1、 高二上学期月考数学试题第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ） 2已知条件，条件，则是成立的（ ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件抛物线的准线方程( ) A B C D.已知向量，若与共线，则的值为（ ） 5在等差数列中，已知，则= （ ）A10 B18 C20 D28已知数列an的通项公式为an(n2)()n，则当an取得最大值时，n等于()A5 B6 C5或6 D7若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值
2、范围是( )A B C D已知是等比数列，则（ ）ABCD一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A、椭圆 B、双曲线的一支 C、抛物线 D、圆过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（ ）A B C. D11如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为()A. B. C. D. 定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ） 1 2 3 4第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，
3、共20分，答案须填在题中横线上已知，则的最小值是_ _ 已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_右图是函数的导函数的图象，给出下列命题：是函数的极值点；是函数的极小值点；在处切线的斜率小于零；在区间上单调递增. 则正确命题的序号是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）已知函数()若在上是增函数，求实数的取值范围；()若是的极值点，求在上的最小值和最大值18（本小题满分12分）数列的前项和，且(1) 证明数列为等差数列；（2
4、）数列的通项公式；（3）若，求证：19.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值（本小题满分12分）设动点的坐标为（），向
5、量，且=8 （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由22（本题满分12分）已知函数 （）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（）当时，证明： 高二数学试题参考答案一、选择题： ABBDC CBCAD DC二、填空题： 3(4) 三、解答题： 17【解析】() ，要在1，上是增函数，则有在1，内恒成立，即在1，内恒成立，又（当且仅当x=1时，取等号），所以，故，即得5分（）由题意知的一个根为，可得，所以的根为或 (舍去)，当的变化时，的变化情况如下表： 7分0极大值，10分18
6、解：(1) 当时所以方程两边同乘得，为等差数列，且公差为2（2）由(1)，故当时，；当时，又当时，不符合上式，所以（3）由(2)，故，所以19解：（）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为0.051000万元，依题意得：当时，.2分当时，=.4分所以6分（）当时，此时，当时，取得最大值万元. 8分当时，此时，当时，即时取得最大值1000万元.11分所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.12分20.解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(
7、0,0,4)，C1(0,2,4)，(A1B)(2,0，4)，(C1D)(1，1，4)cos(A1B)，(C1D)|(C1D)18(18)10(10)，异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为10(10).(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，(AD)(1,1,0)，(AC1)(0,2,4)，n1(AD)0，n1(AC1)0，即xy0且2y4z0，取z1，得x2，y2，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为.由cos|n1|n2|(|n1n2|)1(2)3(2)，得sin3(5).因此，平面A
8、DC1与平面ABA1夹角的正弦值为3(5).21【解析】（1）因为=8，所以表示动点到两个定点，的距离之和等于8，且 2分所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆3分设椭圆方程为， 则，故则动点的轨迹的方程是 5分 （2）因为直线过点， 若直线的斜率不存在，则的方程为，与椭圆的两个交点、为椭圆的顶点由，则与重合，与为四边形矛盾7分 若直线的斜率存在，设方程为，.由 得. 恒成立 由根与系数关系得：，. 8分因为，所以四边形为平行四边形 若存在直线使四边形为矩形，则，即所以 所以 即 化简得：与斜率存在矛盾 故不存在直线，使得四边形为矩形 12分22解证：（），由是的极值点得，即，所以 分于是，由知 在上单调递增，且，所以是的唯一零点 分因此，当时，；当时，所以，函数 在上单调递减，在上单调递增分（）解法一：当，时，故只需证明当时， 当时，函数在上单调递增，又，故在上有唯一实根，且9分当时，；当时，从而当时， 取得最小值且由得,11分故=综上，当时， 12分解法二：当，时，又,所以 分取函数，当时，单调递减；当时，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为 10分所以，而上式三个不等号不能同时成立，故12分