的轨迹是以 MN 为直径的圆 4B 若双曲线焦点在 x 轴上，则可设
6、其标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，可列1a21b21ba2，解得 a234，b23，其标准方程为4x23 y231.若双曲线焦点在 y 轴上，则可设其标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，1a21b21ab2，此时无解，综上，双曲线方程为4x23 y231.5D 由题意得 P 到直线 x2 的距离与它到(2，0)的距离相等，点 P 的轨迹为抛物线 6B 设 M(x，y)，P(x1，y1)，M 为 OP 的中点，2xx1，2yy1，又(x1，y1)在x24y21 上，4x24 4y21，即 x24y21 即为所求 7A 设 P(x，y)，又 A(2，0)，B(2，0)，且|PO
7、|2|PA|PB|，x2y2（x 2）2y2（x 2）2y2，化简得 x2y21，点 P 的轨迹方程为 x2y21.8B 因为圆 C：(x1)2(y1)21，所以圆心 C(1，1)，半径 r1，因为点 M 是圆上的动点，所以|MC|1，又 AM 与圆相切，且|AM|2，则|AC|MC|2|AM|2 5，设A(x，y)，则(x1)2(y1)25，即 x2y22x2y30，所以点 A 的轨迹方程为 x2y22x2y30.9A 由题设知，抛物线焦点 F 到定点 A 和 B 的距离之和等于 A 和 B 分别到准线的距离和，等于 AB 的中点 O 到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为 2r4
8、2，所以|FA|FB|4 2|AB|2，所以抛物线焦点的轨迹方程 C 是以 A 和 B 为焦点的椭圆 10(1，0)解析：由题意得 a0，设直线 l 与抛物线的两交点分别为 A，B，不妨令 A 在 B 的上方，则 A(1，2 a)，B(1，2 a)，故|AB|4 a4，得 a1，故抛物线方程为 y24x，其焦点坐标为(1，0).11x2y2x0 解析：设 P(x，y)为所求曲线上一点，由题意得 x2y2(x1)2y21.整理得 x2y2x0.12x22y1 解析：由题意得 F(0，1)，设 PF 的中点为 M(x，y)，P(x1，y1)，由题意得x12x，1y12y，得x12x，y12y1，又
9、(x1，y1)在 y14x2上，2y114(2x)2x2，即 x22y1.13A 由于坐标原点 O 在以 AF 为直径的圆上，故可设 A 为上顶点，F 为右焦点，F1为左焦点则|AF|AF1|a，|BF|12a，|BF1|32a，cosF1AFcosF1AB，由余弦定理得a2a24c22aa a2（32a）2（32a）22a32a，a23c2，结合 b22，a2b2c2解得 a 3，c1.所以 M 的方程为x23y221.14A 设点 M(2，1)为中点的弦的端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x21 9 y21 2 1x22 9 y22 2 1，两式相减得x21 x22 9y21 y22 20，因为 M(2，1)为中点，所以x1x222，y1y221，所以斜率 ky1y2x1x22（x1x2）9（y1y2）49，所以所求直线方程为 y149(x2)，即 4x9y170.15y2x2 解析：设 C(x，y)，又OCOAt(OBOA)，xt1，y2t，消去参数 t，得 y2x2.16y2x21 解析：由y1kx1，ykx1，得(y1)(y1)1kxkxx2，整理得 y2x21.