1、习题课三角恒等变换课后篇巩固提升基础巩固1.(多选)函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分别是()A.B.2C.1D.2解析由f(x)=sin xcos x+32cos 2x=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+3,得最小正周期为,振幅为1.答案AC2.已知A1,sinsin(+2),Bsinsin(-2)-2,1,且OAOB=0,sin 0,sin -kcos =0,则k=()A.2B.-2C.2或-2D.以上都不对解析由题意sinsin(-2)-2+sinsin(+2)=0,化简得sin =2cos ,易知k=2,所以选C.答案C3.若函数f(
2、x)=sinx3cos3+cosx3sin3(0,2)是偶函数,则的值为()A.2B.23C.32D.53解析f(x)=sinx3cos3+cosx3sin3=sinx3+3.由题意,知函数f(x)=sinx3+3(0,2)为偶函数,所以3=2+k,kZ,所以=32+3k,kZ.又0,2,故当k=0时,=32,选C.答案C4.定义行列式运算a1a2a3a4=a1a4-a2a3.将函数f(x)=3sinx1cosx的图像向左平移n(n0)个单位,所得图像对应的函数g(x)为奇函数,则n的最小值为()A.6B.3C.56D.23解析f(x)=3cos x-sin x=232cos x-12sin
3、x=2cosx+6,又平移后图像对应函数g(x)=2cosx+n+6为奇函数,n+6=k+2(kZ),即n=k+3(kZ),又n0,n的最小值为3,故选B.答案B5.(多选)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x,则下列说法错误的为()A.函数f(x)的最小正周期为2B.f(x)的最大值为2C.f(x)的图像关于直线x=-8对称D.将f(x)的图像向右平移8个单位,再向下平移12个单位后会得到一个奇函数的图像解析由f(x)=(sin x+cos x)cos x,得f(x)=22sin2x+4+12,所以f(x)最小正周期为,A错;所以f(x)的最大值为22+12,B错;f(x)
4、的对称轴为x=8+k2,kZ,所以x=-8不是f(x)的对称轴,C错;将f(x)的图像向右平移8个单位得y=22sin 2x+12,再向下平移12个单位后会得到y=22sin 2x为奇函数.答案ABC6.若cos =-45,是第三象限的角,则1+tan21-tan2=.解析是第三象限的角,k+22k+34,kZ,tan20)的最小正周期为.(1)求的值;(2)求函数f(x)在区间0,23上的取值范围.解(1)f(x)=1-cos2x2+32sin 2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-6+12.因为函数f(x)的最小正周期为,且0,所以22=,解得=1.(2)由(1)得f
5、(x)=sin2x-6+12,因为0x23,所以-62x-676,所以-12sin2x-61.因此0sin2x-6+1232,所以f(x)的取值范围是0,32.能力提升1.设当x=时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最大值,则cos =()A.255B.-255C.55D.-55解析f(x)=2sin x-cos x=5sin(x-)=5sin xcos -5cos xsin ;其中cos =25,sin =15;由题意得-=2k+2(kZ),即=+2k+2(kZ);所以cos =cos+2k+2=cos+2=-sin =-15=-55.答案D2.若函数f(x)=sin x+3cos
6、 x(xR),又f()=-2,f()=0,且|-|的最小值为34,则正数的值是()A.13B.32C.43D.23解析f(x)=sin x+3cos x=2sinx+3,又f()=-2,f()=0,从而当x=时函数有最小值,x=为平衡点,|-|的最小值是14T,因此142=34,解得=23.答案D3.已知函数f(x)=3cos2+2x+2sin22+x,x0,2,则f(x)的最小值为()A.-1B.2C.3D.1-3解析f(x)=-3sin 2x+2cos2x=-3sin 2x+1+cos 2x=2cos2x+3+1,因为0x2,所以32x+343,所以当2x+3=,即cos2x+3=-1时,
7、函数f(x)取最小值为-1.答案A4.已知函数f(x)=cos x(sin x-3cos x),则()A.f(x)的周期为2B.f(x)在区间-6,6上单调C.f(x)的图像关于直线x=-12对称D.f(x)的图像关于点6,0对称解析f(x)=cos xsin x-3cos2x=12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-3-32,所以T=22=,排除A;令2k-22x-32k+2(kZ),解得k-12xk+512(kZ),所以f(x)在区间-12,512上单调,排除B;sin-212-3=-1,所以f(x)的图像关于直线x=-12对称,C正确;f6=sin3-3-320,所以f(x
8、)的图像关于点6,0不对称,排除D.答案C5.已知向量a=(cos 2,sin ),b=(1,2sin -1),2,若ab=25,则tan+4=()A.13B.27C.17D.23解析由ab=25,得cos 2+sin (2sin -1)=25,求得sin =35,又2,则cos =-45,所以tan =-34,于是tan+4=tan+tan41-tantan4=17.答案C6.已知0,a0,f(x)=asin x+3acos x,g(x)=2cosx+6,h(x)=f(x)g(x),这三个函数在同一直角坐标系中的部分图像如图所示,则函数g(x)+h(x)的图像的一条对称轴方程可以为()A.x
9、=6B.x=136C.x=-2312D.x=-2912解析由题意得f(x)=asin x+3acos x=2asinx+3,由题图可得2a=2,即a=1,f(x)=2sinx+3;而g3=2cos3+6=0,h(x)=f(x)g(x)中,x3,所以f3=2sin3+3=0,f(0)=g(0);而0,解得=2,即f(x)=2sin2x+3,所以F(x)=g(x)+h(x)=g(x)+f(x)g(x)=2cosx+6+2sin2x+32cosx+6=2cosx+6+2sinx+6=22sinx+6+4=22sinx+512,而F622,排除A;F13622,排除B;F-2312=22,即x=-23
10、12,即g(x)+h(x)的一条对称轴.答案C7.(双空)已知向量a=(cos ,sin ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值为,最小值为.解析由题意可得2a-b=(2cos -3,2sin -1),则|2a-b|=(2cos-3)2+(2sin-1)2=8-43cos-4sin=8-8sin+3,当sin+3=-1时,上式取最大值4,当sin+3=1时,上式取最小值0.答案408.设f(x)=3sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有mf(x),则实数m的取值范围是.解析f(x)=3sin 3x+cos 3x=232sin3x+12cos3x=2sin3x+6,所以f(x)
11、min=-2,于是若对任意实数x都有mf(x),则m-2.答案(-,-29.已知函数f(x)=sinx-6+cosx-3,g(x)=2sin2x2.(1)若是第一象限角,且f()=335,求g()的值;(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合.解f(x)=sinx-6+cosx-3=32sin x-12cos x+12cos x+32sin x=3sin x,g(x)=2sin2x2=1-cos x,(1)由f()=335,得sin =35,又是第一象限角,所以cos 0.从而g()=1-cos =1-1-sin2=1-45=15.(2)f(x)g(x)等价于3sin x1-cos x,即
12、3sin x+cos x1.于是sinx+612.从而2k+6x+62k+56,kZ,即2kx2k+23,kZ,故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为x2kx2k+23,kZ.10.若函数f(x)=sin x+3cos x+a在(0,2)内有两个不同的零点,.(1)求实数a的取值范围;(2)求tan(+)的值.解(1)由题意得sin x+3cos x=212sin x+32cos x=2sinx+3,函数f(x)=sin x+3cos x+a在(0,2)内有两个不同的零点,关于x的方程sin x+3cos x+a=0在(0,2)内有相异二解,方程sinx+3=-a2在(0,2)内有相异二解.0x2,3x+373.结合正弦函数的图像可得若方程有两个相异解,则满足-1-a21,且-a232,解得-2a2,且a-3.实数a的取值范围是(-2,-3)(-3,2).(2),是方程的相异解,sin +3cos +a=0,sin +3cos +a=0,-,得(sin -sin )+3(cos -cos )=0,2sin-2cos+2-23sin+2sin-2=0.又sin+20,tan+2=33,tan(+)=2tan+21-tan2+2=3.